章末过关检测卷(八) 函数应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

章末过关检测卷(八)　函数应用 （用时：120分钟，满分：150分） 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f(x)＝(x2－1)·的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.要使函数有意义，则x2－4≥0，解得x≥2或x≤－2.由f(x)＝0得x2－4＝0或x2－1＝0(不成立舍去)，即x＝2或x＝－2.所以函数的零点个数为2.故选B. 2．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　　) A． B．－ C．2 D．－2 解析：选A.根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A. 3．函数f(x)＝log2x－的零点所在的区间为(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选B.由f(x)＝0，得log2x＝，函数y＝log2x和y＝(x>0)的图象(如图所示)的交点的横坐标在(1，2)内，故选B. 4．某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示． 时间 1 2 3 4 利润(千元) 2 3.98 8.01 15.99 现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的(　　) A．y＝log2x B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x 解析：选B.画出散点图(图略)，由散点图可知，这种空调的函数模型为y＝2x. 5．利用二分法求方程log3x＝5－x的近似解，可以取得一个区间(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选D.设函数f(x)＝log3x－(5－x)，因为f(3)＝1－2＝－1<0，f(4)＝log34－1>0，所以f(3)·f(4)<0，由零点存在定理可知函数f(x)在区间(3，4)上至少存在一个零点． 6．相思豆俗称“红豆”，是一种生于热带山地疏林中的豆科植物．如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，下列函数模型拟合红豆生长时间与枝数的关系最好的是(　　) A．指数函数：y＝2t B．对数函数：y＝log2t C．幂函数：y＝t3 D．二次函数：y＝t2 解析：选A.由题意知函数的图象在第一象限是一个单调递增的函数，并且增长得比较快，且图象过(2，4)，(3，8)点，所以图象由指数函数y＝2t来模拟比较好，故选A. 7．已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝k有两个不等的实根，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，＋∞) B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．(0，1] 解析：选D.作出函数f(x)的图象，由图象可知，当0<k≤1时，y＝k与y＝f(x)的图象有两个交点，此时方程f(x)＝k有两个不等实根，所以0<k≤1，故选D. 8．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)的定义域及值域均为[－a，a](a>0)，它们的图象如图所示，则函数y＝f(g(x))的零点的个数为(　　) A．2 B．3 C．5 D．6 解析：选D.由题意，知函数y＝f(g(x))的零点，即方程f(g(x))＝0的根．令g(x)＝t，t∈[－a，a]，则f(g(x))＝f(t)＝0.当t∈[－a，0]时，满足方程f(x)＝0的t有2个，此时g(x)＝t有4个不同的实数根；当t∈(0，a]时，满足方程f(t)＝0的t有1个，此时g(x)＝t有2个不同的实数根．综上可知方程f(g(x))＝0共有6个实数根，即函数y＝f(g(x))共有6个零点． 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%.现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)(　　) A．6 B．9 C．8 D．7 解析：选BC.设经过n次过滤，产品达到市场要求，则×≤，即≤，则n lg ≤－lg 20，则n(lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n≥≈7.4，所以选BC. 10．已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)的零点，叙述错误的是(　　) A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点 B．函数f(x)必有一个零点是正数 C．当a<0时，函数f(x)有两个零点 D．当a>0时，函数f(x)只有一个零点 解析：选ACD.f(x)＝0⇔ex＝a＋，在同一坐标系中作出y＝ex与y＝的图象，可观察出ACD错误，故选ACD. 11．关于x的方程ax2－|x|＋a＝0有四个不同的实数解，则实数a的值可能是(　　) A． B． C． D． 解析：选BCD.对于方程ax2－|x|＋a＝0，当a＝0时，只有一个解x＝0，因此若方程axx－|x|＋a＝0有四个不同的解，则a≠0，x≠0，此时方程可变为＝＝|x|＋.作出函数y＝|x|＋的图象，如图所示．结合图象可知当>2时，直线y＝与函数y＝|x|＋的图象有四个不同的交点，即原方程有四个不同的实数解．结合选项知满足>2的有BCD，故选BCD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．若函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则不等式bx2－ax－1>0的解集为__________． 解析：根据题意， ⇒则不等式可化为 －6x2－5x－1>0⇒6x2＋5x＋1<0⇒(2x＋1)(3x＋1)<0⇒x∈. 答案： 13．函数f(x)＝x＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z则n＝____________． 解析：因为f(2)＝2＋4－10＝－4<0，f(3)＝3＋8－10＝1>0，所以f(2)f(3)<0，由函数零点存在定理知函数f(x)＝x＋2x－10在区间(2，3)上有零点，所以n＝2. 答案：2 14．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2·x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则[x0]等于________． 解析：∵函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．由f(2)＝ln 2－1<0，f(e)＝ln e－>0，知x0∈(2，e)，∴[x0]＝2. 答案：2 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(10分)已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0. 证明：令g(x)＝f(x)－x＝x3－x2－＋. ∵g(0)＝，g＝－， ∴g(0)·g<0.又函数g(x)在上连续， ∴存在x0∈，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0. 16．(15分)已知关于x的函数y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零点． (1)求m的取值范围； (2)若函数有两个不同零点，且其倒数之和为－4，求m的值． 解：(1)当m＋6＝0，即m＝－6时，函数为y＝－14x－5，显然有零点． 当m＋5≠0时，由Δ＝4(m－1)2－4(m＋6)(m＋1)＝－36m－20≥0，得m≤－. ∴当m≤－且m≠－6时，二次函数有零点．综上所述，m≤－. (2)设x1，x2是函数的两个零点，则有x1＋x2＝－，x1x2＝. ∵＋＝－4，即＝－4， ∴－＝－4，解得m＝－3. 且当m＝－3时，m＋6≠0，Δ>0符合题意，∴m的值为－3. 17．(15分)某公司对营销人员有如下规定：①年销售额x(单元：万元)在8万元以下，没有奖金； ②年销售额x(单位：万元)，x∈[8，64]时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3，6]，且年销售额越大，奖金越多； ③年销售额超过64万元，按年销售额的10%发奖金． (1)求奖金y关于x的函数解析式； (2)若某营销人员争取奖金y∈[4，10](单位：万元)，则年销售额x(单位：万元)在什么范围内？ 解：(1)依题意，y＝logax在x∈[8，64]上为增函数，所以 解得a＝2，所以y＝ (2)易知x≥8，当8≤x≤64时，要使y∈[4，10]，则4≤log2x≤10，解得16≤x≤1 024，所以16≤x≤64；当x>64时，要使y∈[4，10]，则40≤x≤100，所以64<x≤100. 综上所述，当年销售额x∈[16，100](单位：万元)时，奖金y∈[4，10](单位：万元). 18．(17分)已知函数f(x)＝－x2－2x，g(x)＝ (1)求g[f(1)]的值； (2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围． 解：(1)g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2. (2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解， 则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图， 由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是. 19．(17分)某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40 投资B种商品金额(万元) 1 2 3 4 5 6 获纯利润(万元) 0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大利润(结果保留两位有效数字). 解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示． 观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示， 取(4，2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2，再把点(1，0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15， 所以y＝－0.15(x－4)2＋2. B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图(2)所示． 设y＝kx＋b，取点(1，0.25)和(4，1)代入， 得解得所以y＝0.25x. 即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y＝－0.15(x－4)2＋2；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y＝0.25x. 设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)， 那么 所以W＝－0.15＋0.15×＋2.6. 当xA＝≈3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元). 即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元． 学科网（北京）股份有限公司 $