第五章 函数概念与性质综合测试-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第五章 函数概念与性质综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．设则的值是（   ） A．1 B．e C． D． 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数满足，且时，则（   ） A． B． C． D． 6．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 10．已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 11．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（   ）． A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 14．已知，若函数的图象关于直线对称，则 . 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 16．给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 17．已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 18．已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 19．已知函数. (1)若，当时，求的值域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)设实数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 函数概念与性质综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。 一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．设则的值是（   ） A．1 B．e C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的解析式将数值代入即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B 2．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的解析式有意义需满足的条件，解不等式组，即得答案. 【详解】函数要有意义，需满足， 解得且，即函数的定义域是， 故选：D 3．下列各组中的两个函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出两个函数定义域以及化简对应关系，若两个函数定义域和对应关系都相同，则这两个函数相同，从而得到结果. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，和的定义域均为，且，故B正确； 对C，的定义域为，的定义域为，故C错误； 对D，和的定义域均为，但，对应关系明显不同，故D错误. 故选：B. 4．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间t（小时）之间的函数图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可得相遇时间为4小时，此时两车距离为0，排除B选项；再求出快车继续行驶到达乙地所需要的时间排除A选项；再分析可得当特快车停止行驶时，快车还在行驶，结合速度排除D选项. 【详解】当两车同时相向出发时，相遇时间小时， 此时两车距离为0，快车行驶时间为4小时，故排除B选项； 相遇时，快车已经行驶的路程为千米， 还需要行驶小时才能到达乙地，故排除A选项； 特快车相遇时已经行驶的路程为千米， 只需要再行驶小时才能到达甲地， 所以当特快车停止行驶时，快车还在行驶，此时直线的倾斜程度要变小一些，故排除D选项. 故选：C. 5．已知函数满足，且时，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性得，再由单调性定义得到函数在上单调递减，利用单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以函数关于对称，所以， 又时，所以函数在上单调递减， 因为，所以，即. 故选：B 6．对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离参数后将问题转化为，再结合对勾函数的单调性求出的最值即可； 【详解】分离参数得，要使对任意，不等式恒成立，只需. 又因为，令，由对勾函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 又，，所以，所以，所以. 故选：D. 7．已知为定义在上的奇函数，若在上单调递减，则满足不等式的实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质得在上单调递减，再根据奇函数性质将化为，结合定义域利用单调性得，解不等式组即可解答. 【详解】因为是奇函数，则可化为． 又在上单调递减且是定义在上的奇函数，所以在上单调递减． 则，解得或， 即实数a的取值范围是． 故选：C 8．黎曼函数（Riemann function）是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼发现并提出，其基本定义是：（注：分子与分母是互质数的分数，称为既约分数），若是奇函数，且，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题知，进而得函数为周期函数，再根据周期函数的性质结合黎曼函数的定义求解即可. 【详解】∵是定义在R上的奇函数，且， ∴，∴， ∴函数是以为周期的周期函数， 则 ， ， ∴. 故选：B. 二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A求抽象函数的定义域，由得即可判断，对于B判断是否是同一个函数只需判断定义域和对应关系即可，对于C由得，即即可判断，对于D消元法求函数解析式可判断. 【详解】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 10．已知定义在上的函数满足，不是常数函数，则（   ） A． B．是增函数 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AD 【分析】对于A：令，即可得结果；对于D：令，可得；对于BC：举反例说明即可. 【详解】因为， 对于选项A：令，可得，即，故A正确； 对于选项D：令，可得， 即，可得， 所以的图象关于点对称，故D正确； 对于选项BC：例如， 则，符合题意， 但是减函数，且的图象不关于直线对称，故BC错误； 故选：AD. 11．定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（   ）． A． B．在R上是减函数 C．在上的最大值与最小值之和是4048 D．的解集为 【答案】AC 【分析】利用赋值法即可求解A，根据单调性的定义即可结合条件求解B，根据函数的单调性即可求解CD. 【详解】令，则，故，A正确， 对于B，取，则， 故， 所以，即，因此在R上是单调递增，故B正确， 对于C，由于在R上是单调递增，故在上的最大值与最小值之和是，故C正确， 对于D， 由可得， 故，根据单调递增，故，解得或，故D错误， 故选：AC 三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】取，可得，利用偶函数的定义可求得函数在时的解析式. 【详解】当时，，且函数为偶函数， 故. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 13．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式组，由此求得的取值范围. 【详解】若使在上单调递增，则； 若使在上单调递增，则． 若使函数在上单调递增， 则解得，故实数的取值范围为． 故答案为： 【点睛】方法点睛： 解决分段函数单调性问题，关键是分别分析各段函数的单调性，对于二次函数，根据对称轴与单调性的关系确定参数范围；对于一次函数，根据的系数与单调性的关系确定参数范围. 14．已知，若函数的图象关于直线对称，则 . 【答案】23 【分析】根据题意知是的零点，由的图象关于直线对称，知，，由此到和是方程的两个根，求得即可求解. 【详解】由，可得，或，或， 因为的图象关于直线对称， 所以，， 所以和是方程的两个根， 所以，得， 此时 , ， 即，符合题意， 所以. 故答案为：23. 四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用待定系数法，设，求出即可； （2）利用换元法，令则，求出即可 【详解】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 16．给定，，且， (1)求的定义域以及的解析式 (2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明 【答案】(1)答案见解析 (2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析 【分析】（1）利用二次根式的性质和分式的性质求解定义域，结合给定条件利用待定系数法求解解析式即可. （2）先判断函数的单调性，再利用定义法证明即可. 【详解】（1）令，解得， 令，解得，则的定义域为, 因为，所以，， 因为，所以， 解得，得到，令，解得， 则的定义域为. （2）判断：在区间上单调递减， 我们任取，且使， 则， ， 因为，所以， 因为，所以，得到， 即，故在区间上单调递减， 判断：在区间上单调递增， 我们任取，且使， 则， ， ，因为，所以， 因为，所以，， 得到，即， 故在区间上单调递增. 17．已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【点睛】关键点点睛：解函数不等式时，判断并证明函数的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式化为代数不等式是解决问题的关键. 18．已知定义在上的函数满足：对都有且当时，. (1)判断函数的奇偶性并用定义证明； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)解不等式：. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)单调递减，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数的奇偶性定义求解； （2）利用函数的单调性定义证明； （3）利用函数的奇偶性和单调性，由求解. 【详解】（1）解：函数是奇函数，证明如下： 令，则，解得， 令，则，令，则. 为定义在上的奇函数. （2）函数在上单调递减，证明如下： 设，则， ， . 又， ， 又当时，， ，即，即， 在上单调递减； （3）由得， 的定义域为且在上是单调递减的， ，解得， 不等式的解集为. 19．已知函数. (1)若，当时，求的值域； (2)讨论函数的奇偶性； (3)设实数，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，为奇函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数 (3) 【分析】（1）根据求，讨论的取值范围，去绝对值，分析函数单调性，即可求出值域. （2）根据奇偶性的定义分析可得结果. （3）讨论的取值范围，利用即可求出结果. 【详解】（1）∵，∴，∴， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴的最小值为，又，，∴的最大值为5. ∴当时，的值域为. （2）当时，，的定义域为， ∵，∴是奇函数. 当时，，， ∴，且，故既不是奇函数，也不是偶函数. 综上，当时，为奇函数，当时，既不是奇函数，也不是偶函数. （3）由题意得，. ①若，则，即， 由函数解析式可得，当时，， ∴在上的最小值为，故，解得，故. ②若，则当时，， 此时，故在上单调递增，在上单调递减，故在上的最小值为或， ∴解得，∴. ③若，则，，此时在上单调递增，故在处取得最小值，为， ∴，恒成立，故. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：解决本题第（3）问的关键是把问题转化为，根据函数的定义域和解析式讨论的取值范围，利用函数的单调性求最值即可得到结果. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$