章末总结(五) 函数概念与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

该高中数学单元复习讲义以“函数概念与性质”为核心，通过高频考点分类构建知识体系，梳理定义域、值域、解析式、性质及图象等内容，结合方法归纳与例题解析呈现知识脉络，突出逻辑推理与数学运算素养的培养。 讲义亮点在于分层练习设计，如通过新定义运算求值域、奇函数参数求解等题型，融合图象法与代数推理培养直观想象和逻辑推理能力。“练一练”涵盖基础巩固与综合提升，助力教师精准教学，支持学生自主复习，提升数学思维与应用能力。

章末总结　(五)函数概念与性质 ► 对应学生用书P95 　高频考点聚焦 考点一　函数的定义域、值域 1．求函数定于域的常用依据是分母不为0，偶次根式中被开方数大于或等于0等等；由几个式子构成的函数，则定义域是使各式子有意义的集合的交集． 2．常见的求函数值域的方法有观察法、配方法、分离常数法、换元法、图象法、判别式法等．求函数的值域是一个较复杂的问题，要认真观察，根据不同的题型选择恰当的方法． 3．通过求解函数的定义域和值域，提升逻辑推理和数学运算素养． 例1.(1)函数f(x)＝＋(x－3)0的定义域是(　　) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(2，3)∪(3，＋∞) D．[3，＋∞) 解析：选C.由解得x>2且x≠3.∴函数y＝＋(x－3)0的定义域为(2，3)∪(3，＋∞). (2)若定义运算a⊕b＝求函数f(x)＝(x＋2)⊕x2的值域． 解：法一　令x＋2<x2，得x<－1或x>2，令x＋2≥x2，得－1≤x≤2. 故f(x)＝ 当x<－1或x>2时，f(x)>1；当－1≤x≤2时，1≤f(x)≤4. ∵(1，＋∞)∪[1，4]＝[1，＋∞)， ∴函数f(x)的值域为[1，＋∞). 法二　由新定义知f(x)的图象如图， 由图象可知f(x)的最小值为1，无最大值．故f(x)的值域为[1，＋∞). 【练一练】 1．若函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，则函数g(x)＝的定义域为(　　) A．[0，1)∪(1，4] B．[0，2] C．[0，1)∪(1，2] D．[0，1] 解析：选C.函数y＝f(x)的定义域是[0，4]，f(2x)满足0≤2x≤4，即0≤x≤2，又分母不为0，则x≠1，所以函数的定义域为[0，1)∪(1，2]. 2．函数y＝的值域是(　　) A． B． C． D． 解析：选D.y＝＝＝－1＋，∵≠0，∴，故选D.考点二　求函数的解析式 1．求函数的解析式最常用的方法是换元法和待定系数法． 2．掌握常见的基本初等函数的类型和求解析式的方法，提升数学运算和逻辑推理素养． 例2.(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x>0时，f(x)＝＋1，则f(x)的解析式为________________； (2)已知f＝＋，则f(x)的解析式为____________________． 解析：(1)设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝＋1. ∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 即－f(x)＝＋1，∴f(x)＝－－1. ∵f(x)是在R上的奇函数，∴f(0)＝0， ∴f(x)＝ (2)令t＝＝＋1，则t≠1.把x＝代入f＝＋，得f(t)＝＋＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. 所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞). 答案：(1)f(x)＝ (2)f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞) 【练一练】 3．已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________． 解析：因为f(x)－3f(－x)＝2x－1，以－x代替x得f(－x)－3f(x)＝－2x－1，两式联立得f(x)＝x＋. 答案：x＋ 4．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式． 解：因为f(x)的对称轴为x＝－1， 所以－＝－1，即b＝2a， 又f(1)＝1，即a＋b＋c＝1， 由条件③知：a>0，且＝0， 即b2＝4ac，由上可求得a＝，b＝，c＝， 所以f(x)＝x2＋x＋. 