8.2.1 几个函数模型的比较-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦“几个函数模型的比较”核心知识点，系统梳理一次函数、指数函数、对数函数在增减性、图象趋势及增长速度上的差异，搭建从函数性质到模型应用的学习支架，助力学生衔接前后知识脉络。 该资料通过表格对比、微点拨深化理解，结合赛跑路程、饮料销售等现实实例设计题型，培养学生用数学眼光抽象数量关系、用数学思维推理增长规律、用数学语言构建模型的能力。课中辅助教师高效授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

8．2　函数与数学模型 8．2.1　几个函数模型的比较 ► 对应学生用书P173 [课程标准]　1.对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性．　2.了解函数模型的广泛应用． 三种常见函数模型的增长差异 y＝kx(k>0) y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) 在(0，＋∞) 上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变 化趋势 一条直线 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 增长速度 (1)y＝ax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越快 ，即使k的值远远大于a的值，y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度 (2)y＝logax(a>1)随着x的增大，y增长速度越来越慢 ，不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，logax可能会大于kx，但由于logax的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 微点拨：1.我们知道当底数大于1时，对数函数的增长速度越来越慢，当底数小于1时，对数函数的递减速度越来越慢． 2．当a>1，n>0时，由y＝ax，y＝xn，y＝logax的增长速度，存在x0，当x>x0时，三个函数的图象由上到下依次为指数，幂，对数．因此总会存在一个x0，使得当x>x0时，有ax>xn>logax. 【基点小试】 1．已知函数y1＝x2，y2＝2x，y3＝x，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是(　　) A．随着x的逐渐增大，y1增长速度越来越快于y2 B．随着x的逐渐增大，y2增长速度越来越快于y1 C.当x∈时，y1增长速度一直快于y3 D．当x∈时，y2增长速度有时快于y1 解析：选D.如图，对于y1＝x2，y2＝2x，从负无穷开始，y1大于y2，然后y2大于y1，再然后y1再次大于y2，最后y2大于y1，y1再也追不上y2，故随着x的逐渐增大，y2增长速度并不是越来越快于y1，A、B错误，D正确； y1＝x2，y3＝x由于y3＝x的增长速度是不变的，当x∈时，y3大于y1，当x∈时，y1大于y3，y3再也追不上y1，y1增长速度有时快于y3，C错误．故选D. 2．下面对函数f＝logx，g＝与h＝－在区间上的递减情况说法正确的是(　　) A．f递减速度越来越慢，g递减速度越来越快，h递减速度比较平稳 B．f递减速度越来越快，g递减速度越来越慢，h递减速度越来越快 C.f递减速度越来越慢，g递减速度越来越慢，h递减速度比较平稳 D．f递减速度越来越快，g递减速度越来越快，h递减速度越来越快 解析：选C.观察函数f＝logx、g＝、h＝－在区间上的图象如下图所示： 函数f的图象在区间上递减较快，但递减速度逐渐变慢； 函数f在区间上，递减较慢，且越来越慢． 同样，函数g的图象在区间上递减较慢，且递减速度越来越慢． 函数h的图象递减速度比较平稳．故选C. 题型一　几类函数模型增长差异的比较 例1.四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是：①f1(x)＝x2，②f2(x)＝4x，③f3(x)＝log2x，④f4(x)＝2x.如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是____．(只填序号) 解析：由函数的性质可知，指数函数的增长速度是先慢后快，最终跑在最前面的是指数函数，所以最终跑在最前面的人具有的函数关系是④. 答案：④ [总结] 　常见的函数模型及增长特点 (1)线性函数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变． (2)指数函数模型 指数函数模型y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”． (3)对数函数模型 对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓． (4)幂函数模型 幂函数y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． 【练一练】 1．下列选项分别是四种生意预期的获益y关于时间x的函数模型，从足够长远的角度看，使得公司获益最大的函数模型是______． ①y＝10×1.05x；②y＝20＋x2；③y＝30＋lg (x＋1)；④y＝50. 解析：结合三类函数的增长差异可知指数增长性最快， 所以①的预期收益最大． 答案：① 题型二　几类函数模型的比较的应用 例2.某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP(即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减． (1)下列几个模拟函数：①y＝ax2＋bx；②y＝kx＋b；③y＝logax＋b；④y＝ax＋b(x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L).用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由； (2)若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L，人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少． [思路点拨]　(1)根据该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减结合几个函数的增长特征即可得出答案． (2)将x＝1、x＝4代入解析式，利用待定系数法即可求解． 解： (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多， 然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适， 故用①来模拟比较合适． (2)因为人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为2 L， 人均GDP为4千美元时，年人均A饮料的销售量为5 L，所以把x＝1，y＝2； x＝4，y＝5代入y＝ax2＋bx中， 得 解得所以函数的解析式为y＝－x2＋x(x∈[0.5，8]). 因为y＝－x2＋x＝－＋， 所以当x＝时，年人均A饮料的销售量最多，最多是 L. [总结] 　不同函数的变化规律 (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． 【练一练】 2．如图是四个不同形状，但高度均为H的玻璃瓶．已知向其中一个水瓶注水时，注水量与水深的函数关系如下图所示，试确定水瓶的形状是图中的(　　) 解析：选B.显然图象从左向右，图象上升先快后慢，也就是说，向瓶中注入相同的水量(如单位体积)时，水的高度改变得越来越大．所以，如果向瓶中匀速注水，则水的高度上升速度先慢后快，注入相同的水，高度上升得快，说明瓶的这部分较细，同样如果水的高度上升得慢，说明瓶的这部分较粗，从图象上看，水的高度上升得越来越快，所以瓶子是下面较粗，越向上越细，所以水瓶的形状应是图B. [课后分层练(四十九)]　几个函数模型的比较 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝100x B．y＝ C．y＝log2x D．y＝x100 解析：选B.因为指数函数y＝是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快．故选B. 3．如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t(t≥1)年与树高y(米)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是(　　) A.y＝t B．y＝2t C．y＝t2 D．y＝log2t＋0.2 解析：选D.由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意； 选项A中，函数y＝t过点，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点，符合题意．故选D. 4．有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 解析：选C.通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．选C. 5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时). 解析：设经过x小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，所以≤0.3，当x＝1，2，3，4时，＞0.3，而当x＝5时，＜0.3，所以x最小应取5，即此人至少经过5小时才能开车． 答案：5 6．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y随利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中符合该商场的要求的模型是________． 解：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象如图所示： 观察图象可知，在区间[5，100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方， 只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方， 这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合商场的要求． 答案：y＝log5x 【能力提升题组】 7．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 解析：选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C. 8．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：选ABD.结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象易得C正确，ABD错误． 9．如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为________，点B的横坐标为________ . 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3. 因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，所以y2－y3＝log216＝4，y2＋y3＝2y1， 即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)， log216x2＋log2x3＝2log216x1， 化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1， 解得x1＝，x2＝. 答案：　 10．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f(x)＝logx＋a， 则f(x)是减函数，与已知不符合． 由已知得解得 所以f(x)＝x＋，x∈N. (2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 2021年的年产量为9.1万件． 学科网（北京）股份有限公司 $