2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（苏教版）

本高中数学讲义聚焦全称量词命题与存在量词命题，系统梳理定义、符号表示及多种表述形式，通过微点拨表格辨析语言差异，结合基点小试夯实基础，再以判断、真假辨析、含参数问题三个递进题型构建知识应用支架，最后分层练习巩固。 资料紧扣课标要求，以“数学语言”转化（符号与自然语言）和“数学思维”推理（真假判断、参数转化）为核心，通过母题探究和练一练培养学生逻辑能力，课中助力教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升学习效果。

2．3　全称量词命题与存在量词命题 [课程标准]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 2．3.1　全称量词命题与存在量词命题 ► 对应学生用书P27 一、 全称量词与全称量词命题 (1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”． (2)含有全称量词的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：∀x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 微点拨： 命题 全称量词命题“∀x∈M，p(x)” 表述 形式 ①对所有的x∈M，都有p(x)成立； ②对一切x∈M，都有p(x)成立； ③对每一个x∈M，都有p(x)成立； ④任选一个x∈M，都有p(x)成立； ⑤凡是x∈M，都有p(x)成立． 二、存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”． (2)含有存在量词的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：∃x∈M，p(x)． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 微点拨： 命题 全称量词命题“∃x∈M，p(x)” 表述 形式 ①存在x∈M，使p(x)成立； ②至少有一个x∈M，使p(x)成立； ③对有些x∈M，使p(x)成立； ④对某个x∈M，使p(x)成立． 【基点小试】 1．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　) A．实数都大于0 B．若2x为偶数，则x∈N C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 解析：选C.A.是全称量词命题，但不是真命题，所以该选项错误； B．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误； C．是真命题，也是全称量词命题，所以该选项正确； D．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误． 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．直角三角形的一个内角为90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．平行四边形的对角线相互垂直 D．存在一个正数x，使<0 解析：选B.A选项是真命题，但不是存在量词命题；B选项是存在量词命题，当x＝0时满足x2≤0，故命题为真命题；C选项是全称量词命题，且是假命题，因为平行四边形的对角线不一定垂直；D选项是存在量词命题，但不存在大于零的数x，使<0，故命题为假命题． 3．(多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R，3x＋2>0 D．至少有一个整数m，使得m2<1 解析：选CD.A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题．显然B为假命题； C选项，取x＝0，则3×0＋2>0，为真命题；D选项，取m＝0，则02<1，为真命题． 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为______________________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题． [总结] 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【练一练】 1．(多选)下列命题为存在量词命题的是(　　) A．某些二次函数的图象与y轴有交点 B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 解析：选AD.根据全称量词和存在量词的定义，可知A、D为存在量词命题，B、C为全称量词命题． 2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀x∈Q，x2＋x＋1是有理数． (3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． 题型二　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 例2.(多选)下列四个命题为真命题的是(　　) A．所有四边形的内角和都是360° B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．∃x∈{x是无理数}，x2是无理数 D．对所有实数a，都有|a|>0 解析：选AC.对A，所有四边形的内角和都是360°，故A是真命题； 对B，x2＋2x＋2＝＋1>0恒成立，故B是假命题； 对C，存在π是无理数，π2是无理数，故C是真命题； 对D，存在a＝0，此时|a|＝0，故D是假命题． [总结] 　全称(存在)量词命题的真假判断的技巧 【练一练】 3．已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　) A．命题p，q都是真命题 B．命题p是真命题，q是假命题 C．命题p是假命题，q是真命题 D．命题p，q都是假命题 解析：选B.当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题． 4．(多选)下列命题中真命题有(　　) A．每一个正方形是平行四边形 B．∀a∈R，二次函数y＝2x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360° D．存在一个无理数，它的立方是有理数 解析：选ABD.每一个正方形是平行四边形，所以A正确； ∀a∈R，由x∈R，函数f＝2x2＋a＝f，所以f的图象关于y轴对称，所以B正确； 因为每一个四边形都可以分成两个三角形，所以每一个四边形其内角和都等于360°，所以C错误； 因为是无理数，＝2，所以存在一个无理数，它的立方是有理数，所以D正确． 题型三　利用全称(存在)量词命题的真假求参数 例3.(1)已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m>3 C．m≤3 D．m≥3 解析：选C.由题意可知，Δ＝(－2)2－4m≥0，得m≤3，故选C. (2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.故实数m的取值范围是[0，＋∞). 答案：[0，＋∞) 【母题探究】　(变条件)将本例(1)的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围． 解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，所以m的取值范围是[1，＋∞). 答案：[1，＋∞) [总结] 　利用全称(存在)量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 【练一练】 5．