7.1.2 弧度制-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦高中数学“弧度制”核心知识点，系统梳理角度制与弧度制的概念、互化方法，以及弧长公式、扇形面积公式的推导与应用。通过定义解析、公式对比表、温馨提示等学习支架，帮助学生从角度制自然过渡到弧度制，建立角的集合与实数集的一一对应关系。 资料设计突出数学核心素养，通过“基点小试”强化概念辨析培养数学眼光，“题型总结”提炼互化原则与扇形公式应用方法发展数学思维，“分层练习”（基础巩固与能力提升）兼顾不同学情。课中辅助教师高效讲解题型示例，课后助力学生自主查漏补缺，深化对弧度制工具性价值的理解。

7．1.2　弧度制 ► 对应学生用书P127 [课程标准]　1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换．　2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系．　3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式． 一、角度制与弧度制 1．角度制：用度作为单位来度量角的单位制； 1度的角等于周角的. 2．弧度制：以弧度作为单位来度量角的单位制； 1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角． 二、弧度数和角度制的互化 角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180° 1°＝ rad≈ 0．017 45 rad 1 rad＝°≈57.30° 度数×＝弧度数 弧度数×°＝度数 [温馨提示]　(1)用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写． (2)用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． 三、 弧度数公式、弧长公式和扇形面积公式 1．弧度数公式为：|α|＝. 2．设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则 度量单位类别 α为角度制 α为弧度制 扇形的弧长 l＝ l＝α·R 扇形的面积 S＝ S＝l·R＝α·R2 微点拨：(1)在应用扇形面积公式S＝αR2时，要注意α的单位是“弧度”，且α为实数． (2)在弧度制下的扇形面积公式S＝lR，与三角形面积公式S＝ah(其中h是三角形底边a上的高)的形式较相似，可类比记忆． 【基点小试】 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. (　　) (2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．(　　) (3)1°的角是周角的，1 rad的角是周角的. (　　) (4)1 rad的角比1°的角要大．(　　) 　答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2．下列转化结果错误的是(　　) A．60°化成弧度是 B．－π化成度是－600° C．－150°化成弧度是－π D．化成度是15° 解析：选C.对于A，60°＝60×＝； 对于B，－＝－×180°＝－600°； 对于C，－150°＝－150×＝－π； 对于D，＝×180°＝15°.故C项错误． 3．(2025·苏州高一上期末)已知某扇形的圆心角为，半径为2，则该扇形的面积为________． 解析：该扇形的面积为S＝××22＝. 答案：． 题型一　角度制与弧度制的互化 例1.(苏教版必修一P163例3、例4改编)把下列弧度与角度进行互化． (1)＝________． (2)－＝________． (3)－1 500°＝________． (4)67°30′＝________． 解析：(1)＝°＝690°. (2)－＝－°＝－390°. (3)－1 500°＝－1 500×＝－π. (4)67°30′＝67.5°＝67.5×＝. 答案：(1)690°　(2)－390°(3)－　(4) [总结] 　角度制与弧度制的互化原则和方法 (1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝ rad和1 rad＝°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则α rad＝°；n°＝n· rad. 【练一练】 1．将下列角度与弧度进行互化： (1)π；(2)－；(3)10°；(4)－855°. 解：(1)π＝＝15 330°. (2)－＝－＝－105°. (3)10°＝10×＝. (4)－855°＝－855×＝－. 题型二　用弧度制表示终边相同的角 例2.用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如下图). 解：(1)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－＋2kπ(k∈Z). ∴阴影部分内的角的集合为{α|－＋2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z}． (2)以OA为终边的角为＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为＋2kπ(k∈Z).不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2， 则M1＝， M2＝. ∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝{α|2kπ＜α＜＋2kπ，或＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z}． [总结] 　1.用弧度表示与α终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)的注意点 (1)2kπ是2π(一周角的大小)的整数倍，而不是π的整数倍； (2)角度制与弧度制不能混用，如60°＋2kπ(k∈Z)是错误的． 2．象限角的表示 例如：第一象限角的集合为{α|2kπ＜α＜2kπ＋，k∈Z}． 3．轴线角的表示 例如：终边在坐标轴上的角的集合为. 【练一练】 2．(1)用弧度制表示与角300°的终边相同的角的集合为__________________． 解析：300°＝300×＝，故与角300°终边相同的角的集合为. 答案： (2)若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－2π，2π)，求角α的值． 