解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 考点目录 边长或周长的最值问题 面积最值问题 三角恒等式证明问题 考点一 边长或周长的最值问题 （2526高三上江苏表州期中)在△ABC中，点D是BC的中点，且D=2,B.G (①)若D=xAB+yA ,求少的值： 2+c2 (2)求 的值： (3)求△ABC周长的取值范围. 例2.(2025吉林松原模拟预测)已知向量m=(2sin0,cosn=c0so-25√3 scos@x),其中 @>0,f(x=m.n 山)若0=2，求图象的对称辅： T ②定四的最小正周期为，将四的图象向左平移2个单位长度得到g的图象，若在区间2通 调递增，求@的取值范围： ab (3)已知△ABC为锐角三角形，内角4，B,C的对边分别为a6,c,若0=l,fC)=0,c=25,求a+b+2W3的取值范 围. 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 例3.(25-26高三上河北期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 c=2bc0s+acosB (1)求C: (2)若C的平分线与AB交于点D,且CD=2,求a+4b的最小值. 例4，(25-26高三上黑龙江哈尔滨月考》在△1BC中，内角B,C A,B.C a,b,c 的对边分别为，且满足 c+a sinC-sinB b sinC-sinA (I)求角A的大小； 2若a=25,求6-C的取值范围。 2 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 变式1.(25-26高三上湖南长沙期中)记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2a=b+2csm4-8 (1)求C: (2)已知c=6,△ABC的内切圆半径为r. (1)当r=5时，求n4+sin8, (i)求a+6的最大值. 变式2.(25-26高三上·江苏镇江·期中)已知△ABC的面积记为$.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件， 补充完成下题（只要写序号），并解答该题. ①2a=c+2bc0sC:②5AB-Bc+2S=0,③a+b+c(a-h+c)=3ac △ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 (1)若b=7,c=5,求a; (2)若△ABC为锐角三角形，b=2,求a+C的取值范围. 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 cosA_cosC 变式3.(25-26高三上·上海期中)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,Q2b-c (I)求角A: (2)若△ABC为锐角三角形，求△ABC的周长的取值范围. 变式4.(25-26高二上·云南大理月考)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 (c-2b)cos A+acosC=0 (I)若a=4,b+c=8,求△ABC的面积： (2)若角c为钝角，求)的取值范围。 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 考点二 面积最值问题 例1.(25-26高三上广东肇庆阶段练习)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且 asinBcsin. 2 (1)求C: (2)若C=4,求△ABC周长的取值范围： ③)活=V5,且△BC为锐角三角形，角4与角B的内角平分线交于点D,求△BD 面积的取值范围. BC=CD=2AB=4,AD=3AB 例2.(25-26高三上江西南昌·期中)如图，在平面四边形ABCD中， )若4=60，求四边形4BCD 的面积： (2)求四边形ABCD面积的最大值. D A C B 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 例3.(25-26高三上辽宁期中)在△4BC中 a,b,c A,B.C b=4,c=2a ， 分别为内角的对边，且 考B=60 ，求4ABC 的面积： 2若B=120,D在边4C上且∠BD=90,求证： 23a=5BD (3)求△ABC面积的最大值. 例4.(25-26高三上·安徽期中)在△ABC中，D,E分别为BC,AC的中点，AD与BE交于点O,记 ∠AOB=0B∈(0，π 0若D=6BE=3,0-。 =3,求B (2)若AD=2BE,DE=2,求△ABC面积的最大值. 6 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 c+a sinC-sinB 变式1.(25-26高二上·浙江期中)记△4Bc的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=sinC-sinA (1)求角A的大小： (2)若△ABC为锐角三角形，且b=2,求△ABC面积的取值范围. 