函数及性质 知识清单-2026届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习知识清单全面覆盖函数核心内容，包含函数解析式、定义域、值域的求法，单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质，以及二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等基本初等函数的图像与性质，构建完整知识体系。 清单按知识模块分类呈现，性质部分结合定义、判定方法与应用，如单调性提供定义法、导数法等五种解法，值域求法含几何法等十三类并附实例。标注重难点如复合函数单调性“同增异减”，周期性判定公式，培养数学思维与数学语言素养。设图像变换技巧与易错点提示，如函数平移“左加右减”，辅助学生自主梳理知识，教师可据此精准指导复习。

函数及性质 一、函数解析式的求法 1、已知f(x)的解析式,求f〔g(x)〕的解析式。 解法:直接把f(x)中得x换成g(x)并化简。 2、已知f〔g(x)〕的解析式,求f(x)的解析式。 解法: 1 换元法:设g(x)=t,解出x,代入原式得f〔g(x)〕= f(t),化简得f(x)= f(t)。 2 凑配法:在f〔g(x)〕的表达式中把每一个含有x的项都凑配成g(x)的形式,再把g(x)换成x即得f(x)得解析式。 3 待定系数法:如果已知函数的类型,求解析式可设出函数的形式,采用待定系数法求解。 3、若已知关于f(x)和的一次方程,求f(x)解析式。解法:设代入原式,所得式子与原式联立解关于f(x)和的二元一次方程组,解出f(x)。 ⑷利用函数的性质求解析式。 二、函数定义域的求法 1、若解析式是关于x的整式,则定义域为全体实数。 2、若解析式是关于x的分式,则定义域为分母不为零的所有实数。 3、若解析式是关于x的偶次根式,则定义域为使得被开方数为非负的所有实数。 4、若解析式中上述几种情况有两种或两种以上,则使得每一部分有意义,然后取交集。 5、若与实际相结合,除解析式有意义外,还要与实际结合。 6、对数函数的定义域为真数大于零的所有实数;指数函数的定义域为所有实数;(指数为零时底数不为零)正余弦函数的定义域为所有实数;正切函数的定义域为;余切函数的定义域为 7、已知f(x)的定义域为A,求f〔g(x)〕的定义域。解法:令g(x)∈A,求出x的范围即可。 8、已知f〔g(x)〕的定义域为A,求f(x)的定义域。解法:由x的范围求出g(x)的范围即为f(x)的定义域。 三、函数值域的求法 1、观察法:(简单函数,基本初等函数) 2、配方法:(形如y=ax2+bx+c或af2(x)+bf(x)+c,a≠0) 3、导数法:(定义在闭区间上的连续函数) 4、均值不等式法:(形如,k>0、x>0) 5、反函数法:(形如)() 6、判别式法:(形如,a1、a2不全为零) 7、单调性法:(形如 ) 8、换元法:(形如 ) 9、图像法:(形如) 10、对勾函数法:(形如,k>0) 11、分离常数法: 12、三角函数法:(y=asinx+b或y=cosx+b, y=asinx+bcosx) 13、几何法:形如 例:求函数的最小值。 y B1 2 A 0 1 P 5 x -3 B 解:原式可化为y= 上式表示y是x轴上的点(x,0)到点A(1,1)和点B(5,-3)的距离的和,如上图连接AB,则线段AB与x轴的交点P就是使y最小的点P(x,0),︱AB︱就是y的最小值.如果在x轴上有另一点R,则在 RAB中, ︱RA︱+︱RB︱>AB.(但AB两点必须在x轴两侧,若在同侧,则找出其中一点关于x轴的对称点再求)所以上式的最小值为 例:求函数的最大值。 解:原式可化为y= y A B 0 P R x 上式表示y是x轴上的点(x,0)到点A(6,4)和点B(2,1)的距离的差,如上图连接AB,并延长AB与x轴的交点P就是使y最大的点P(x,0),︱AB︱就是y的最大值.如果在x轴上有另一点R,则在 RAB中,︱RA︱-︱RB︱<AB.(但AB两点必须在x轴同侧,若在两侧,则找出其中一点关于x轴的对称点再求)所以上式的最大值为 四、函数的单调性的求法 1、定义法。 2、导数法。 3、图像法。 4、定理法(复合函数的单调性同增异减) 5、性质法: 1 若f﹙x﹚ 、g﹙x﹚ 则f﹙x﹚+g﹙x﹚ ; 2 若f﹙x﹚ 、g﹙x﹚ 则f﹙x﹚+g﹙x﹚ ; 3 若f﹙x﹚ 、g﹙x﹚ 则f﹙x﹚-g﹙x﹚ ; 4 若f﹙x﹚ 、g﹙x﹚ 则f﹙x﹚-g﹙x﹚ ; 5 若两个正值函数f﹙x﹚、g﹙x﹚在公共区间上同增(减),则f﹙x﹚﹒g﹙x﹚在公共区间上是增(减)函数。 6 若两个负值函数f﹙x﹚、g﹙x﹚在公共区间上同增(减),则f﹙x﹚﹒g﹙x﹚在公共区间上是减(增)函数。 7 奇函数在对称区间上有相同的单调性。 8 偶函数在对称区间上有相反的单调性。 9 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。 6、,k>0的增区间为减区间为 7、设x1、x2∈〔a,b〕,则 。 。 五、函数的奇偶性 1、奇偶函数的定义及图像特征 ①若f﹙x﹚的定义域关于原点对称且f﹙-x﹚= f﹙x﹚则函数f﹙x﹚为偶函数, 若f﹙-x﹚=- f﹙x﹚则函数﹙x﹚为奇函数。 ②奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。 2、奇偶函数的性质 1 若f﹙x﹚为奇函数且在x=0处有定义,则f﹙0﹚=0. 2 若f﹙x﹚为偶函数,则f﹙x﹚=f﹙︱x︱﹚,反之亦然。 3 在定义域的公共部分 两奇函数的积或商为偶函数。 两偶函数的积或商为偶函数。 两偶函数的和或差为偶函数。 两奇函数的和或差为奇函数。 一奇一偶函数的积或商为奇函数。 ④对于函数f(x),令h(x)= 则h(x)为偶函数,g(x)为奇函数,且f(x)=h(x)+ g(x)。这说明任意一个函数都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和。 3、奇偶性的判断方法 1 定义法: 2 图像法: 3 性质法: 4 若f(x)=0且定义域关于原点对称,则f(x)即是奇函数又是偶函数。 4、基本初等函数的奇偶性 1 y=kx+b(k≠0)是奇函数的充要条件是b=0. 2 y=ax +bx+c(a≠0)是偶函数的充要条件是b=0. 3 是非奇非偶函数。 4 是非奇非偶函数。 5 是奇函数。 6 y=sinx为奇函数、y=cosx为偶函数、y=tanx为奇函数。 六、函数的周期性 1、如果存在一个非零常数T,使得对于函数y=f(x)定义域内的每一个x都有f(x+T)=f(x)成立,则函数y=f(x)叫做周期函数,T叫做函数y=f(x)的一个周期。nT(n∈Z)都是函数的周期。 2、若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x),其中(a>0)则函数y=f(x)得周期为2a。 证明:由f(x+a)=- f(x)可得- f(x+a)=f(x)。 令x=x+a代入原式有f[(x+a)+a]=- f(x+a)=f(x) ∴f(x+2a)=f(x) 3、若函数y=f(x)满足f(x+a)=,则周期为2a。 4、若函数y=f(x)满足f(x+a)=,则周期为2a。 5、若函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x-a),则周期为2a。 6、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)时,若f(x)为奇函数,则周期为4a、若f(x)为偶函数,则周期为2a。 7、若对任意的x∈R恒成立,其中(a>0)则 f(x)是以2a为周期的周期函数。 8、若对任意的x∈R恒成立,其中(a>0)则 f(x)是以4a为周期的周期函数。 9、若对任意的x∈R恒成立,其中(a>0)则 f(x)是以4a为周期的周期函数。 10、若对任意的x∈R恒成立,其中(a>0)则 f(x)是以2a为周期的周期函数。 11、若f(x)同时关于x=a与x=b对称(a<b),则f(x)是周期函数,2(b-a)是f(x)的一个周期。 证明:∵f(x)的对称轴为x=a及x=b ∴f(x)=f(2a-x)、f(x)=f(2b-x)、 即f(2a-x)= f(2b-x) 令x=2a-x代入上式可得: f〔2a-(2a-x)〕= f〔2b-(2a-x)〕 ∴f(x)=f〔2(b-a)+x〕∴2(b-a)为函数f(x)的一个周期. 12、若f(x)关于x=a及点(b,c)对称,则函数f(x)的周期为4(b-a). 证明:由f(x)关于x=a 对称可得 f(x)=f(2a-x) 设点(x,y)在f(x)上 ∵f(x)关于点(b,c) 对称 ∴点(x,y)关于点(b,c)的对称点为(2b-x,2c-y) ∴f(x)关于点(b,c)对称的函数为f(2b-x)=2c-y 又∵f(x)=y ∴f(x)+f(2b-x)=2c 又∵f(x)= f(2a-x) ∴f(2a-x)+f(2b-x)=2c 令x=2a-x代入上式可得 f[2a-(2a-x)]+f[2b-(2a-x)]=2c ∴f(x)=2c-f(2b-2a+x)① 令x=2b-2a+x代入①式可得 f(2b-2a+x)=2c-f(4b-4a+x)② ②代入①可得f(x)=f[4(b-a)+x] ∴4(b-a)为函数f(x)的一个周期。 13、若f(x)关于点(a,0)及点(b,0)同时对称,则f(x)以2︱b-a︱为周期. 证明:由f(2a-x)=f(2b-x)得f(x)=f[2(b-a)+x] 14、证明函数F(x)=f(ax+b)(a>0)是以为最小正周期的周期函数的充要条件是f(x)是以T为最小正周期的周期函数. 证明:设为函数f(ax+b)的最小正周期,则 设ax+b=t则x=代入原式得f(t)=F()即f(x)= F() ∴f(x)=f(x+T)即T为f(x)的周期. 设T为f(x)的最小正周期.则 f(x+T)=f(x)令x=ax+b则 f(ax+b+T)=f(ax+b)=F(x)① f(ax+b+T)=f[a(x+)+b]=F(x+)② 由上两式可得F(x+)= F(x)即F(x)是以为周期。 15、设f1(x)与f2(x)定义在公共集合上且分别以T1/T2为周期. (p、q为互质正整数)则f1(x).f2(x);f1(x) f2(x); (f2(x)≠0)均是以pT1为周期的函数. 证明:由得T1p=T2q 令T= T1p=T2q(T为T1与T2得公倍数)则 f1(x+T) f2(x+T)=f1(x+T1p) f2(x+T2q)=f1(x) f2(x) ∴pT1为f1(x) f2(x)的周期。 同理得其它两式的周期也为pT1 七、函数的对称性 1、定义在R上的函数f(x),若f(2a-x)=f(x),则对称轴为x=a 2、定义在R上的函数f(x),若f(a+x)=f(a-x),则对称轴为x=a 3、定义在R上的函数f(x),若f(a+x)=f(b-x),则对称轴为 4、定义在R上的函数f(x),则函数y=(a+x)与y=(b-x)的图像关于x=对称 5、定义在R上的函数f(x),则函数 f(x-m)与f(m-x)(m>0)的图像关于直线x=m对称. 6、定义在R上的函数f(x),若f(2a-x)=-f(x),则图像关于点(a,0)对称 7、若f(a+x)是偶函数,则f(a+x)=f(a-x). 8、若f(a+x)是奇函数,则f(a-x)=-f(a+x)f(x)关于点(b,0)成中心对称. (注:若f(a+x)=-f(b-x)则f(x)关于点成中心对称.) 八、二次函数 1、二次函数的解析式 ①一般式:y=ax2+bx+c;(a≠0) ②顶点式:y=a(x-h)2+k; (a≠0) ③两根式:y=a(x-x1)(x-x2); (a≠0) 2、二次函数在闭区间上必存在最大值与最小值且最值点在闭区间的左右端点及顶点三处取得. 3、二次方程ax2+bx+c(a>0)根的分布 1 方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 2 方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 3 方程有一个小于常数k和另一个大于常数k的不等实根的充要条件是f(k)<0 4 方程有位于区间(k1,k2)内的两个不等实根的充要条件是 5 方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是 6 在(k1,k2)内有且只有一个实根的充要条件f(k1)﹒f(k2)<0或 7 二次函数在某区间上的最值的求法特别是含参数的两类“轴动区间定”和“轴定区间动”的解法要抓住“三点一轴”数型结合.三点指区间两端点和区间中点,一轴指对称轴. 九、幂函数图像及性质 形如y=xa(a∈R)的函数叫做幂函数。 p、q互质 P与q同奇 P为偶,q为奇 P为奇,q为偶 y 0 x y 0 x 0 x y 0 x y 0 x y 0 x y 0 x 0 x y 0 x 由幂函数的图像可得: 幂函数的性质随着a的变化而变化,定义域、值域、单调性、奇偶性都在随着a的不同而不同。 当a>0时,图像都过点(0,0) 、(1,1),在区间(0,+ ∞)上为增函数; 当a<0时,图像都过(1,1)点, 在区间(0,+ ∞)上为减函数; 十、指数函数图象及性质 形如y=ax(a>0且a≠1)函数叫做指数函数. 解析式 y=ax(a>1) y=ax(0<a<1) 图 像 y 1 o x y 1 o x 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 (0,+∞) (0,+∞) 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 图像间关系 在y轴右侧底大图高 在y轴右侧底大图高 十一、对数函数图像及性质 形如y=㏒ax(a>0且a≠1)的函数叫做对数函数. 解析式 y=logax(a>1) y=logax(0<a<1) 图 像 y 0 1 x y 0 1 x 定义域 (0,+∞) (0,+∞) 值域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 单调性 单调递增 单调递减 奇偶性 非奇非偶函数 图像间关系 在x轴上方底大图底 在x轴下方底大图低 十二、指数与对数公式 ; , ; ; ,, , , , 十三、函数的图像与性质 a>0,b>0 a<0,b<0 a>0,b<0 a<0,b>0 图像 y o x y o x y o x y o x 定义域 (-∞,0)∪(0,+∞) 值域 R 奇偶性 奇函数 递增区间 (-∞,0), (0,+∞) 无 递减区间 无 (-∞,0), (0,+∞) 渐近线 x=0,y=ax x=0,y=ax x=0,y=ax x=0,y=ax 十四、函数图像的平移变换 1、y=f(x)的图像向左或向右平移a个单位长度得到y=f(x a)的图像.(左加右减) 2、 y=f(x)的图像向上或向下平移b个单位长度得到y=f(x) b的图像.(上加下减) 十五、升缩变换 ⑴y=Af(x)(A>0)的图像可将f(x)的图像上所有点的纵坐标变为原来的A倍,横坐标不变而得到 ⑵y=f(ax)(a>0)的图像可将f(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变而得到 二六、对称变换 1、y=f(x)与y=f(-x)的图像关于y轴对称. 2、y=f(x)与y=-f(x)的图像关于x轴对称. 3、y=f(x)与y=-f(-x)的图像关于原点对称. 4、y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于y=x对称. 5、y=f(x)与y=f(2a-x)的图像关于x=a对称. 6、y=f(x)与y=-f(2a-x)的图像关于点(a,0)对称. 7、y=︱f(x)︱的图像可将y=(x)的图像在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方,其余部分不变而得到. 8、y=f(︱x︱)的图像可将y=f(x)的图像在y轴左侧去掉,把y轴右侧的图像以y轴为对称轴翻折到左侧,原右侧保留而得到. 第 1 页 共 5 页 学科网(北京)股份有限公司 $