解：如图，设角的终边为射线OA， 射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB， 则以射线OB为终边的一个角为－＝， ∴以OB为终边的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}． 又∵α∈(－2π，2π)，∴－2π<2kπ＋<2π，且k∈Z， ∴k＝－1或k＝0. 当k＝－1时，α＝－；当k＝0时，α＝. ∴角α的值为－或. 题型三　扇形弧长和面积公式 例3.已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积； (2)若扇形的周长是定值C(C＞0)，当|α|为多少弧度时，该扇形的面积最大？ 解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓， ∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝， S弓＝S扇－S△＝××10－×102＝50(－). (2)扇形周长C＝2R＋l，∴l＝C－2R， ∴S扇＝Rl＝R(C－2R) ＝－R2＋RC＝－＋， ∴当R＝时，S扇有最大值且为， 此时l＝C－2R＝， ∴|α|＝＝·＝2. 故|α|＝2时，该扇形的面积最大． [总结] 　关于弧度制下扇形问题的解决方法 (1)三个公式：|α|＝，S＝lr＝αr2，要恰当选择公式，建立未知量、已知量间的关系，通过解方程(组)求值． (2)弧长、面积的最值：利用圆心角的弧度数、半径表示出弧长(面积)，利用函数知识求最值，一般利用二次函数的最值求解． 【练一练】 3．(2025·南通如皋高一上期末)已知扇形的圆心角为2 rad，面积为4，则扇形的周长为(　　 ) A．10 B．8 C．6 D．4 解析：选B.设扇形的半径为r，则S＝|α|r2＝×2×r2＝4，∴r＝2，则扇形的弧长为2×2＝4，故扇形周长为2r＋4＝8. 4．已知一扇形的周长为40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 解：设扇形的圆心角为θ，半径为r，弧长为l，面积为S， 则l＋2r＝40，所以l＝40－2r， 所以S＝lr＝×(40－2r)r＝－(r－10)2＋100. 所以当半径r＝10 cm时，扇形的面积最大，最大值为100 cm2，这时θ＝＝＝2 rad. [课后分层练(三十五)]　弧度制 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1. 若α＝－3，则角α的终边在(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D． 第四象限 解析：选C.因为－π<－3<－，所以角α的终边在第三象限． 2．(多选)与－π角终边相同的角的集合为(　　) A. {α|α＝＋2kπ， k∈Z} B. {α|α＝＋kπ， k∈Z} C. {α|α＝－π＋2kπ， k∈Z} D. {α|α＝π＋2kπ， k∈Z} 解析：选CD.与－终边相同的角为－＋2kπ，k∈Z，当k＝1时，α＝，故C、D正确． 3.对应的角度为(　　) A．75° B．125° C．135° D．155° 解析：选C.由于1 rad＝°，所以＝π×°＝135°，故选C. 4．将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选B.分针拨快10分钟，决定了分针转动的方向是顺时针，即转过的弧度数是负的．因为分针拨快60分钟时转过弧度数为－2π，所以拨快10分钟转过的弧度数为－. 5．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则该扇形的周长为________ cm. 解析：因为1°＝ rad，所以54°＝×54＝，则扇形的弧长l＝αr＝×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm. 答案：40＋6π 6．把下列各角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 500°；(2)π. 解：(1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－10π＋， ∴－1 500°与终边相同，是第四象限角． (2)∵π＝2π＋π， ∴π与π终边相同，是第四象限角． 7．如图，扇形AOB的面积是4 cm2，它的周长是10 cm，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB的长． 解：设弧AB长为l cm，扇形半径为r cm， 则由题意，得解得(不合题意，舍去)或∴α＝＝. ∴弦AB的长为2r sin ＝2×4×sin ＝8sin (cm). 【能力提升题组】 8．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，则这个扇形的圆心角是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C.设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，由题意知解得α＝3，故选C. 9．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，下列选项可能正确的有(　　) A．圆的半径为2 B．圆的半径为1 C．圆心角的弧度数是1 D．圆心角的弧度数是2 解析：选ABC.设扇形的半径为r，圆心角的弧度数为α， 则由题意得解得或 可得圆心角的弧度数是4或1. 10．若＝2kπ＋(k∈Z)，则的终边在(　　) A．第一象限 B．第四象限 C．x轴上 D．y轴上 解析：选D.∵＝2kπ＋(k∈Z)，∴α＝6kπ＋π(k∈Z)，∴＝3kπ＋(k∈Z).当k为奇数时，的终边在y轴的非正半轴上；当k为偶数时，的终边在y轴的非负半轴上．综上，的终边在y轴上，故选D. 11．(2025·盐城五校联盟高一上期末)“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出入怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以有“怀袖雅物”的别号．当折扇打开后所在扇形的周长为8分米，面积是4平方分米，则折扇所在扇形的圆心角为________弧度． 解析：设扇形的圆心角为α，半径为r， 则则 答案：2 12．已知α＝1 690°. (1)把α写成2kπ＋β(k∈Z，β∈[0，2π))的形式； (2)求θ，使θ与α终边相同，且θ∈(－4π，4π). 解：(1)1 690°＝4×360°＋250°＝4×2π＋π. (2)∵θ与α终边相同，∴θ＝2kπ＋π(k∈Z). 又θ∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋π<4π(k∈Z). 解得－<k<(k∈Z)，∴k＝－2，－1，0，1. ∴θ的值是－π，－π，π，π. 学科网（北京）股份有限公司 $