变式2.(25-26高三上河北沧州期中)记△ABC内角ABC的对边分别是abc,已知 sin2B-sin2C-2 sinBsin(B-C且B≠C. ()求的值： (2)若c=3,求△ABC面积的最大值. > 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 变式3.(25-26高三上山东月考)在△1BC中，角4B,C的对边分别为a6,c,已知cos1cosB=inC(1+sin4 (1)证明：A+2B=Z (2)若7b=3a,求sinC. ()诺b=1B≥若，求A8C面积的最大值。 △ABC 变式4.(25-26高三上广东深圳月考)记锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 2+b2=2c2 1 1 2 ()证明：tan tan B tanC: (2)若c=2, (i)求△ABC周长的最大值； (i)求△ABC面积的取值范围. 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 考点三 三角恒等式证明问题 例1.(24-25高一下山东枣庄期中)△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知 4asin A=bsin Ccos A+csin Acos B SinA ()求sinc的值： (2)若BD是∠ABC的角平分线， (i)证明： BD2=BA-BC-DADC (i)若a=1,求BD·AC的最大值. 例2.（24-25高三上江苏·开学考试)如图，在△ABC内任取一点P,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB 相交于点D、E、F. BD ABsin∠BAD (1)试证明： DC-ACsin∠DAC AD=5,BE=4,CF=3 (2)若P为重心， 尖4ABC 的面积. 9 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 例3.(24-25高二下湖北咸宁·阶段练习)在△ABC中，角A,B,C的对边为a,b,c,已知A=2B,且b≠C. (1)若2a=3b,求sin4; a b+c (2)证明：b=a 例4.(24-25高一下·湖南邵阳期中)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, asin B+3bcos 4=0 (I)求角A的大小： 1.11 (2)若AD是△ABC角平分线，求证：AB+ACAD· ⊙解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 考点目录 边长或周长的最值问题 面积最值问题 三角恒等式证明问题 考点一 边长或周长的最值问题 .2526高三上：江苏泰州：期中)在ABC中，点D是BC的中点，且D=19布.4C 2 (I)若AD=xAB+yAC,求y的值； (2)求b2+c2的值： (3)求ABC周长的取值范围！ 【答案】) (2)16 3)1+i9,3+4v2 【详解】(I)因为在ABC中，点D是BC的中点， A B D 所以而=丽+y4cB+C,则x=分，y 则 2由0=+号c,可(o-传+号c 则a⑩-4+ac+c, 即9-c+ 13 441 16+ 4”22' 解得：b2+c2=16; (3)由AB.AC=3 吃，可得：bccos A=3, 由余弦定理可得：a2=b2+c2-2 bccos A=16-3=13,故a=√13， 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 由于(b+c)2=b2+c2+2bc≤16+2 解得：(b+c2≤32， 所以b+c≤4√2，当且仅当b=c=22时等号成立， 又因为(b+c2=r+c2+2c=16+3>19→b+c>9 cosA 即V19<b+c≤4√2， 所以3+9<a+b+c≤3+4， 则ABC周长的取值范围为(3+9,3+4V2] 例2.(2025吉林松原·模拟预测)已知向量m=(2sinωx,cos@x),n=CoS@x,-2V3cosωx,其中o>0,f(x=m·n. (1)若o=2,求f(x)图象的对称轴； ②记的最小正周期为7，格f到的图象向左平移子个举位长度得到g到的图象，若8国在区间 上单 调递增，求ω的取值范围； (3)已知A8C为锐角三角形，内角4,8，C的对边分别为a6c,若o=1fC)=0,c=25,求b a+b+2V5的取值范 围。 【答案】0+经keZ, 6-2V52V5 【详解】(1)f(x)=m,n=2 sin@xcoswx-2W3cos2ox=sin2ox-5cos2ox-√3 =2sm2ax-}-5, 当o2时，1到=2m4x哥引-5. 令4r-T=元 32+远.k乙，得x4+④k∈乙 所以f()图象的对称轴为x=开+红，k∈乙 2441 2》由.得=2n20-}5. 所以T=2=”,T=元 200220 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 因为将x的图象向左平移乙个单位长度得到gx)的图象， 2 所以gx)=2sin 因为[列所以20+xo） 3 3 又函数y=sinr在区间 -+2k,+2 kr(kEZ)上单调递增， +2元≥-+2k, 0π 0≥ 即 3 2 1+2k 20m+20≤7+2m (k∈Z),解得 6 (k∈Z, 32 所以-2+2k≤- 6 日+k,即ks3 12 又o>小长乙，所以=1，即o的取位布用旋[周 3由o=1,待f=2sn2x--5。 又102m2c--5=0,所以m(2c-引-5 又c为悦角三角形，所以ce0引}2c-晋司音 所以2c-骨-骨，解得C-号 由余弦定理c2=a2+b2-2 abcosC,得12=a2+b2-ab, 所以ab=a+b°-12 3 (a+b)2-12 所以ab 3 =4+b-25. a+b+2v3 a+b+213 3 a b 23 sind sinB"sinc sind sin 由正弦定理 b 2 所以a=4sin,5=45inB，a+b=4sin4+4nB=4si+4sin-子-A6sin4+25cos4=45sim4+君 (3 因为ABC为锐角三角形，所以0<A<无，0<B=元-A-元<元， 21 32’ 所以<4<<4+<2红 6 2'3 63 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 故如4+君)的取值范围为 所以a+b的取值范围为6,4V5]。 a+b+2V5的取值范围是 ab 6-2V32v3 所以 3 3 例3.(25-26高三上·河北期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 B2 -+c=2bcos A+acos B. (1)求C: (2)若C的平分线与AB交于点D,且CD=2,求a+4b的最小值 【答案】0C-号 (2)9W2 【详解】1D+c=2 bcos 4+-acosB, ..b2+c2=2bccos A+ac cos B, ∴.b2+c2=2bcx0 b2+c2-a2 -+acxa+c-b2 2be 2ac 化简可得a2+b2=c2,C=元， (2) :C的平分线与AB交于点D,“∠ACD=∠BCD=T B D S.ACD+S.BCD =S.4BC 42×2 xaxsin-1 2×2 xbxsin+1 4=2xaxb, 化商可待a+=,即日-1， 6-40-55g53层-5. 当且仅当号女，即a=3反，b-2时，等号候立 2 a+4b的最小值是9√2 例4.(25-26高三上·黑龙江哈尔滨月考)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且满足 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 c+a_sinC-sinB b sinC-sinA (1)求角A的大小： (2)若a=2、√5，求b-c的取值范围 【答案】0号 (2)-2V5,25 【详解】(1)由正弦定理得，c+a=sinC-sinB-c-b b sinC-sinA c-a 则c2-a2=bc-b2,即b2+c2-a2=bc, 则cosA=+c2-a21 ,又A(0,,则A= 一= 2bc a b c 23 (2)由正弦定理得，sin4 sin B sinC=V3 =4 2 则6=么c=nC=4n(g-9小-25cmsB+2m8, 所以b-c=4sin8-(5cosB+2sin)=2smB-25cosB=4sn8-}】 则4smg-}e(-25,25, 所以b-c的取值范围为-23,23 变式1.(25-26高三上·湖南长沙期中)记ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,己知 2a=6+2csm(4-8别 1)求C: (2)已知c=6, ABC的内切圆半径为r (i)当r=√5时，求sinA+sinB; (ⅱ)求”的最大值， atb 【答案】0C-骨 ②）(i)sinA+sinB=V5;(i)5 12 【详解】(1)易得2a=b+2 esin4-=b+V5 esin 4-ceos, 6 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 由正弦定理得2sinA=sinB+V3 sin Asin C-sin CcosA, 而sinB=sinA+C)=sinAcosC+sin Ccos A,故2sinA=√3 sin Asin C+sin AcosC, 易知sinA≠0，故2=5sinC+cosC=2sinC+ 6/ 即s如c+-l,由ce0,到可知C=号 2(i)江c的院为s则r。e-8二.再5-30：2 ab 而c=d+6-2 ab oC,即36=0+2-b=a+b2-3ah,放b-a+b-12, 3 于是0+b-12=2a+b+12,解得a+b=12, 3 sin A sinC,故a= =sin csin 4=4W5sin4,同理b=4W5sinB, C 而 故4W3(sinA+sinB)=l2,得到sinA+sinB=V3 (ii) a+-2 r 3ab 3 √3(a+b)2-36 a+b 2(a+b)(a+b+6)2(a+b)(a+b+6)6 (a+b)(a+b+6) -9a。9a6-9{ 而36-1a+-2a+a-2-a+6f,020s1n 故’，=5 当且仅当a=b=6时等号成立， a+b 6 故的最大值为 a+b 12 变式2.(25-26高三上江苏镇江·期中)已知ABC的面积记为S.请在以下三个条件中，选择一个合适的条件，补 充完成下题（只要写序号），并解答该题， ①2a=c+2 bcosC;②√5AB.BC+2S=0;③a+b+c(a-b+c)=3ac ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 (1)若b=7,c=5,求a: 6 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 (2)若ABC为锐角三角形，b=2,求a+c的取值范围. 【答案】0B=育 225,4]。 【详解】(1)选①在ABC中，由2a=c+2 bcosC及正弦定理，得2sinA=sinC+2 sinBcosC, 2sin(B+C)=sinC+2sinBcosC,2sinBcosC +2cosBsinC sinC +2sinBcosC, 整理得：2 cosBsinC=sinC,又sinC>0, 1 因此cos8=2,又Be(0,, 所以B=3 选②由V5AB.BC+2S=0,得-V3acc0sB+2.。 esinB=0, 因为cosB≠0，所以tanB=√5，又Be(0,π)， 所以B=工 3 选③由(a+b+c(a-b+c=3ac,得到a2+c2-b2=ac, 所以cosB=a+c2-B1 2ac21 又8e0到，所以B-号 根据余弦定理b2=a2+c2-2acc0sB, 得72=a2+52-2×ax5×c083 即49=a2+25-5a,整理得a2-5a-24=0. 解得a=8或a=-3(舍去).所以a=8 a b c24V5 (2)由sinA sinB sinc sin3， 3sin4,c=4v5、 得a=4 3-sinC, 因为-号则4+c二C=经4 3 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 4sin+ 6 0<A< 因为ABC为锐角三角形，所以 2 则后4 0 2-A< 6 3 2 所以25<n(4+君}s4,即a+e段值范国为6] 变式3.(25-26高三上上海期中)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且a=2,0s4=S0sC a 2b-c (1)求角A; (2)若ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围. 【答案】⑩1=月 (2)(2+25,6 【详解】(1)已知os4-osC a 2b-c, 由正弦定理得0s4 cosC sinA 2sinB-sinC' ..sinAcosC 2sinBcosA-sinCcosA .'.sinAcosC+sinCcos4 sin(A+C)=2sinBcos4, 又A+B+C=元，sin(A+C)=sin(π-B)=sinB, .'.sinB 2sinBcosA, 1 sinB>0,∴.cosA= :AE0,,A= π a b C (2)在ABC中由正弦定理得sin刀sinB sinc，又a=2, 所以b=45inB,c=45y 3 之g 3 所以b+c=4V5 B+45sin(2-B 3 3 sin 3 45sB+5 32 4sin B+ 6 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 因为ABC为锐角三角形， 0<B<号 所以 0< 2π-B< 所以亚<B<, 6 所以5<B+”<2红 3 63 所以3 <sinB+≤l, 2 6 所以b+c∈25,4， 所以ABC周长a+b+c的取值范围是(2+2V5,6] 变式4.(25-26高二上·云南大理月考)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,已知 (c-2b)cos A+acosC=0. (1)若a=4,b+c=8,求ABC的面积； (2)若角C为钝角，求的取值范围. h 【答案】(1)ABC的面积为45 (2)(2,+0 【详解】(1)根据题意，(c-2b)cosA+acosC=0以及正弦定理可得(sinC-2sinB)cosA+sin AcosC=0, 因为sin Ccos A+sin AcosC=2 sin BcosA→sin(A+C)=2 sin BcosA →sin(π-B)=2 sin Bcos A:→sinB=2 sin Bcos A,因为B≠0，所以sinB≠0， 所以1=2cos43c0s4=,又4∈0，， 所以4=号，由余弦定理可得石2=6+c2-2bc0sA,可得16=B+d2-bc, 即(b+d°-3c=l16,因为b+c=8,所以bc=16,所以Sc=csin4=×16×5 2 45 2)正孩定里可两没6知6国为C-经-8所拟 sin 2π-B 5 3 (3 cosB+sinB 2 1 b sin B sin B 2tan B 2 0 解三角形：边长或周长的最值问题、面积最值问题、三角恒等式证明问题专项训练 0<B< 2 因为角C为钝角，所以 ,可得0<B<元，则0<tanB< 6 ,5。>即>2. 3’2tanB2 2 所以C的取值范围为2，+∞） 10