函数的图像问题、抽象函数的函数性质、函数新定义问题专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的图像问题、抽象函数的函数性质、函数新定义问题专项训练 函数的图像问题、抽象函数的函数性质、函数新定义问题专项训练 考点目录 函数的图像问题 抽象函数的函数性质 函数新定义问题 考点一 函数的图像问题 例1．（25-26高三上·广东深圳·期中）函数可能的图象大致是（   ） A．  B．  C．   D．   例2．（25-26高一上·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．  B．  C．   D．   例3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 例4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 变式1．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（    ） A．  B．  C．   D．   变式3．（25-26高一上·重庆永川·期中）函数的大致图象是（     ） A．  B．  C．   D．   变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（    ） A． B． C． D． 考点二 抽象函数的函数性质 例1．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 例2．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 例3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 例4．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 变式2．（25-26高一上·山东烟台·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． (1)设函数，证明：为奇函数； (2)十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 变式3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 变式4．（24-25高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 考点三 函数新定义问题 例1．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数． (1)若不等式在恒成立，求实数的取值范围． (2)已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数．已知函数是“反比例对称函数”，求函数的反比例对称常数． 例2．（25-26高一上·北京顺义·期中）若在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”． (1)请判断函数是否有漂移点？并说明理由； (2)求证：函数在上存在漂移点； (3)若函数在上有漂移点，求实数的取值范围． 例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． (1)判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； (2)已知为的“2次函数”，求实数的取值范围； (3)已知若为的“2025次函数”，求的取值范围． 例4．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. (1)若为区间上的等域函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 变式1．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． (1)判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； (2)当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； (3)当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 变式2．（25-26高一上·陕西西安·期中）设是定义在（）上的函数，若存在，使得在区间上是增函数，且在区间上是减函数.则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间. (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说明理由. (2)若（） ①当时，判断是否为上的“含峰函数”？若是，求出峰点；若不是，说明理由. ②若是上的“含峰函数”，写出t的取值范围并指出峰点（不需要证明）. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为，给定常数．若存在不相等的实数，使得，则称为“—积定函数”． (1)判断函数是否为“0—积定函数”，并说明理由； (2)设，若是“—积定函数”，求实数的取值范围； (3)设，其中为非零实数，且．若是“—积定函数”，且存在无数组满足的不同实数，都有（常数），求和． 变式4．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”. (2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数的图像问题、抽象函数的函数性质、函数新定义问题专项训练 函数的图像问题、抽象函数的函数性质、函数新定义问题专项训练 考点目录 函数的图像问题 抽象函数的函数性质 函数新定义问题 考点一 函数的图像问题 例1．