考点三　函数性质的综合应用 1．函数的性质主要有定义域、值域、单调性和奇偶性，利用函数的单调性和奇偶性求值、比较大小、解不等式是重点考查内容，解不等式时经常结合图象，要注意定义域的影响． 2．掌握单调性和奇偶性的判断和证明，会简单的综合运用，提升数学抽象、逻辑推理和直观想象素养． 例3.已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝. (1)求实数m和n的值； (2)求函数f(x)在区间[－2，－1]上的最值． 解：(1)∵f(x)是奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴＝－＝. 比较得n＝－n，n＝0. 又f(2)＝，∴＝，解得m＝2. ∴实数m和n的值分别是2和0. (2)由(1)知f(x)＝＝＋. 任取x1，x2∈[－2，－1]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2) ＝(x1－x2)·. ∵－2≤x1<x2≤－1， ∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在[－2，－1]上单调递增． ∴f(x)max＝f(－1)＝－， f(x)min＝f(－2)＝－. 【练一练】 5．定义在∪上的函数y＝f(x)满足f＝f(x)－f，且函数f(x)在上是增函数． (1)求f的值； (2)判断函数y＝f(x)的奇偶性并证明； (3)若f＝2，解不等式f－f≤1. 解：(1)令x＝y≠0，则f＝f(x)－f(x)＝0. 再令x＝1，y＝－1可得f＝f－f(－1)＝－f(－1)， ∴f＝0. (2)f(x)是偶函数； 证明：令y＝－1可得f＝f(x)－f(－1)＝f(x)， ∴f(x)是偶函数． (3)令x＝4，y＝2得f＝f－f，∴f＝f＝1. 所以不等式f－f≤1，即f(x－5)≤2＝f(4)， 又因为f(x)为∪上的偶函数，所以f≤f且x≠5， 又因为f(x)在上是增函数，所以≤4且x－5≠0， 解得1≤x<5或5<x≤9， 所以不等式的解集为{x|1≤x<5或5<x≤9}． 考点四　函数图象的画法及应用 1．利用函数的图象可以直观观察求函数值域、最值、单调性、奇偶性等，重点是一次函数、二次函数、反比例函数及幂函数图象． 2．掌握简单的基本函数图象，提升直观想象和数据分析素养． 例4.已知函数f(x)＝|－x2＋2x＋3|. (1)画出函数图象并写出函数的单调区间； (2)求集合M＝{m|使方程f(x)＝m有四个不相等的实根}． 解：(1)当－x2＋2x＋3≥0时，得－1≤x≤3，函数f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 当－x2＋2x＋3<0时，得x<－1或x>3，函数f(x)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4， 即f(x)＝的图象如图所示，单调递增区间为[－1，1]和[3，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1)和(1，3). (2)由题意可知，函数y＝f(x)与y＝m的图象有四个不同的交点，则0＜m＜4. 故集合M＝{m|0<m<4}． 【练一练】 6．已知函数f(x)＝则函数y＝f(－x)的大致图象是(　　) 解析：选C.∵函数f(x)的定义域为[－1，1]， ∴函数y＝f(－x)的定义域为[－1，1]，排除选项A； 当x＝－1时，y＝f(－x)＝f(1)＝1，排除选项B和D.C符合题意，故选C. 7．对任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x＋，x2－4x＋3中较大者，则f(x)的最小值为______． 解析：分别作出y＝－x＋3，y＝x＋，y＝x2－4x＋3的图象，如图所示，由x＋－(－x＋3)＞0，得x＞1，由x2－4x＋3－(－x＋3)＞0，得x＞3或x＜0，由x2－4x＋3－＞0，得x＞5或x＜，则可得f(x)＝ 结合函数图象，得到f(x)min＝f(1)＝－1＋3＝2. 答案：2 8．已知x2>x，求x的取值范围． 解：x2与x有相同的底数，不同的指数，因此其模型应为幂函数y＝xα，所以同一坐标系内作出它们的图象比较函数值的大小，确定自变量的范围，即为x的取值范围，如图所示，可得x的取值范围是x<0或x>1. 学科网（北京）股份有限公司 $