7.4 三角函数应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦三角函数应用核心知识点，基于三角函数图像与性质，系统梳理简谐运动模型（y=Asin(ωx+φ)等）中振幅、周期、频率等概念，及“收集数据—画散点图—选模型—求解—检验”的建模步骤，通过物理与生活实例搭建学习支架。 该资料以电流、海浪、血压等实际情境培养数学眼光，通过图像分析与参数计算发展数学思维，构建模型解决问题提升数学语言表达。基点小试夯实基础，互动探究分题型突破，分层练习兼顾差异，课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

7．4　三角函数应用 ► 对应学生用书P159 [课程标准]　1. 会用三角函数解决简单的实际问题．　2.体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型． 一、三角函数在解决简单的实际问题中的应用 1．在物理学中，简谐运动可以用函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)(x∈[0，＋∞))描述简谐运动的物理量． 2．A就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T＝，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率是由公式f＝＝，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx＋φ称为相位；x＝0时的相位φ称为初相． 二、构造三角函数模型 1．三角函数模型的作用 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用． 2．用函数模型解决实际问题的一般步骤 收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验． 【基点小试】 1．初速度为v0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y与v0之间的关系式(t是飞行的时间)为(　　) A.y＝v0t B．y＝v0t sin θ C．y＝v0t sin θ－gt2 D．y＝v0tcos θ 解析：选C.由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v0sin θ，故炮弹上升的高度y＝v0t sin θ－gt2，故选C. 2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数为________. 解析：∵f(t)＝24sin 160πt＋110， ∴T＝＝＝，f＝＝80， ∴此人每分钟心跳的次数为80. 答案：80 3．如图为某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要______s往返一次． 解析：观察图象可知此简谐运动的周期T＝0.8，所以这个简谐运动需要0.8 s往返一次． 答案：0.8 题型一　三角函数在物理学中的应用 例1.已知电流I与时间t的关系为I＝A sin (ωt＋φ). (1)如图所示的是I＝A sin (ωt＋φ)(ω>0，|φ|<)在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝A sin (ωt＋φ)的解析式； (2)如果t在任意一段秒的时间内，电流I＝A sin (ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？ 解：(1)由题图知A＝300，设t1＝－，t2＝， 则周期T＝2(t2－t1)＝2＝. ∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，即sin (150π·＋φ)＝0， 而|φ|<，∴φ＝. 故所求的解析式为I＝300sin . (2)依题意，周期T≤， 即≤(ω>0)， ∴ω≥300π>942，又ω∈N*， 故所求最小正整数ω＝943. [总结] 　在物理学中，物体做简谐运动时可用正弦型函数y＝A sin (ωx＋φ)表示物体振动的位移y随时间x的变化规律，A为振幅，表示物体离开平衡位置的最大距离，T＝为周期，表示物体往复振动一次所需的时间，f＝为频率，表示物体在单位时间内往复振动的次数． 【练一练】 1．已知简谐运动f(x)＝2sin 的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为(　　) A．T＝6，φ＝ B．T＝6，φ＝ C．T＝6π，φ＝ D．T＝6π，φ＝ 解析：选A.T＝＝＝6， ∵图象过(0，1)点，∴sin φ＝. ∵－＜φ＜，∴φ＝. 2．已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin ，t∈[0，＋∞).用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题： (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解：列表如下： 2t＋ 0 π 2π t － s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图所示． (1)将t＝0代入s＝4sin ，得s＝4sin ＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. 题型二　三角函数模型在实际生活中的应用 例2.已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(时)的函数，其中0≤t≤24，记y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数y＝Acos ωt＋b的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？ 解：(1)由表中数据可知，T＝12，∴ω＝.又t＝0时，y＝1.5，∴A＋b＝1.5；t＝3时，y＝1.0，得b＝1.0，所以振幅为，函数解析式为y＝cos t＋1(0≤t≤24). (2)∵y＞1时，才对冲浪爱好者开放，∴y＝cos t＋1＞1，cos t＞0，2kπ－＜t＜2kπ＋， 即12k－3＜t＜12k＋3(k∈Z).又0≤t≤24，所以0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24，所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午9：00至下午3：00. 【母题探究】　若将本例中“大于1米”改为“大于1.25米”，结果又如何？ 解：由y＝cos t＋1＞1.25得cos t＞， 2kπ－＜t＜2kπ＋，k∈Z，即12k－2＜t＜12k＋2，k∈Z. 又0≤t≤24，所以0≤t＜2或10＜t＜14或22＜t≤24， 所以在规定时间内只有4个小时冲浪爱好者可以进行活动，即上午10：00至下午2：00. [总结] 　解三角函数应用问题的基本步骤 【练一练】 3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，某节日期间某一天商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin (t≥0)，则人流量增加的时间段是(　　) A．[0，5] B．[5，10] C．[10，15] D．[15，20] 解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π].因为[10，15]⊆[3π，5π]，故选C. 4．如果某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足y＝A sin (ωx＋φ)＋b，如图所示． (1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量； (2)写出这段曲线的函数解析式． 解：(1)观察图象知8～14时这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度． (2)观察图象可知，T＝14－8＝6， ∴T＝12，∴ω＝＝. b＝×(50＋30)＝40，A＝×(50－30)＝10， ∴y＝10sin ＋40. 将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)， 又|φ|＜，∴φ＝. ∴所求解析式为y＝10sin ＋40，x∈[8，14]. [课后分层练(四十六)]　三角函数的应用 （单选题、填空题每题5分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin ，那么单摆摆动一个周期所需的时间为(　　) A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s 解析：选D.依题意是求函数s＝6sin 的周期，T＝＝1. 2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 解析：选D.该质点的振动周期为T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的． 3．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin ，则当t＝0时角θ的大小及单摆的频率分别是(　　) A．， B．2， C．，π D．2，π 解析：选A.当t＝0时，θ＝sin ＝，由函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 4．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin ＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　) A．5 B．6 C．8 D．10 解析：选C.根据图象得函数的最小值为2， 有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8. 5．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin ，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动的次数为________． 解析：因为f＝＝＝＝50， 所以0.5 s内往复运动的次数为0.5×50＝25. 答案：25 6．如图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(单位：米)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数关系式为____________________． 解析：设h＝A sin (ωt＋φ)(A＞0，ω＞0)，由图象知A＝6，T＝12，∴＝12，得ω＝＝.点(6，0)为五点作图法中的第一点，故×6＋φ＝0，得φ＝－π.∴h＝6sin ＝－6sin t(0≤t≤24). 答案：h＝－6sin t(0≤t≤24) 7．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋A cos (x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃. 解析：由题意可知A＝＝5，a＝＝23.从而y＝5cos ＋23.故10月份的平均气温值为y＝5cos ＋23＝20.5. 答案：20.5 8．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin (160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T＝＝＝(min). (2)f＝＝80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg). 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 【能力提升题组】 9．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是(，)，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是(　　) A．[0，1] B．[1，7] C．[7，12] D．[0，1]和[7，12] 解析：选D.由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝＝.又∵当t＝0时，点A的坐标是(，)，∴y＝sin ，t∈[0，12].可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]. 10．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　) A．， B．， C．， D．， 解析：选B.由题意可知，A＝，32＋＝52，则T＝8，ω＝＝，y＝sin (x＋φ).由sin φ＝，得sin φ＝.∵|φ|＜，∴φ＝.因此频率是，初相为. 11．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝__________，其中t∈[0，60]. 解析：将解析式可写为d＝A sin (ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝，所以d＝10sin . 答案：10sin 12．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝A sin ＋60(P：美元，t：天，A＞0，ω＞0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________． 解析：因为A sin ＋60＝80，sin ≤1，所以A＝20.当t＝150(天)时达到最低油价，即sin (150ωπ＋)＝－1，此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因为ω＞0，所以当k＝1时，ω取最小值，所以150ωπ＋＝π，解得ω＝. 答案： 13．如图，某动物种群数量1月1日低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位，如t＝1表示2月1日)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设动物种群数量y关于t的解析式为 y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得A＝100，b＝800. 又因为周期T＝2×(6－0)＝12， 所以ω＝＝. 所以y＝100sin ＋800. 又当t＝6时，y＝900， 所以900＝100sin ＋800. 所以sin (π＋φ)＝1.所以sin φ＝－1. 所以可取φ＝－， 所以y＝100sin ＋800. (2)当t＝2时，y＝100sin ＋800＝750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 学科网（北京）股份有限公司 $