（25-26高三上·广东深圳·期中）函数可能的图象大致是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】依题意知函数的定义域为R，且满足， 故为奇函数，所以排除B和D选项； 因为函数的周期为， 又，，，排除C选项； 故选：A. 例2．（25-26高一上·上海·期中）设，，以下四幅图像中，可能代表函数与的图像是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【详解】对A，函数单调递增，且图象与y轴相交于x轴下方， 所以且， 所以函数单调递增且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故A错误； 对B，函数单调递增，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递增，且图象为向上平移个单位得到，故B正确； 对C，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，且图象为向右平移个单位得到，不可能过原点，故C错误； 对D，函数单调递减，且图象过原点， 所以且， 所以函数单调递减，故D错误. 故选：B 例3．（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当，即时，单调递增，排除ABC选项， 又，即的图象关于对称，D正确. 故选：D 例4．（25-26高一上·宁夏银川·期中）若函数的图象过点，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数的图象过点，得，解得， 函数，即的定义域为， ，即函数是偶函数， 当时，在上单调递减，ABD错误，C正确. 故选：C 变式1．（25-26高一上·北京顺义·期中）函数的图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，其定义域为R，且， 所以是偶函数，排除A，又，排除B， 当，则，此时，当且仅当时取等号， 所以，有，则，排除C. 故选：D 变式2．（25-26高一上·河北邢台·期中）函数的大致图象为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【详解】因为的定义域为， 且， 所以是奇函数，排除 D． 又因为， 所以，排除A． 当时，，排除B. 故选：C 变式3．（25-26高一上·重庆永川·期中）函数的大致图象是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】由解析式可得函数定义域需满足，解得或 故排除AC， 当,，可知其单调递增，排除B， 又，偶函数，只有D符合. 故选：D 变式4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）函数（其中e为自然对数的底数）的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意可得 ， 又，当，；当，，只有选项B符合. 故选：B. 考点二 抽象函数的函数性质 例1．（25-26高一上·河南信阳·期中）定义在非零实数集上的函数满足，且是区间上的递增函数. (1)求的值； (2)证明：函数是偶函数； (3)解不等式. 【答案】(1)1 (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）由，令，得，得， 令，得，解得. （2）因为的定义域为，， 令，得，即， 所以函数为偶函数. （3）不等式，即， ， 由为偶函数，得， 又是区间上的递增函数， ，解得或， 所以不等式的解集为. 例2．（25-26高一上·贵州毕节·期中）定义在上的函数，对任意都有，且当时，. (1)求证：为奇函数； (2)求证：为上的增函数； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）先令得，再令即可判断奇偶性； （2）取，且，则，再令，进而根据奇函数性质，即可证明. 【详解】（1）证明：根据题意，令得，解得， 令，则，即， 所以函数为奇函数. （2）证明：任取，且，则， 令，则， 因为时，，所以， 所以， 因为函数为奇函数，所以， 所以，即， 所以为上的增函数. 例3．（25-26高一上·湖南衡阳·期中）定义在上的函数是单调函数，满足，且，（，）． (1)求，； (2)判断的奇偶性； (3)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围 【答案】(1)0，2 (2)奇函数 (3) 【详解】（1）取，得，即，， ， 又因为，得，可得. （2）取，得，移项得， 函数是奇函数. （3）是奇函数，且在上恒成立， 在上恒成立， 因为函数是单调函数且； 在上是增函数， 在上恒成立，在上恒成立， 令. 由于，， ， ，即实数k的取值范围为. 例4．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知函数满足对任意的x，恒有，当时，， (1)判断并证明函数的奇偶性； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)函数是奇函数，证明见解析 (2) 【详解】（1）令得，令，得， 所以函数是奇函数． （2）由（1）得，对任意的x，恒成立， 任取， 则， 由于当时，，所以，即， 所以是减函数， 则当时，， 所以对任意恒成立， 记函数， 由于函数图象为直线， 故只需满足且即可， 即， 解得 变式1．（25-26高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且对均满足． (1)若，求的值； (2)判断函数的奇偶性并证明； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1) (2)偶函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因为， 所以, , . （2）令，，则即， 令，，则即， 令，得， 又， 故（）为偶函数. （3）任取，，且，则，故， 故， 故（）在上为减函数. 由题意， 即，而为偶函数，故， 则， 解得. 变式2．（25-26高一上·山东烟台·期中）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且对任意，，都有． (1)设函数，证明：为奇函数； (2)十九世纪著名数学家柯西研究并证明了如下结论：若函数的图象是连续不断的，且对任意，都有，则，其中为常数．假设． （ⅰ）求的解析式； （ⅱ）设，若不等式的解集为，求，的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）（ⅱ）， 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，， 令，得，即， 令，得， ， ， ， 为奇函数． （2）（ⅰ）由（1）知，， ， ，，， ，． （ⅱ）不等式的解集为， 当时，有，即， ，故， 解得，，不合题意，舍去； 当且时，有，即，解得，； 当且时，有，即，解得，， 而，不合题意，舍去； 当时，有，即，解得或，或， ，，但，不合题意，舍去． 综上，，的值为，． 变式3．（25-26高一上·福建福州·期中）已知函数对任意实数x，y，均有，，且存在非零常数c，使. (1)求的值； (2)判断的奇偶性并证明； (3)求证是周期函数，并求出的一个周期. 【答案】(1)1 (2)偶函数，证明见解析 (3)证明见解析， 【详解】（1）∵任意均有， 令，则.∵，∴. （2）由题意知定义域为，关于原点对称 令，∴，∴，∴为偶函数. （3）∵，又， ∴，即， ∴， ∴的周期为. 变式4．（24-25高一上·湖北·月考）定义在上的函数满足：①对任意都有；②当，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并说明理由； (3)若，试求的值. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)在上单调递减，理由见解析 (3)1 【详解】（1）函数为奇函数.理由如下： 定义域，关于原点对称， 令，则，得， 令，则， 所以，则是上的奇函数 （2）在上单调递减，理由如下： 设， 因为，，，所以，， 所以，即， 因此在上单调递减. （3）， 因为， 所以. 考点三 函数新定义问题 例1．（24-25高一上·福建厦门·月考）已知函数． (1)若不等式在恒成立，求实数的取值范围． (2)已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”，常数称为反比例对称常数．已知函数是“反比例对称函数”，求函数的反比例对称常数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 则，令， 即可化为，， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 所以， 则有恒成立，解得； （2）定义域为， 因为函数是“反比例对称函数”，所以有， 下面研究函数的单调性： ，令， 由对勾函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，在上单调递减， 结合函数的性质得在上单调递增，在上单调递减， 因为在取得最大值，且，则，可得， ， ， ， 所以，即时对任意的都有， 综上，. 例2．（25-26高一上·北京顺义·期中）若在定义域内存在实数使成立，则称函数有“漂移点”． (1)请判断函数是否有漂移点？并说明理由； (2)求证：函数在上存在漂移点； (3)若函数在上有漂移点，求实数的取值范围． 【答案】(1)没有漂移点，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）假设函数有漂移点，则， 即，由于，所以此方程无实数根，与假设矛盾，所以函数没有漂移点. （2）令， 因为，，根据零点存在性定理得，函数在至少有一个零点，即，即，所以函数在上存在漂移点. （3）由对数函数的定义域得， 若函数在上有漂移点， 则， 即，整理得, 因为，所以，即, 所以实数的取值范围. 例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“次函数”． (1)判断是否为的“次函数”，若是，求出；若不是，说明理由； (2)已知为的“2次函数”，求实数的取值范围； (3)已知若为的“2025次函数”，求的取值范围． 【答案】(1)是， (2) (3) 【详解】（1），则的值域为， ，则的值域为， 因为，且在上单调递增， 则对任意，， 则对任意，函数与直线均有且只有一个交点， 即恰好存在个实数，使得， 所以是的“次函数”. （2）由，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 可知的值域为， 函数，，值域为，且单调递减， 若使为的“2次函数”， 则对任意，有两个不相等的实数根， 当时，，对任意， 方程在内有且仅有一个根， 所以只需要时，有且仅有一个实数根， 当时，，. ①当时，，且单调递减，符合题意； 由二次函数的对称轴为， 且，， 故再分如下几类讨论函数在的单调性. ②当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 又且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线有且仅有一个交点， 即此时有且仅有一个实数根，满足题意； ③当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，对任意， 当时，函数的图象与直线也有且仅有一个交点，故满足题意； ④当时，， 函数在上单调递减，且， 如图可知，也满足题意； ⑤当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 如图可知，对任意， 当时，要使函数的图象与直线有且仅有一个交点， 必须有，解得，所以. 即当时，要使有且仅有一个实数根，则； 综上所述，实数的取值范围为； （3），，则的值域为， 因为为的“2025次函数”， 所以对于任意，恰有2025个不同的实数根. 设， 则对任意，方程在恰有2025个不同的实数根， 如图，作出函数的部分图象. 可知对于任意，在每一段区间内， 函数的图象与直线都恰有两个交点，即方程有两个根， 所以函数的图象与直线的第与第个交点，在区间内， 因为当时，， 设方程在区间内的根为，且， 如图可知，要使任意，在恰有2025个不同的实数根， 则， 令，解得， 所以， 故要使为的“次函数”，的取值范围为. 例4．（25-26高一上·河南信阳·期中）若函数的定义域､值域均为，则称为区间上的等域函数. (1)若为区间上的等域函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，其中，使得函数为区间上的等域函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)2 (2)存在，此时实数对为 【详解】（1）因为的图象开口向上，且对称轴为， 可知在上单调递增， 若为区间上的等域函数， 则，解得或， 由区间可知，所以实数的值为2. （2）因为，， 若，可知在上单调递增； 若，则，可知在上单调递增； 综上所述：在上单调递增. 若函数为区间上的等域函数， 则，解得， 所以存在，此时实数对为. 变式1．（25-26高一上·湖南·期中）已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称具有“-互倒性”．设，． (1)判断函数是否具有“-互倒性”，并说明理由； (2)当时，若函数与的图象恰有一个交点，求实数的值； (3)当时，设，已知在区间上有两个零点，，证明：． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【详解】（1）函数定义域为，对， , 若，则， 整理得：， 若函数具有“-互倒性”，则方程中各项系数为，则，解得， 即存在，使函数具有“-互倒性”. （2）当时，, 函数与的图象恰有一个交点，即方程有且仅有一个解， 令，则，，方程变为：， 即，令， 对，由均值不等式，当且仅当，即时取等号， 对，当时其最小值为， 所以当时，取得最小值， 因为方程有且仅有一个解，所以. （3）当时，， 设是的两个零点，则①， ②， ①②得， 整理得 假设，则，所以， 又，所以，而与同号， 所以与同号， 与矛盾， 所以假设不成立，所以. 变式2．（25-26高一上·陕西西安·期中）设是定义在（）上的函数，若存在，使得在区间上是增函数，且在区间上是减函数.则称为“含峰函数”，称为峰点，称为含峰区间. (1)试判断是否为上的“含峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说明理由. (2)若（） ①当时，判断是否为上的“含峰函数”？若是，求出峰点；若不是，说明理由. ②若是上的“含峰函数”，写出t的取值范围并指出峰点（不需要证明）. 【答案】(1)是上的“含峰函数”，峰点为； (2)①时，是上的“含峰函数”，峰点为； ②的取值范围是，峰点为. 【详解】（1）由题可得函数是一个开口向下的二次函数，对称轴， 函数在区间上递增，在区间上递减，满足条件， 故是上的“含峰函数”，峰点为； （2）①代入可得：， 设，则， ， 当时，，， 当时，，， 因此在上递增，在上递减， 故在上是含峰函数，峰点为； ②设，则， ， 当时，，在上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，， 当时，，， 当时，，， 因此在上递增，在上递减， 此时是上的“含峰函数”， 峰点为； 综上，的取值范围是，峰点为. 变式3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数的定义域为，给定常数．若存在不相等的实数，使得，则称为“—积定函数”． (1)判断函数是否为“0—积定函数”，并说明理由； (2)设，若是“—积定函数”，求实数的取值范围； (3)设，其中为非零实数，且．若是“—积定函数”，且存在无数组满足的不同实数，都有（常数），求和． 【答案】(1)函数是“0—积定函数”，理由见解析 (2) (3)，. 【详解】（1）函数的定义域为， 根据“0—积定函数”的定义可知存在不相等的实数，使得， 则只需在定义域内有解即可，解得， 取，则， 所以函数是“0—积定函数”. （2）由于值域为， 若存在不相等的实数，使得，即， 当时，显然不成立， 当时，的值域为， 需要与有交集，则， 当时，存在，， 满足，且， 综上的取值范围是. （3）， 由题意，为定值，则分子分母对应各项系数成比例， 由于系数均为1，则其他对应项的系数均相等， 由的系数相等得， 即，则， 代入得成立， 综上，，. 变式4．（25-26高三上·上海·期中）对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“类函数”. (1)已知，试判断是否为“类函数”. (2)设是定义在上的“类函数”，求实数m的最小值； (3)若为其定义域上的“类函数”，求实数m的取值范围. 【答案】(1)是“类函数” (2) (3) 【详解】（1）函数的定义域为， 若在定义域内存在实数，满足，则， 解得或1，所以是“类函数”； （2）因为是定义在上的“类函数”， 所以存在实数满足， 即方程在上有解， 令，则， 因为在上递增，在上递减， 所以当或时，取最小值； （3）由对恒成立，得， 因为若为其定义域上的“类函数”， 所以存在实数，满足 ①当时，， 所以，所以， 因为函数是增函数，所以； ②当时，，所以，矛盾； ③当时，，所以，所以， 因为函数是减函数，所以， 综上所述，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $