3.3.2：抛物线的简单几何性质【七大考点+七大题型】讲义-2025-2026学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019选择性必修第一册）

本讲义聚焦抛物线的简单几何性质，系统梳理四种标准方程的范围、对称轴、焦点、准线等核心要素，衔接椭圆与双曲线知识，构建从定义到几何性质再到直线与抛物线位置关系、焦点弦及焦半径公式的完整学习支架。 资料通过表格对比明晰性质培养几何直观（数学眼光），题型分类含高考模拟题，如焦点弦性质题训练逻辑推理（数学思维），双基达标助力巩固。课中辅助教师系统教学，课后帮助学生查漏补缺，提升解决问题能力。

3.3.2：抛物线的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点二：直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三：直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型归纳】 题型一：抛物线的对称性 【例1】．（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 题型二：直线与抛物线的位置关系 【例2】．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【变式1】．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 题型三：抛物线的弦长问题 【例3】．（25-26高二上·天津滨海新·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的长． 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【变式2】．（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 题型四：抛物线中点弦问题 【例4】．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 题型五：抛物线的焦点弦性质问题 【例5】．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则 ． 【变式1】．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【变式2】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 题型六：抛物线中的参数范围 【例6】．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 【变式1】．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【变式2】．（24-25高二上·江西·月考）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为 . 题型七：抛物线的定值、定点问题 【例7】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广西河池·月考）已知抛物线的焦点为F，不过F点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（    ） A．21 B．13 C．10 D．9 4．（25-26高二上·陕西渭南·期中）抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 6．（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 7．（25-26高二上·安徽合肥·期中）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 8．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 10．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，若直线过点F与C交于A，B两点，线段的中垂线与C的准线交于点P，且线段的中点为Q，则（   ） A． B．可能为锐角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 12．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 三、填空题 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则 . 14．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为 . 15．（24-25高二上·吉林长春·月考）如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是 ．    16．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 17．（25-26高三上·重庆·月考）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 四、解答题 18．（25-26高二上·广西河池·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 19．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 20．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求椭圆的方程： (2)若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 21．（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值. 22．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 23．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2：抛物线的简单几何性质 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一：抛物线的简单几何性质 标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称轴 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点坐标 F F F F 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点坐标 O(0,0) 离心率 e＝1 通径长 2p 知识点二：直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有两个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有一个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点． 知识点三：直线和抛物线 1．抛物线的通径(过焦点且垂直于轴的弦)长为2p. 2．抛物线的焦点弦 过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的一条直线与它交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ①y1y2＝－p2，x1x2＝；②＝x1＋x2＋p；③＋＝. 重难点技巧：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距） （1）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （2）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则； （3）焦点在轴正半轴，抛物线上任意一点，则； （4）焦点在轴负半轴，抛物线上任意一点，则. 【题型归纳】 题型一：抛物线的对称性 【例1】．（2024·重庆·模拟预测）是抛物线上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且的重心恰为F，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据重心可得，结合对称性可得，再根据抛物线的定义运算求解. 【详解】设， 因为的重心恰为F，则，解得， 由可知关于x轴对称，即， 则，即， 又因为，解得. 故选：D. 【变式1】．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 【变式2】．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 题型二：直线与抛物线的位置关系 【例2】．（25-26高二上·河南濮阳·期中）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与C及其准线l分别交于点A，B（A在线段BF上），，则（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】利用平面几何知识可求得点F到准线的距离，进而可求得. 【详解】作出示意图如图所示：    因为直线BF的倾斜角为，所以， 过作垂直准线于，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以. 故选：B. 【变式1】．（25-26高二上·河南焦作·期中）已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案. 【详解】由，易知轴，则， 显然直线的斜率存在，设直线，，， 将直线方程代入抛物线，消去，整理得， ，故，即，解得. 所以直线的斜率为. 故选：B.    【变式2】．（25-26高三上·湖北恩施·开学考试）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】联立抛物线与直线方程得，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到，即可求解. 【详解】设，， 由，消得到， 则， 因为，则，又，， 所以， 所以，解得， 故选：D. 题型三：抛物线的弦长问题 【例3】．（25-26高二上·天津滨海新·期中）倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于两点． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)求直线的方程； (3)求的长． 【答案】(1)焦点， 准线方程 (2) (3) 【分析】（1）根据抛物线方程即可确定，进而可得抛物线准线方程及焦点坐标； （2）由直线的点斜式方程即可求解； （3）求出过焦点且倾斜角为的直线方程，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，利用抛物线的弦长公式即可求得. 【详解】（1）由题意抛物线可知，则焦点，抛物线准线方程为； （2）直线的方程为，即. （3）联立消去得， 设，则，故.    【变式1】．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 【变式2】．（25-26高二上·湖南·期中）已知为坐标原点，抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且． (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线交于点，，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）设直线方程，联立抛物线方程，由韦达定理，通过，求得斜率，再由弦长公式即可求解. 【详解】（1）由点在抛物线上，得， 由，可得，得， 所以抛物线的方程； （2）当斜率不存在时，方程为：， 此时， 则， ，不符合题意， 当斜率存在时，设直线方程为：， 联立抛物线方程消去可得： ， 设， 又，则， 代入， 可得： 代入 得： 化简可得：， 即或， 当时，直线方程为，过坐标原点，不符合题意舍去， 当，直线方程为， 所以 由弦长公式得： 题型四：抛物线中点弦问题 【例4】．（24-25高二上·江西赣州·期末）已知动点P到定点的距离比它到直线的距离大1，直线与动点的轨迹交于A， B两点，且线段AB的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意确定P点的轨迹求出其方程，利用点差法求出直线AB的斜率，即可求得答案. 【详解】由题意动点P到定点的距离比它到直线的距离大1， 则动点P到定点的距离与它到直线的距离相等， 故动点P的轨迹为以F为焦点的抛物线，其方程为， 设，则， 则，则, 由于线段AB的中点为且在抛物线含焦点的一侧区域内，则直线AB的斜率存在，， 故， 故直线的方程为，即， 故选：D 【变式1】．（24-25高二上·北京·期末）已知抛物线（），过其焦点且斜率为2的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为1，则该抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，进而根据题意，结合中点弦的斜率得，进而求解准线方程即可. 【详解】根据题意，设，所以①，②， 所以，①②得：，即， 因为直线AB的斜率为2，线段AB的中点的纵坐标为1， 所以，所以抛物线，准线方程为. 故选：B 【变式2】．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点.若线段的中点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程. 【详解】易知直线的斜率不为0，设方程为，， 联立，整理可得， ， 由中点为可得，可得， 因此直线的方程为，即. 故选：A 题型五：抛物线的焦点弦性质问题 【例5】．（25-26高二上·广西南宁·期中）已知抛物线C：的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且，则 ． 【答案】4 【分析】由抛物线的定义分析可得，再解三角形可得. 【详解】由抛物线定义可知，因为，所以为等边三角形， 故，，所以， 其中准线l与x轴交点为P，则，故，所以． 故答案为：4.      【变式1】．（25-26高二上·云南昭通·月考）已知为坐标原点，抛物线上一点到其焦点的距离为3，过的焦点的直线交于两点，当时，的值为 ． 【答案】8 【分析】首先利用抛物线的定义求出，确定抛物线方程；然后设直线的倾斜角为，利用焦点弦的面积公式求出；最后结合焦点弦的性质和弦长公式，即可求解. 【详解】由已知得，则，所以抛物线方程为， 设直线的倾斜角为， 由于直线过焦点，， 又，所以. 故答案为：8. 【变式2】．（25-26高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点（在点上方），过点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由抛物线定义得到边相等，根据等边对等角得到，根据平行得到角相等，从而得到平分．同理可得平分，即可得到结果. 【详解】解法1  如图，由抛物线定义易知， 根据等边对等角，所以， 因为轴，根据两直线平行，内错角相等，从而，所以平分． 同理可得平分，所以． 解法2  抛物线的焦点为，由题可知的斜率不为0， 故设直线的方程为， 令，，则，， 联立直线与抛物线方程得，消去整理得， 则，． 又，，所以， 则，则． 故答案为：. 题型六：抛物线中的参数范围 【例6】．（2025·北京·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，于点．若是锐角三角形，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】在轴上取点，推导出为锐角，设点，可得出，可求得的范围，再根据抛物线焦半径公式求解即可． 【详解】由题意得， 由抛物线的定义得，所以， 由于是锐角三角形，则为锐角， 在轴上取一点，由轴，所以，则为锐角， 设点，， 则，所以， 则， 故答案为：． 【变式1】．（24-25高二下·上海·月考）抛物线上动点和圆上动点间的距离的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据圆的性质，化简得到，设坐标，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图所示，设圆心为，则， 因为点在上，则坐标，点坐标， 则， 因为圆的半径为，所以最小值为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高二上·江西·月考）已知点是抛物线上的一点，点是的焦点，动点，在上，且，则的最小值为 . 【答案】11 【分析】由题意作图，根据已知点求得抛物线方程，设出直线方程，联立方程，写出韦达定理，利用斜率表示所求代数式，可得答案. 【详解】    因为点是抛物线上的一点，所以，解得，所以. 显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 由，得，所以，解得， 所以，同理可得， 所以， 所以的最小值是11，此时，解得. 故答案为：. 题型七：抛物线的定值、定点问题 【例7】．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知抛物线：的焦点到直线：的距离为． (1)求的值； (2)倾斜角为的直线过，与交于，两点，求； (3)是直线上一动点，过点作的两条切线，切点分别为，，证明：直线过定点． 【详解】（1）解：抛物线的焦点， 由题意可得：，即，， 解得或，又因为，所以． （2）解：由（1）可得抛物线方程为，， 所以直线的方程为，设，，联立，得， ， 所以，， （3）证明：设，，的方程为． 由，得， 所以，，． 易知直线，的斜率存在， 设直线的方程为，由，得． 由，解得，所以直线的方程为，即． 同理可得，直线的方程为． 设，代入直线、中，，， 即，， 所以，可看作方程的两根， 所以，又，所以． 所以直线的方程为，故直线过定点． 【变式1】．（25-26高二上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，．连接，并延长，分别交抛物线于点，，且． (1)求的值； (2)求面积的最小值； (3)求证：直线过定点． 【详解】（1）设直线的方程为，则由，得，所以． 由，得，所以．因为，所以， 又因为，所以． 方法二：设，，由题可知，.因为，所以，所以. 又，所以. （2）设直线的方程为，，，，， 则由得，所以．因为，所以的面积是的面积的2倍．因为，且，所以， 当且仅当时等号成立，所以的面积的最小值是2，所以的面积的最小值是4． （3）由（1），，可得． 设直线的方程为，则由，得，由，得，所以． 所以．设直线的方程为，又因为抛物线， 可得，得，所以． 所以，所以，所以直线的方程为， 所以直线过定点． 【变式2】．（25-26高二上·吉林长春·期中）如图，已知直线与抛物线交于两点，且.    (1)求证：直线恒过定点，并求此定点； (2)若交于点，点的坐标为，请你求出的值； (3)在第（2）问的基础上，若是抛物线上的任一点，为抛物线的焦点，求的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)证明见解析，定点为； (2) (3)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）根据题意设直线方程为，进而与抛物线方程联立，再根据得即可判断定点； （2）根据得直线方程为，再结合（1）得； （3）根据（2）得抛物线，再根据抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）解：由题知直线斜率不为，且不过原点， 故设直线方程为， 联立方程得，， 所以，， 所以 因为，所以，解得， 所以直线方程为，即直线恒过定点 （2）解：因为交于点，点的坐标为， 所以，直线方程，即 因为直线方程为， 所以，即. （3）解：由（2）知，故抛物线，焦点为，准线方程为， 如图，过点作，垂足为，由抛物线的定义得， 所以， 当且仅当三点共线时等号成立，此时，代入抛物线方程得， 所以的最小值为，此时点的坐标为    【双基达标】 一、单选题 1．（25-26高二上·广西河池·月考）已知抛物线的焦点为F，不过F点的直线l与抛物线C相交于A，B两点，且与y轴相交于点P，若，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】过点A、B分别作y轴的垂线AM、BN，垂足分别为M、N，由焦半径公式得，利用得，即可得解. 【详解】如图， 不妨设，则， 则（*），过点A、B分别作y轴的垂线AM、BN，垂足分别为M、N， 因为，所以，易得， 所以，即， 将（*）代入，可得，解得. 故选：C. 2．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知焦点为的抛物线上有一点到直线的距离为6，为坐标原点，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，进而可求得，可求. 【详解】由已知得，焦点，则. 故选：C. 3．（25-26高二上·重庆·期中）已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上异于原点O的两点，且，则的最小值为（    ） A．21 B．13 C．10 D．9 【答案】A 【分析】设，根据得，再根据抛物线定义得，最后利用基本不等式求最值. 【详解】根据题意，设， 因为，所以，所以， 因为A、B是抛物线上异于原点O的两点，所以， 又因为抛物线的准线方程为， 根据抛物线定义可得： ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：A 4．（25-26高二上·陕西渭南·期中）抛物线有这样的光学性质：沿平行于抛物线对称轴的方向射入一条光线，经抛物线反射后，光线一定经过抛物线的焦点.已知从点（）沿平行于轴的方向射入一条光线，经抛物线：反射后交抛物线于另外一点，则点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设反射光线的方程为，联立其与抛物线的方程，消去后，利用韦达定理可得，继而可求解. 【详解】根据题意可知，从点射入的光线经反射后， 一定经过抛物线的焦点， 设反射光线与抛物线的交点为，， 其中， 直线的方程为， 联立得，所以， 因为，所以， 所以点的纵坐标为. 故选:A. 5．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，过点作的准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则（   ） A．26 B．24 C．22 D．20 【答案】D 【分析】先由直线的方程求出焦点、准线方程，得及抛物线的方程，进而得点，从而求出，再由焦半径公式即可得解. 【详解】由，令，得，所以，所以，所以抛物线方程为，准线方程为：， 由，令，得，所以， 设，所以， 所以， 故选：D.    6．（25-26高二上·吉林长春·期中）抛物线的焦点为F，C的准线与轴交于点，过且倾斜角为的直线与交于M，N两点（在轴上方），则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【详解】由抛物线得焦点为， 由题意，得直线MF的方程为，与抛物线方程联立，消去得， 解得，所以，， 所以，故选：D 7．（25-26高二上·安徽合肥·期中）一种如图1所示的卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行的状态射入形状为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处，已知接收天线的口径（直径）为，深度为，则该抛物线焦点到顶点的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，结合条件列方程求，结合抛物线性质可求结论． 【详解】由题意建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的方程为， 接收天线的口径（直径）为，深度为， ，故点，将点的坐标代入抛物线的方程可得，解得， 抛物线的方程为， 焦点的坐标为，即， 抛物线焦点到顶点的距离为． 故选：D． 8．（25-26高二上·安徽阜阳·期中）已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相等，因此，，抛物线的方程为. 设直线的方程为，且，，,， 由得， 所以，， 则， 所以=·=. 综上，. 故选：B. 二、多选题 9．（25-26高二上·江苏无锡·期中）设抛物线的焦点为，点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线的准线的距离为，则（   ） A． B．的坐标为 C． D．直线的方程为 【答案】AD 【分析】由题意得焦点为，准线为，设的坐标为，由中点坐标公式得，，即.由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 即可判断选项A；故抛物线方程为，，则，求出和的值，即可判断选项B；根据三角形面积公式即可判断选项C；根据直线的点斜式方程化简即可判断选项D. 【详解】如图，由题意得焦点为，准线为， 设的坐标为，由为的中点得，，即. 由点到抛物线准线的距离为，得，解得. 故选项A正确； 由选项A知抛物线方程为，，则，故，， 所以点的坐标为或.故选项B错误； 的面积为.故选项C不正确； 由，或知， 直线的方程为，即.故选项D正确. 故选：AD 10．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于点两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】直线与抛物线联立方程组，求出点的坐标，由，求得，即可计算选项中的结论. 【详解】设，， 因为，直线的斜率为，则设直线的方程为，      联立方程，消去y得，解得或， 又因为点在第一象限，则，即， 因为，即，故正确； 因为，所以，故B正确； 且，故C正确； 因为， 且直线的方程为，即为， 原点到直线的距离为， 所以，故D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线C：的焦点为F，若直线过点F与C交于A，B两点，线段的中垂线与C的准线交于点P，且线段的中点为Q，则（   ） A． B．可能为锐角 C．直线的斜率最大值为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据直线方程过焦点坐标，求解，设，联立方程，韦达定理，利用数量积，再求解坐标，求解斜率，进而求解的范围. 【详解】根据直线方程过点,则，故，故A正确； 抛物线与联立，则， 故， 故是钝角,故B错误； 由为中点，则， 当,则， 当且仅当，即取等号， 当,, 当且仅当，即取等号， 当时，,故C正确. 则的中垂线，则， 故， ， 由,则，故D正确. 故选：ACD 12．（25-26高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线的焦点为，准线过点，直线与交于两点，弦的中点为，过分别作准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A． B．若点在抛物线上，则点到准线的距离为3 C．若直线过焦点，则 D．若的面积是的面积的2倍，则点的轨迹方程为 【答案】AC 【分析】根据可得，求出后判断A，根据抛物线定义求出到准线的距离后可判断B，根据抛物线的定义结合等腰三角形的性质、平行线内错角的性质可证，故可判断C的正误，利用设点法结合面积关系可得或，据此求出的轨迹方程后判断D. 【详解】对于A，因为准线过，故，故，故A正确； 对于B，由A可得抛物线方程为，故准线方程为， 而在抛物线上，故到准线的距离为，故B错误； 对于C，由抛物线的定义可得，故， 同理，故， 故，，而，故， 故C正确；    对于D：由题设可得不过焦点，故设，， 则，此时的面积为， 当时，则， 令，则，故此时的面积为（1）， 故，而相异，故， 故即，故或， 又，且， 若，则即的轨迹方程为， 因为，故，故此时的轨迹方程为， 若，同理可得的轨迹方程为， 因为，故，同理可得的轨迹方程为， 若，则，此时的面积为， 故，故， 故或， 故或， 此时，该点在曲线上， 综上，的轨迹方程为或，故D错误.        故选：AC 三、填空题 13．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的一个交点，若，则 . 【答案】8 【分析】因为抛物线的准线为，是上一点，所以设点，，利用，求得，即可求得答案. 【详解】抛物线的准线的方程为，焦点为. 设点，， ，即 ， 可得： ，即，代入 解得： ，即 由两点间距离公式可得: . 故答案为：8. 14．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为 . 【答案】或 【分析】设切线方程，再联立令求解即可． 【详解】由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 15．（24-25高二上·吉林长春·月考）如图，已知直线与抛物线相交于两点，且两点在抛物线准线上的投影分别是，若，则的值是 ．    【答案】/ 【分析】首先根据已知条件得到为中点，再设出，得到，分别代入抛物线方程即可得到，再求斜率即可. 【详解】因为直线恒过，抛物线的准线为， 设直线与准线交于，如图所示：    因为，所以为中点. 设，则，. 所以， 所以. 故答案为： 16．（25-26高二上·浙江·期中）设抛物线被直线截得的弦的长为，则 ． 【答案】/ 【分析】联立直线与抛物线，结合弦长公式，化简可得解. 【详解】设，， 由，得， 则， 由弦长公式得， 即，解得或（舍）， 故答案为：. 17．（25-26高三上·重庆·月考）已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线 交于 两点，且 ，则直线 的斜率为 . 【答案】 【分析】过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为，设，则，利用即可求解. 【详解】当直线斜率为正时，如图所示， 过点分别作准线的垂线，垂足分别为，过点作的垂线，垂足为， 设，则， 由抛物线定义可知，，， 所以，， ， 在中，， 则直线 的斜率. 由对称性可知，当直线斜率为负时，. 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高二上·广西河池·月考）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    19．（25-26高二上·江西南昌·期中）已知抛物线的焦点为F，，O为坐标原点，抛物线C上存在点P，使得. (1)求抛物线C的方程； (2)已知过点F的直线交抛物线C于A，B两点，△AOB的面积为，求以线段AB为直径的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据，联立方程组，求得的值，代入抛物线的方程，求得，即可求解； （2）设直线，联立方程组，得到，利用的面积为，列出方程求得，进而确定圆的圆心和半径，即可求解. 【详解】（1）解：设点，且， 由，可得，解得， 代入抛物线，可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）解：由抛物线，可得其焦点，设直线， 联立方程组，整理得，可得， 则的面积为， 即，解得， 设的中点为，可得，则， 所以 中点坐标，半径， 所以所求圆方程为.    20．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知椭圆的离心率为，且右焦点与抛物线的焦点重合．直线过右焦点且不平行于坐标轴，与有两交点A，B． (1)求椭圆的方程： (2)若椭圆上存在点，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)由条件列出关于的方程，解方程求，由此可得椭圆C的方程； (2)由求点P的坐标，根据点在椭圆上列方程求直线l的斜率即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为， 所以椭圆的右焦点， ，，又∵， ∴，， 因此椭圆的方程为. （2）如图， 设直线l的方程为，，， 联立，消去y得， 则， 若四边形为平行四边形，则， 设 ∴，， ∵点P在椭圆上，∴， 解得，即， ∴当四边形OAPB为平行四边形时，直线l的斜率为， 直线l的方程为，即或. 21．（25-26高二上·江苏·期中）已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据抛物线的定义求出的值，进而得到抛物线的方程； （2）先联立直线与抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，再根据数量积为列出方程，进而求出m的值. 【详解】（1）点为抛物线上一点，且，根据抛物线的定义可得，解得，抛物线的标准方程为. （2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q， 设，联立得，得， ，解得. 由韦达定理，得，， 又，， 又两点P，Q在直线l：上， 故上式化为，化简得， 把韦达定理代入，得，解得或， 直线l不过原点，， 故m的值为. 22．（25-26高二上·新疆喀什·月考）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点，斜率为1的直线l经过该抛物线的焦点F，且与抛物线相交于C，D两点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求线段CD的长； (3)求的值． 【答案】(1) (2)8 (3)1 【分析】（1）利用待定系数法可求抛物线的方程； （2）求得直线l的方程，与椭圆方程联立，可得，，利用弦长公式求解即可； （3）利用焦半径公式，结合（2）求解即可. 【详解】（1）设抛物线的标准方程可以为， 因为抛物线过点，所以，解得， 因此，抛物线的标准方程为； （2）由抛物线的标准方程为，可得焦点， 所以直线l的方程为：，即， 设和的坐标和. 由，得，整理得， 所以，； ； （3）由（2）可知点 和 到焦点的距离分别为：， 所以 .    23．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知抛物线的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于两点，且. (1)求抛物线的方程； (2)过焦点的直线与抛物线交于两点（异于两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件先找出直线的方程，联立直线和抛物线方程解出，从而得出的值建立方程求出的值即可； （2）由抛物线的对称性进行分析后，设直线，联立直线和抛物线方程，分析写出韦达定理，分别求出直线的方程，联立两直线方程分析即可得出结论. 【详解】（1）如图所示： 抛物线的焦点，则直线， 由得， 依题意，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由抛物线对称性，不妨令点在轴上方， 由（1）知，，焦点， 显然直线不垂直于坐标轴， 设其方程为，如图所示： 由消去得：， 因为， 设，，所以， 直线的斜率为:，方程为， 直线的斜率为:，方程为， 由，消去得：， 整理得： ， 因此点的横坐标恒为， 所以点在定直线上. 2 学科网（北京）股份有限公司 $