精品解析：辽宁省盘锦市兴隆台区辽河中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

盘锦市兴隆台区辽河中学2025—2026第二学期八年级学科竞赛数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A. B. 4 C. 5 D. 4. 已知关于的代数式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3或 5. 已知，，则等于（ ） A. 25 B. 50 C. 200 D. 500 6. 已知关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 4或 B. 或4 C. 或 D. 或4或 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 12. 已知为实数，且，则的值为________． 13. 关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是______． 14. 已知，则代数式值 _______． 15. 如图，在△ABC中，，，，，，则_____     三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 19. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ 20. 如图，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形. 21. 如图，为等边三角形，点在边上，，点M在的延长线上，，连接，点是和的交点． （1）求证：为等边三角形； （2）判断与的位置关系并说明理由． 22. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： （3）若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 23. [理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ （2）[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 （3）[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盘锦市兴隆台区辽河中学2025—2026第二学期八年级学科竞赛数学试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：120分 注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效． 一、选择题（请将正确答案的序号涂在答题卡上，每小题3分，共30分） 1. 碘是人体必需的微量元素之一，在人的身体成长、发育过程中起着至关重要的作用，已知，碘原子的半径约为，数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数字用科学记数法表示为． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2. 下列计算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算即可求解． 【详解】解：、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算法则，同底数幂的运算，完全平方公式，积的乘方运算，掌握整式的混合运算是解题的关键． 3. 在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是（　　） A. B. 4 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，轴对称的性质，掌握关于轴对称点的坐标性质是解题关键．根据关于轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ，， ， 故选：A． 4. 已知关于的代数式是一个完全平方式，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 3或 【答案】D 【解析】 【分析】这里首末两项是x和2这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和2的积的2倍，据此解答，即可． 【详解】解：∵关于的代数式是一个完全平方式，， ∴或， 解得：或3． 故选：D 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握是解题的关键． 5. 已知，，则等于（ ） A. 25 B. 50 C. 200 D. 500 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法的性质的逆用，先整理成已知条件的形式，然后代入数据计算即可． 【详解】解：，， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法的逆运用和幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键． 6. 已知关于x的分式方程无解，则m的值为（ ） A. 4或 B. 或4 C. 或 D. 或4或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程的无解问题， 分式方程无解的情况包括：解出的根为增根（使分母为零）或化简后的整式方程无解（如系数为零导致矛盾）．先找公分母化简方程，再根据方程无解讨论m的取值． 【详解】解：， 两边同乘得，， 整理得，， ∵关于x的分式方程无解， 或， ①当时，； ②当时，，此时或， 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，或或． 故选：D． 7. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天：若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列列出的分式方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意先求得快马的速度和慢马的速度，根据快马的速度是慢马的2倍列分式方程即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得慢马的速度为，快马的速度为， ∵快马的速度是慢马的2倍， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程是解题的关键． 8. 如图，在中，，，以点C为圆心，长为半径作弧交于点D，分别以点A和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作直线，交于点F，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查尺规作图，等腰三角形、直角三角形的性质，掌握等腰三角形、直角三角形的性质以及尺规作图的原理是正确解答的前提． 由尺规作图可得，再根据等腰三角形、直角三角形的性质进行计算即可． 【详解】解：由作图可得，于， ， ， 又，， ， ， 故选：C． 9. 如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可． 【详解】∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高， ∴∠DAC＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣60°﹣90°＝30°， ∵∠AFB＝90°，EF＝2， ∴AE＝2EF＝4， ∵点E为AD的中点， ∴DE＝AE＝4， ∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝8， ∴BF＝BE＋EF＝8＋2＝10， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、含30︒角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，是边上的高，若，分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、垂线段最短、等腰三角形的性质以及三角形的面积， 由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．利用点到直线垂线段最短找出的最小值为是解题的关键． 【详解】解：∵，是边上的高， ∴垂直平分， ∴， 过点B作于点Q，交于点P， 则此时取最小值，最小值为的长，如图所示． ∵， ∴． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若分式的值为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式值为0的条件．根据题意得到，计算即可求出． 【详解】解：根据题意， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知为实数，且，则的值为________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查算术平方根成立的条件，立方根，根据算术平方根的开方数是非负数得到，进而求得，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：7． 13. 关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列得关于m的一元一次不等式，解不等式并结合方程的增根即可求得m的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， ∵原方程的解是非负数， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 14. 已知，则代数式值 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先根据题意得到，再由完全平方公式推出，则． 【详解】解：∵， ∴（不符合题意）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在△ABC中，，，，，，则_____     【答案】11 【解析】 【分析】如图，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理，得出∠3=∠4，AB=AM=5，BM=2BE=6，再利用∠4是△BCM的外角，利用等腰三角形判定得到CM=BM，利用等量代换即可求证． 【详解】证明：如图，延长BE交AC于M ∵ ∴∠AEB=∠AEM=90° ∴∠3=90°-∠1，∠4=90°-∠2 ∵∠1=∠2 ∴∠3=∠4 ∴AB=AM=5 ∵ ∴BM=2BE=6 ∵∠4是△BCM的外角 ∴∠4=∠5+∠C ∵ ∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5 ∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C ∴∠5=∠C ∴CM=BM=6 ∴AC=AM+CM=AB+2BE=11． 【点睛】本题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，本题的关键是作好辅助线，延长BE交AC于M，利用三角形内角和定理、三角形外角的性质，考查的知识点较多，综合性较强． 三、解答题（共8小题，合计75分） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【分析】本题考查了整数指数幂、二次根式、乘法公式、分式的运算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据整数指数幂的相关运算法则计算； （2）化简二次根式进行计算； （3）根据幂的相关运算法则计算即可； （4）根据乘法公式化简即可； （5）根据分式的相关运算法则计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ； 【小问5详解】 解：原式 ． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【小问1详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 先化简，然后再从的范围内取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将有意义的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： ， ∵， ∴整数的值为，，， ∵， ∴， ∴原式． 19. 某商店以固定进价一次性购进一种商品，3月份按一定售价销售，销售额为2400元，为扩大销量，减少库存，4月份在3月份售价基础上打9折销售，结果销售量增加30件，销售额增加1056元．求该商店3月份这种商品的售价是多少元？ 【答案】 【解析】 【分析】设3月的售价为元，4月的售价则为元，根据题意列出方程解出即可． 【详解】解：设3月的售价为元，4月的售价则为元， 根据题意得： 解得： 经检验，，是原分式方程的解， ∴3月份这种商品的售价是元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，关键在于理解题意找出等量关系． 20. 如图，已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,∠BAC的平分线分别交BC、CD于E、F.试说明△CEF是等腰三角形. 【答案】 说明：∵∠ACB＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B. ∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB. ∵∠EAB＋∠B＝∠CEA，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠CEF.∴CF＝CE. ∴△CEF是等腰三角形． 【解析】 【详解】试题分析：要证明△CEF是等腰三角形，需证明有两角相等即可．利用角平分线、直角三角形及三角形外角的性质，进行等量代换，可求证． 略 21. 如图，为等边三角形，点在边上，，点M在的延长线上，，连接，点是和的交点． （1）求证：为等边三角形； （2）判断与的位置关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴为等边三角形； （2） 解：平行，理由如下： 理由：∵为等边三角形 ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ 由（1）知 ∴ ∴． 【解析】 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）证明出，得到，等量代换得到，然后结合即可得到为等边三角形； （2）证明出，得到，等量代换得到，即可证明出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． （1）下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． （2）若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： （3）若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】（1）①③ （2） （3）①；②是“巧分式” 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【小问1详解】 解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； 【小问3详解】 解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 23. [理解探究] “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形， （1）[问题解决] 如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证∶ （2）[问题探究] 如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长 （3）[拓展延伸] 如图3，在等腰直角中，，，且在平面直角坐标系中，点C在y轴正半轴上，点A坐标为，点B是第一、第三象限的角平分线上的一个点，求点C的坐标 【答案】（1） ，， ， ， ， 在和中 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键； （1）由“AAS”可证； （2）由“AAS”可，可得，，即可求解； （3）分两种情况讨论，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可求，，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，， ， ， ， 在和中 ， ， 【小问3详解】 如图，当点B在第一象限角平分线上时过点A作直线于D，过点B作直线于E， ， ， ， ， ， 点A坐标为， ，， ， ， 点； 如图，当点B在第三象限角平分线上时，过点A作直线于D，过点B作直线于E， 同理可求：， ， 点A坐标为， ，， ， ， ， 点 综上所述：点或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $