第二十四章 圆 专项培优习题课件 2025-2026学年沪科版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦网格中的几何作图，以格点坐标读取为起点，通过中点确定（如AB中点D）过渡到位似、旋转180°、对称等变换作图，构建从基础到复杂的学习支架，帮助学生逐步掌握中考常考网格作图技能。 其亮点在于精选中考真题与模拟题（如2025安徽中考位似作图、芜湖三模创新角度题），通过真实网格情境培养几何直观与空间观念，结合角平分线作图等创新题型发展创新意识。学生能熟悉中考题型提升技能，教师可直接用于教学提升效率。

第四第24章单元 专题训练6　【方法整合】与切线有关的 常用辅助线作法 1 1.[2025·合肥一模]如图，在⊙O中，BC是切线，切点是B，直线CO交⊙O于点D，A、E为⊙O上的一点，连接BE、DE.若∠C＝24°，则∠E的度数为(　　) A．66° B．33° C．34° D．24° B 2 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD的内部，过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E，连接OA、OD.若∠ABC＝100°，∠DCE＝30°，则∠AOD的度数为(　　) A．120° B．130° C．140° D．150° C 3 3．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB于点M，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5，则AD＝________. 1.5 4 4．[2025·滁州月考]如图，BD是过⊙O圆心的一条直线，A为圆上一点，过点O作OC⊥BD，交圆于点C，连接AC、AB，AB与⊙O相切，AC与BD交于点E，已知AB＝BE，OE＝4， 5 5．[2025·广州一模]如图，AB是⊙O的直径，直线DE与⊙O相切于点C，过点A，B分别作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足分别为点D、E，连接AC、BC，若AD＝1，CD＝2，则△ABC的面积为________. 5 6 6．(8分)[2025·芜湖二模]如图，△ABC内接于⊙O，过点B作⊙O的切线交AO的延长线于点D，AD交⊙O于点E，交BC于点F， 证明：如图，连接OB，OC， ∵BD为⊙O切线，OB为⊙O的半径， ∴OB⊥BD，∴∠OBC＋∠DBF＝90°. (1)求证：DB＝DF； 7 ∴OC⊥AE，∴∠OCB＋∠OFC＝90°. 又∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OFC＝∠DBF. ∵∠OFC＝∠DFB，∴∠DBF＝∠DFB， ∴DB＝DF. 解：如图所示，连接CO，BE，过点B作BH⊥AE于点H. ∵AE为⊙O的直径，⊙O的半径是5， ∴∠ABE＝90°，AE＝10，OC＝5. 9 7.(8分)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AE是⊙O的直径，延长AE到点D，连接BD.且AB＝BD，∠BAD＝30°.求证：直线BD是⊙O的切线. 证明：如图，连接OB， ∵OB＝OA，∠BAD＝30°， ∴∠OBA＝∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°. ∵AB＝BD，∴∠D＝∠BAD＝30°， ∴在△OBD中，∠OBD＝180°－60°－30°＝90°， 即OB⊥BD. 又∵OB是⊙O的半径， ∴直线BD是⊙O的切线． 11 (1)求证：CE是⊙O的切线； ∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠EBC＝∠OCB，∴OC∥BE. ∵BE⊥CE，∴OC⊥CE. ∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线． 12 (2)若BE＝3，AB＝4，求BC的长. 解：如图，连接AC. ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°. ∵CE⊥BE，∴∠CEB＝90°，∴∠ACB＝∠CEB. ∵∠ABC＝∠CBE，∴△ABC∽△CBE， 13 9．(8分) 如图，△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， 腰AB与⊙O相切于点D，如何证明AC是⊙O的切线？ 联系定理： ①证明AC是切线→无切点→作垂直，证半径； ②已知AB是切线→有切点→连半径，得垂直； ③AB＝AC，O为底边BC的中点→三线合一． 作出辅助线并证明． 14 证明：如图，过点O作OE⊥AC于点E，连接OD，OA，∵AB与⊙O相切于点D，∴AB⊥OD. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，∴AO是∠BAC的平分线，∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，∴AC是⊙O的切线． (8分)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以点D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝10，EB＝6. (1)求证：AC是⊙D的切线； 证明：如图，过点D作DF⊥AC于点F， ∵∠B＝90°，∴AB⊥BC. ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴BD＝DF，∴AC是⊙D的切线． 16 (2)求线段AC的长． ∴Rt△BDE≌Rt△FDC(HL) ，∴EB＝CF. ∵AB＝AF，∴AB＋EB＝AF＋FC， 即AB＋EB＝AC，∴AC＝10＋6＝16. 17 ＝，则AB的长度为____________. C为的中点. ∵点C为的中点，OC为⊙O半径， (2)若⊙O的半径为5， sin∠BAF＝，求的值． ∵在Rt△ABE中，sin∠BAF＝， ∴BE＝AE·sin∠BAF＝10×＝6， ∴AB＝＝＝8. ∵BH⊥AE，∴∠BHE＝90°， ∴BH＝AB·sin∠BAF＝8×＝. ∵OC⊥AE，∴∠COE＝90°. 又∵∠BHF＝90°，∠BFH＝∠CFO， ∴△BHF∽△COF，∴＝＝＝. 8．(8分)如图，AB为⊙O的直径，点C，D在圆上，＝，过点C作射线BD的垂线，垂足为E. 证明：如图，连接OC. ∵＝，∴∠ABC＝∠EBC. ∴＝，∴＝， ∴BC＝2 (负值已舍去) ． 解：在Rt△BDE和Rt△FDC中， $第24章 专题训练8　【中考趋势】综合与实践 1 (12分)【实践课题】本实践课题通过计算车辆转弯的内轮差和内轮差区域的面积，助力提高学生交通安全意识． 【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具． 【实践活动】图①是车辆转弯的简易示意图，线段a，b，c，d表示车轮(其中a和d是转 向轮)，线段a，b，c，d中点 A，B，C，D表示车轮轴心， 四边形ABCD为矩形． 2 线段b和c分别在直线AB和CD上．已知车辆在转弯(矩形ABCD绕点O旋转)时，四个车轮的行驶轨迹为同心圆，且每个车轮的指向与对应圆相切，切点即为车轮轴心． 3 (1)内轮差是车辆转弯时，内前轮转弯半径与内后轮转弯半径之差．如果测得并排两轮轮距BC＝2 m，两个转向轮的偏转角∠1和∠2分别为30°和22.63°，请求出车辆的内前轮a和内后轮b的内轮差(结果精确到0.1 m，参考数据：cos 30°≈0.87，tan 30°≈0.58，tan 22.63°≈0.42)； 4 (1) 易知a⊥OA，b⊥OB，c⊥OC，d⊥OD， ∴∠1＋∠OAB＝90°，∠OAB＋∠AOB＝90°， ∴∠1＝∠AOB＝30°，同理∠2＝∠DOC＝22. 63°， 设OB＝x m， ∵BC＝2 m，∴OC＝(x＋2) m. 在Rt△AOB中，AB＝OB·tan∠AOB＝OB·tan 30°. 在Rt△COD中，DC＝OC·tan∠DOC＝OC·tan 22. 63°. 5 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD. ∴OB·tan 30°＝OC·tan 22. 63°，即x·tan 30°＝(x＋2) ·tan 22. 63°， 解得x≈5. 25. ∴OB≈5. 25 m，AB≈3. 045 m. ∵∠AOB＝30°，∴OA＝2AB≈6. 09 m. ∴OA－OB≈0. 8 m，即车辆的内前轮a和内后轮b的内轮差约为0. 8 m. 6 (2)车辆转弯时线段AB扫过的区域叫做内轮差区域．如图②，在(1)的条件下，若车辆绕点O逆时针旋转90°到达四边形A′B′C′D′对应的位置，请直接写出内轮差区域的面积(结果保留π)； 内轮差区域的面积约为2. 381 4 m2. 7 (3)内轮差区域内的人和物会因车辆转弯而发生碰撞事故，所以这一区域有极大的安全隐患，如果你旁边的车辆转弯，为确保人身安全， 你认为应该怎样做？ 当身旁的车辆转弯时，不要站在车辆的内轮差区域．(答案不唯一，合理即可) 8 $第24章 专题训练4　【一题多解】圆周角的 综合计算 1 证法一(可以尝试连接BD构造两个圆周角来证明)： 2 证法一：如图①，连接BD， ∵＝，∴∠BDC＝∠BAC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°. ∵∠ADC＝∠ADB＋∠BDC， ∴∠ADC＝90°＋∠BAC， ∴∠ADC－∠BAC＝90°. 证法二(可以尝试连接BC构造直径所对的圆周角和圆内接四边形来证明)： 证法二：如图②，连接BC， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°－∠ADC. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∴∠BAC＋180°－∠ADC＝90°， ∴∠ADC－∠BAC＝90°. 4 2．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD. 求证：∠1＋∠2＝90°. 证法一(可以尝试通过构造辅助圆， 进一步构建圆周角或圆心角来证明)： 证法一：如图①，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A. ∵AB＝AC＝AD， ∴点C、D都在⊙A上，∠ABC＝∠2. 又∵∠BAC＝2∠1，∠ABC＋∠2＋∠BAC＝180°. ∴2∠2＋2∠1＝180°，∴∠1＋∠2＝90°. 5 证法二(可以尝试通过构造辅助圆，进一步构建两个圆周角来证明)： 证法二：如图②，以点A为圆心，AB长为半径作⊙A，延长CA交⊙A于点P，连接BP. ∵AB＝AC＝AD， ∴点C、D都在⊙A上． ∵PC为⊙A的直径，∴∠PBC＝90°， ∴∠P＋∠2＝90°. ∵∠1＝∠P， ∴∠1＋∠2＝90°. 6 1．(8分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是上一点，P是AB的延长线上一点，连接AD，DC，CP，求证：∠ADC－∠BAC＝90°. $第24章 专题训练5　【思想整合】圆中的分类讨论 1 1．[2025·上海模拟]在同一平面内，点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是________. 3或8 2 2．在平面直角坐标内，点A的坐标为(1，0)，点B的坐标为(a，0)，圆A的半径为2.若点B在圆上，则a值为(　　) A．2或3 B．－1或3 C．－3或1 D．－3或2 B 3 3．[2025·合肥期末]如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AB＝AD，∠BAD＝110°，若点E为⊙O上的一点，连接AE，BE，则∠AEB的度数为(　　) A．35° B．70° C．55° D．35°或145° D 4 4．[2025·滁州月考]已知⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8 cm，则AC的长为(　　) C 5 5．如图，P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有⊙O的弦中，弦长为整数的弦的条数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 C 6 解：如图①，当弦AC，AD在直径AB同侧时，连接BC，BD. ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 如图②，当弦AC，AD在直径AB异侧时，连接BC，BD. 7 同理，可得∠CAB＝45°，∠DAB＝30°， ∴∠CAD＝∠CAB＋∠DAB＝75°， ∴劣弧CD的度数为75°×2＝150°. 7．⊙O是△ABC的外接圆，OD⊥BC于点D，且∠BOD＝40°，则∠BAC的度数是_____________. 40°或140°　 思路点睛：此题需分点A在BC所对的优弧和劣弧上两种情况进行讨论． 9 8．(8分)以BC为底边的等腰三角形ABC的外心是点O，且∠BOC＝90°，BC＝4，求△ABC的面积. 解：分两种情况： 第一种：如图①，连接AO并延长交BC于点D， ∵AB＝AC，∴AD⊥BC. ∵∠BOC＝90°，BC＝4，OB＝OC， 10 A．2 cm B．4 cm C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm 6．(8分)已知⊙O的直径AB＝2 cm，过点A有两条弦AC＝2 cm，AD＝ cm，求劣弧CD的度数. ∴cos∠CAB＝＝，cos∠DAB＝＝， ∴易得OC＝＝＝2 ，∠OCD＝45°， ∴OD＝CD＝BC＝2， ∴AD＝2 ＋2， ∴S△ABC＝BC·AD＝×4×(2 ＋2) ＝4 ＋4. 第二种：如图②，连接AO交BC于点D， 由第一种情况可得，AD＝2 －2， ∴S△ABC＝BC·AD＝×4×(2 －2) ＝4 －4. 综上可得，△ABC的面积为4 －4或4＋4 . $第24章 专题训练3　【方法整合】与圆有关的常用 辅助线的作法 1 方法指导　　 【关键点】构造直角三角形，运用垂径定理和勾股定理进行求值. 见弦，过圆心作弦的垂线 见直径垂直于弦，连半径 1.[2025·滁州二模]如图，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上，已知⊙O的半径为7，若PA＝3，OP＝5，则PB的长为________. 8 3 2．用直尺测胶带纸的外圆半径，如图所示，已知直尺宽3.5 cm，直尺两边与胶带外圆交于A、B、C、D四点，AB＝4 cm，CD＝3 cm，则胶带外圆半径为________cm. 2.5 4 方法指导　　 【关键点】找到同弧或等弧，顺弧找圆心角、圆周角，运用圆周角定理和推论进行求值. 3.[2025·深圳二模]如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域⊙O内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”．船P与两个灯塔的夹角为α，若∠ACB＝55°，则船P位于安全区域时，α的大小可能为__________________°. (写出一个即可) 54(答案不唯一) 6 4．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠CDB＝42°，则∠ABC的度数是(　　) A．48° B．42° C．45° D．43° A 7 5．[2025·马鞍山一模]如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，△COE为等腰三角形，CO为底，∠COE＝50°， A．150° B．130° C．90° D．70° A 8 6．(8分)[2025·泰州二模]如图所示的是由边长为1的小正方形组成的10×6的网格，点A、B均在格点上，以AB为直径作半圆O，格点C在半圆O上．请仅用无刻度的直尺作图．(保留作图痕迹，不写作法) (1)在图①中作∠BAC的平分线， 交BC于点D； 解：如图①，AF即为所作的∠BAC的平分线． 9 (2)在图②中的半圆弧上确定点E，使得BC平分∠ABE. 解：如图②，点E即为所作． 10 方法指导　　 【关键点】构造圆内接四边形，运用圆内接四边形的对角互补，任何一个外角等于它的内对角求值. 7.如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，BE是直径，BE∥CD，点F在BA的延长线上，∠E＝24°，则∠DAF的度数为________. 114° 12 (1)求半径→即求长度→此题求长度可用(　　) A．勾股定理 B．相似 C．等面积法 D．锐角三角函数 (2)求半径还缺什么条件？从哪些已知条件中可以获得或转化？ (3)请写出求解过程. AD 13 如图，在弦AC所对的优弧上取一点D，连接DA，DC，OA，作OH⊥AC于点H，易知∠D＋∠ABC＝180°，∴∠D＝180°－∠ABC＝180°－120°＝60°，∴∠AOC＝2∠D＝120°. 15 (1)请按照上面的证明思路，将证明过程补充完整； 证明：如图①所示，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC，MG， 16 ∴△MBA≌△MGC(SAS) ，∴MB＝MG. ∵MD⊥BC，∴BD＝GD， ∴CD＝GC＋GD＝AB＋BD. 18 点拨：如图②所示，在BD上截取BF＝CD，连接AF，AD. ∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°. ∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE， 则的度数是(　　) 作对角 作内对角 8．(8分)如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝120°，AC＝4 ，如何求⊙O的半径？ ∵OH⊥AC，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，AH＝AC＝×4 ＝2 ，∴sin∠AOH＝sin 60°＝＝，∴AO＝4，∴⊙O的半径为4. 9．(8分)[2025·阜阳期中]阅读理解：如图①，AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦)，BC>AB，点M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB＋BD.下面是运用“截长法”证明CD＝AB＋BD的部分证明过程． 证明：如图①，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC，MG. ∵M是的中点，∴ MA＝MC…… ∵M是的中点，∴MA＝MC. 又∵所对圆周角为∠A与∠C， ∴∠A＝∠C， 在△MBA和△MGC中， (2)如图②，已知等腰三角形ABC内接于⊙O，AB＝AC＝，BC＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长为________. 2＋2 ∴BE＝AE＝AB＝×＝. ∵所对的圆周角为∠ABF与∠ACD， ∴∠ABF＝∠ACD， 在△ABF和△ACD中， ∴△ABF≌△ACD(SAS) ，∴AF＝AD. ∵AE⊥BD，∴EF＝DE， ∴BD＋CD＝BF＋EF＋DE＋BF＝2BF＋2EF＝2BE＝2 ， ∴△BDC的周长为BC＋BD＋CD＝2＋2 . $第24章 专题训练1　【中考常考题型】网格作图 1 中考真题 1．(8分)[2025·安徽中考]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，△ABC的顶点和A1均为格点(网格线的交点)．已知点A和A1的坐标分别为(－1，－3)和(2，6). (1)在所给的网格图中描出 边AB的中点D，并写出点D的坐标； 2 解：(1) 点D的位置如图所示．点D的坐标为(－2，－1) ． (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△A1B1C1，使得点A的对应点为A1，请在所给的网格图中画出△A1B1C1. 解： (2) 如图． 4 2．(12分)[2024·安徽中考]如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系xOy，格点(网格线的交点)A，B，C，D的坐标分别为(7，8)，(2，8)，(10，4)，(5，4). (1)以点D为旋转中心，将△ABC 旋转180°得到△A1B1C1， 画出△A1B1C1； 5 解：(1) △A1B1C1如图所示． (2)直接写出以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积； (3)在所给的网格图中确定一个格点E,使得射线AE平分∠BAC,写出点E的坐标． (2) 以B，C1，B1，C为顶点的四边形的面积为40. (3) (答案不唯一) 如图，点E即为所求．点E的坐标为(6，6) ． 7 3．(12分)(创新题·新角度　2025·芜湖三模)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段AB的两个端点均为格点(网格线的交点)，过格点的直线l与线段AB相交于格点O，且OA＝2OB. (1)画出线段AB关于直线l对称的 线段CD(其中点D为点A的对应点)； 中考演练 8 (2)将线段AB绕点O逆时针旋转90°，得到线段EF，画出线段EF(其中点E为点A的对应点)； (3)在网格内找到两个格点P、Q(P、Q均不与点O重合)，使得点P、Q均在∠AOE的角平分线上，画出线段PQ. 9 解：(1) 如图，线段CD即为所作． (2) 如图，线段EF即为所作． (3) 如图，线段PQ即为所作 (P、Q位置可互换) ． 4．(12分)[2025·合肥一模]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别是A(－2，2)，B(－4，－2)，C(2，－2). (1)以点O为位似中心，在平面直角坐标系中画出△ABC的位似图形△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)，使△A1B1C1与△ABC的相似比 为1∶2，且点B1在第一象限； (2)画出以点O为旋转中心，将 △ABC旋转180°后得到的△A2B2C2； 11 解：(1) 如图，△A1B1C1即为所作． (2) 如图，△A2B2C2即为所作．　 13 (3)的值为______． $第24章 专题训练2　【专项整合】旋转性质 的常见应用 1 1．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△AB′C′，若点C，B，C′共线，则∠B′C′C的度数为(　　) A．60° B．45° C．30° D．15° A 2 2．[2025·合肥二模]如图，在△ABC中，∠CAB＝62°，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′的度数为(　　) A．64° B．52° C．62° D．56° D 3 3．[2025·淮北期末]如图，将Rt△ABC绕直角顶点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，点A′落在BC的延长线上．若AC＝8，BC＝6，点M，M′是AB，A′B′的中点，则MM′的长是________. 4 4．把边长为5的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是________． (补充设问)四边形ABOD′的面积为______________. 5 5．(12分) (新课标·探究建模 2025·合肥期中)【问题背景】如图①，设P是等边三角形ABC内的一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，求∠APB的度数．小君研究这个问题的思路是：将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP′，易证△APP′是等边三角形，△PBP′是直角三角形，所以∠APB＝∠APP′＋∠BPP′＝150°. 6 135 7 (2)如图③，在等边三角形ABC中，P为△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝12，∠APB＝150°，求PC的长； 8 如图①，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ABP′，连接PP′， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AC＝AB， 根据旋转的性质可知，BP′＝CP，AP′＝AP＝5，∠PAP′＝60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝AP＝5，∠APP′＝60°. ∵∠APB＝150°， ∴∠BPP′＝∠APB－∠APP′＝90°， 【拓展延伸】 (3)如图④，等腰直角三角形ABC(∠ABC＝90°)与Rt△ADC(∠ADC＝90°)在AC的同侧，若AD＝2，DC＝4，连接BD，直接写出BD的长度． 11 点拨：如图②，将△CBD绕点B顺时针旋转90°得到△ABD′，AB与CD的交点记作G， 根据旋转的性质可知，BD′＝BD，CD＝AD′，∠DBD′＝90°，∠BCD＝∠BAD′. ∵∠ADC＝∠ABC＝90°， ∴∠DAB＋∠AGD＝∠BCD＋∠BGC＝90°. ∵∠AGD＝∠BGC， ∴∠BAD＝∠BCD， ∴∠BAD＝∠BAD′， ∴点D′在AD的延长线上， ∴DD′＝AD′－AD＝CD－AD＝4－2＝2， 根据勾股定理，得BD2＋BD′2＝DD′2， ∴2BD2＝22， 5 10 25 －25 【简单应用】 (1)如图②，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，P为△ABC内一点，且PA＝5，PB＝3，PC＝2 ，则∠BPC＝________°； 根据勾股定理，得BP′＝＝＝13， ∴PC＝13. BD＝. 　 ∴BD＝(负值已舍去) ． $第24章 专题训练7　【中考常考题型】圆中常见 的最值问题 1 1．如图，AC是⊙O的弦，AC＝4，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M，N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值为(　　) A 2 2．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上异于点A、B的一动点，且∠ACB＝30°，点E，F分别是AC，BC的中点，直线EF与⊙O交于G，H两点，若⊙O的半径为6，则GE＋FH的最大值为________. 9 3 3．如图，在⊙O中，弦AB＝9，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为 ________. 4 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A(5，0)，直线y＝kx－2k＋2(k≠0)与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为________. 5 A 6 6．[2025·淮北期末]如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC＋PD最小时，OP的长为(　　) B 7 7.如图，已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的弦，AB＝8，Q为AB中点，P是圆上的一点(不与点A，B重合)，连接PQ，则PQ的最大值为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 C 8 8．将一块含45°角的直角三角板和一块量角器按如图所示位置摆放(三角板顶点A与量角器0刻度处重合)，量角器与三角板交于点D，经测量知AD＝18 cm，点E为AD的中点， C 9 9．如图，已知正方形ABCD的边长为8，E是正方形内部的一点，连接BE，CE，且∠ABE＝∠BCE，点P是边AB上一动点，连接PD，PE，则PD＋PE长度的最小值为(　　) D 10 10．[2025·芜湖二模]如图，M是等腰直角三角形ABC的边BC的中点，P是平面内的一点，连接AP，将线段AP以点A为旋转中心逆时针旋转90°，得到线段AQ，连接MQ.若AB＝4，点M，P之间的距离为1，则MQ的最小值为(　　) C 11 12 12．(12分) (新课标·探究建模) 【初步探究】(1)如图①，AB为⊙O的直径，点P在BA的延长线上，在⊙O上任取一点C(不与A，B两点重合)，连接PC，OC.则PA________PC；(填“>”“<”或“＝”) < 13 14 如图，取BC的中点E，连接AE，交半圆于P′，连接EP，则AP≥AE－EP，当且仅当P在P′处时， 等号成立，即AP′是AP的最小值． 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4， 【构造运用】(3)图③是一个边长为200 m的等边三角形空地ABC，P为△ABC区域内的一点，分别沿PA、PB、PC修三条人行小道，三条人行小道将三角形空地ABC分成了三个区域，用来种植三种不同的花卉，根据设计思路，要使∠PAB＝∠PCA，小道BP的最小值为 ________m. 16 A．2 B．4 C．6 D. 2 5．[2025·广安二模]如图，MN是半径为0.5的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN＝30°，B为的中点，P是直径MN上一动点，则PA＋PB的最小值为(　　) A. B. C．1 D．2 A. B. C．1 D. 点F为上一动点，则EF的最小值为(　　) A．9 B．9 C．9 －9 D. A．8 B．4 C．8 －4 D．4 －4 A．4 B．5 C．3 D．2 －1 11．如图，点A、B的坐标分别为 (2 ，0)、(0，2 )，C为坐标平面内的一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最小值为________. 【直接运用】(2)如图②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，求线段AP长度的最小值； CE＝BC＝2，∴AE＝＝2 ， ∵P′E＝2，∴AP′＝2 －2. 即AP长度的最小值为2 －2. $第24章 大单元整合复习 1 大单元知识架构 整合1 旋转变换及其性质 1.(立德树人·弘扬传统文化2025·合肥期末)在中国悠久的历史长河中，古窗作为建筑艺术的重要组成部分，展现了中华民族深邃的文化底蕴和审美情趣．下列窗户图案中，是中心对称图形的是(　　) C 3 2．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝1，则BB′的长为(　　) A．2 B．4 B 4 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在边BC上，且AB′＝CB′，则∠C的度数为(　　) A．22° B．23° C．24° D．25° D 5 整合2 垂径定理及其推论 4.(数学文化)《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，OD为⊙O的半径，弦AB⊥OD，垂足为点C，CD＝1寸，AB＝1尺 (1尺＝10寸)，则此圆材的直径长 是________寸. 26 6 D 7 D 8 7．如图，AB，CD是⊙O的直径，弦DE∥AB，则AC与AE的大小关系是____________. AC＝AE 9 D 10 11 10．如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，圆内接四边形ABCD的顶点B，D都在格点上，点A在劣弧BD上，点C在优弧BD上，∠BAD的度数为________. 135° 12 整合5 切线的性质与判定 11．[2025·合肥一模]如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠CDB＝26°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，则∠P的度数为(　　) A．26° B．38° C．48° D．52° B 13 12.(数 学 文 化2025·合肥二模)《数书九章》中的“遥度圆城”问题如下：在一座圆形城堡中，有正东、正南、正西和正北四个门，出南门A向东走一段路程到达点B后(AB相切圆形城堡于点A)，刚好看到北门的正北方向的一棵大树C， 14 13．(8分)[2025·芜湖二模改编]如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，OD⊥AB交AC于点D，延长AB至点F，连接FC并延长与OD的延长线交于点E，∠ECD＝∠EDC. (1)求证：EF为⊙O的切线； 证明：如图，连接OC， ∵OD⊥AB，∴∠A＋∠ODA＝90°. ∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA. ∵∠ECD＝∠EDC＝∠ODA， ∴∠OCA＋∠DCE＝90°，即∠OCE＝90°， ∴OC⊥EF， 又∵点C在圆上，∴EF为⊙O的切线． 15 6 点拨：∵OD⊥AB，∴∠COE＋∠COF＝90°， ∵OC⊥EF，∴∠F＋∠COF＝90°，∴∠COE＝∠F， 16 整合6 三角形的外接圆与内切圆 14．有下列说法：①经过三点一定可以作圆；②任何一个三角形一定有一个外接圆，而且只有一个外接圆；③三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等．其中正确的有________个. 3 17 15．如图，⊙O为△ABC的外接圆，其中∠B＝50°，点I为△ABC的内心，连接AI并延长交⊙O于点D，连接IC，CD，则∠ICD＝________°. 65 18 整合7 正多边形与圆 16．[2025·太原一模]如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，过点C作⊙O的切线CF，连接CE.则∠ECF的度数为________. 72° 19 2 20 整合8 弧长与扇形面积 18．[2025·淮安二模]圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，圆锥状聚伞花序尖塔形，其寓意着希望、永恒、美满与团聚．如图是按照其形状制作的圆锥绣球模型：母线长为26 cm，底面直径长为20 cm，则此圆锥的侧面积为__________cm2(结果保留π). 260π 21 19．如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3 cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB，OC，则图中阴影部分的面积是________cm2. 22 23 60°或120° 24 25 整合10 易错题 23．已知⊙O的半径为2，弦AB的长度为2，C是⊙O上一动点．若△ABC为等腰三角形，则BC2为________________. 方法指导：本题应分情况讨论．若△ABC为等腰三角形，则应考虑AB为底边和AB为腰两种情况． 26 C A．2π B．3π C．4π D．6π 27 25．[2025·安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________°. 20 28 证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°， ∴∠DAB＋∠AOC＝180°， ∴OC∥AD. 26．(8分)[2025·安徽中考]如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°. (1)求证：OC∥AD； 29 解：如图，连接BD，交OC于点E. ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD， ∵OC∥AD，∴OC⊥BD， ∴点E为BD的中点， 又∵点O是AB的中点， ∴OE是△ABD的中位线， 30 C．2 D．2 5．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，若＝，AC＝CD＝4，则tan C的值是(　　 ) A. B. C．1 D. 整合3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系 6．[2025·湛江一模]如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝70°，则∠BDC的度数是(　　) A．20° B．60° C．70° D．40° 整合4 圆周角定理及其推论 8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠CDB＝30°，AB＝4，则AC的长为(　　) A．2 B．4 C. D．2 9．[2025·北京期末]如图，点A，B，C，D在圆上，∠C＝90°，D为的中点，AC＝1，DB＝2，BC的值为________. 即BC相切圆形城堡于点D.若AB＝4 km，CD＝km，圆形城堡的直径为4 km，且AC经过圆形城堡的 圆心，则北门到大树的距离为________km. (2)若cos F＝，AD＝4 ，则CE的长为________． ∴cos∠COE＝＝cos F＝. 设OA＝OC＝4x，则OE＝5x，∴CE＝＝3x. ∵∠ECD＝∠EDC，∴DE＝CE＝3x，∴OD＝2x. 在Rt△AOD中，OD2＋OA2＝AD2，∴(2x) 2＋(4x) 2＝(4 ) 2， 解得x＝2(负值已舍去) ，∴CE＝3x＝6. 17．如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝2 cm，则边长a为________cm. π 20．[2025·合肥模拟]如图，四边形ABCD是半径为3的⊙O的内接四边形，CD∥AB，连接AC，AB＝AC，若∠ACB＝∠D，则的长为________. 整合9 数学思想 21.(分类讨论思想)已知△ABC外接圆的半径为2，BC＝2 ，则∠A的度数是______________. 22. (方程思想)如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC＝3 ，圆心O到弦BC的距离OD＝2，则⊙O的半径为__________. －1＋ 4或12或8±4 整合11 聚焦安徽中考 24．[2024·安徽中考]若扇形AOB的半径为6，∠AOB＝120°，则的长为(　　) (2)若AD＝2，BC＝2 ，求AB的长． ∴OE＝AD＝1. 设半圆的半径为r，则CE＝r－1. 由勾股定理知，OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2， 即r2－1＝(2 ) 2－(r－1) 2， 解得r1＝3，r2＝－2(舍去) ． ∴AB＝2r＝6. $