(2022·江苏邗江高一检测)已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，命题：q：∃x∈，使得a≤－x2＋2. (1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p和q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)命题p是真命题时，ax2＋ax＋1>0在R范围内恒成立， ∴①当a＝0时，有1≥0恒成立； ②当a≠0时，有解得0<a<4. ∴a的取值范围为. (2)命题q是真命题时，∃x∈，使得a≤－x2＋2，则a≤(－x2＋2)max，所以a≤2. 因为p和q有且只有一个是真命题， 所以①p真q假则 ②p假q真则∴2<a<4 或a<0， 综上a∈(－∞，0)∪. [课后分层练(九)]　全称量词命题与存在量词命题 （单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分） 【基础巩固题组】 1．下列四个命题中，是真命题的为(　　) A．任意x∈R，有x2＋3<0 B．任意x∈N，有x2>1 C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，使x2＝3 解析：选C.由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题； 由于0∈N，当x＝0时，x2>1不成立，故B为假命题； 由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，故C为真命题； 由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题． 2．(多选)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．奇数都不能被2整除 B．有的实数是无限不循环小数 C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D.对任意实数x，方程x2＋1＝0都有解 解析：选AC.选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题． 3．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选B.锐角三角形的内角都是锐角，A是假命题； x＝0时，x2≤0，所以B选项中的命题既是存在性命题又是真命题； ＋＝0，所以C选项中的命题是假命题； x<0时，<0<2，所以D选项中的命题是假命题． 4．(多选)设p：x>x2，则以下说法正确的有(　　) A．“∀x∈R，p”是假命题 B．p是假命题 C．“∃x∈R，p”是假命题 D．p是假命题 解析：选ABD.对于A，当x＝0时，x＝x2，故正确；对于B，当x＝3时，3<32，故正确； 对于C，当x＝时，>，是真命题，故错误；对于D, 当x＝1时，1＝12，故正确． 5．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈Z，x2的个位数字不等于3 B．∀x∈{y是无理数}，x3是无理数 C．∃x∈N, ∈N D．∃x∈Z，x2＋1是4的倍数 解析：选AC.对于A选项，∀x∈Z，其个位数为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，平方后个位数字为0，1，4，5，6，9，不能为3，故正确； 对于B选项，令y＝，则y3＝＝3是有理数，故错误； 对于C选项，令x＝0，则＝1∈N，故正确； 对于D选项，当x是奇数时，不妨设x＝2k＋1，k∈Z，则x2＋1＝4k2＋4k＋2＝4，由于k∈Z，故k2＋k＋∉Z，故x2＋1＝4k2＋4k＋2＝4不是4的倍数，当x是偶数时，x2＋1是奇数，不是4的倍数，故错误． 6．设非空集合P，Q满足P∪Q＝Q，则下列命题正确的是(　　) A．∀x∈P，x∈Q B．∃x∈Q，x∉P C．∃x∈P，x∉Q D．∀x∈Q，x∉P 解析：选A.因为非空集合P，Q满足P∪Q＝Q，所以P⊆Q. 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即∀x∈P，x∈Q，故A正确，C错误； 对于BD，由P⊆Q，分类讨论：若P是Q的真子集，则∃x∈Q，x∉P；若P＝Q，则∀x∈Q，x∈P.故 BD错误． 7．选择适当的符号“∀”“∃”表示下列命题：有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0：___________． 解析：“有一个”是存在量词，所以是存在量词命题．即：∃x∈R，有x2＋2x＋3＝0. 答案：∃x∈R，有x2＋2x＋3＝0 8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假： (1)有的偶数是3的倍数； (2)矩形的对角线相等； (3)有的平行四边形的四个角都相等； (4)平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线． 解：(1)命题为存在量词命题，且为真命题； (2)命题为全称量词命题，且为真命题； (3)命题为存在量词命题，且为真命题； (4)命题为全称量词命题，且为真命题． 【能力提升题组】 9．若命题“∀x∈，x2－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为命题“∀x∈，x2－a≤0”为真命题，则对∀x∈，a≥恒成立，又当x＝－2时，＝4，所以实数a的取值范围是. 10．(多选)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是(　　) A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉B C．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B 解析：选AB.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则A，B，U的关系用Venn图表示如图所示， 观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确； 因A∩B＝∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确； 若A⫋∁UB，则(∁UA)∩(∁UB)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁UA)∩(∁UB)]，即x∉A且x∉B，C不正确； 因A∩B＝∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确． 11．命题“＝”是全称量词命题吗？如果是，请给予证明；如果不是，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题． 解：存在1＋b<0使得命题“＝”不成立． 故不是全称量词命题，增加“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题． 12．从两个符号“∀”“∃”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题． 已知集合A＝{x|5≤x≤6}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命题：①x∈A，则x∈B是真命题，求m的取值范围． 解：由已知集合A＝{x|5≤x≤6}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若选∀，则“∀x∈A，则x∈B”是真命题，则A⊆B， 所以解得≤m≤4； 若选∃，则p：“∃x∈A，满足x∈B”是真命题， 若¬p即“∀x∈A，则x∉B”为真命题，则m＋1>2m－1或 或 解得m<3或m>5，故若p为真，只需3≤m≤5. 学科网（北京）股份有限公司 $