第二十四章 圆 习题课件 2025-2026学年沪科版数学九年级下册

该初中数学课件聚焦“旋转及其性质”核心知识点，涵盖对应点到旋转中心距离相等、旋转角相等、旋转中心不动等性质及旋转对称图形定义。通过荡秋千等生活实例导入，衔接图形变换知识，以概念理解、性质应用、综合提升为支架构建学习脉络。 其亮点在于以“数学眼光”观察生活旋转实例，“数学思维”推理旋转角与对应关系，“数学语言”规范几何表达。通过1星到3星分层练习，如三角板旋转探究角度关系，落实问题驱动教学。学生提升空间观念与推理能力，教师可实现分层教学，提高课堂效率。

第24章 24. 6 正多边形与圆 第1课时　正多边形与圆 1 核心必知 1．各边相等、__________的多边形叫做正多边形． 2．把圆分成n(n≥3)等份：(1)依次连接n等分点所得的多边形是这个圆的____________；(2)经过n等分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的______________________． 各角也相等 内接正边形 外切正边形 1星题 基础练 1．下列是正多边形的是(　　) A．六条边都相等的六边形 B．四个角都是直角的四边形 C．四条边都相等的四边形 D．三条边都相等的三角形 D 3 2. (教材改编题)一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是(　　) A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形 C 4 3．如图，边长相等的正五边形、正六边形的一边重合，则∠1的度数为________. 12° 5 4．如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，O为正多边形外接圆的圆心，若∠AOB＝36°，则这个正多边形的边数为(　　) A．10 B．11 C．12 D．13 【变式题】[2025·合肥二模]如图，在正n边形 中，∠1＝18°，则n的值是________. A 20 6 5．一个圆的半径为4，则该圆的内接正方形的边长为(　　) C 7 A．60° B．72° C．144° D．随着点F的变化而变 B 8 7．[知识初练]下列正多边形，通过直尺和圆规不能作出的是(　　) A．正三角形 B．正方形 C．正七边形 D．正六边形 C 9 8．(8分)如图，已知AC为⊙O的直径．请用尺规作图法，作出⊙O的内接正方形ABCD.(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图. 10 2星题 中档练 B 11 10．[2025·徐州一模]如图，若干个全等的正五边形围绕⊙O紧密排列一周，图中所示的是其中3个正五边形的位置，正五边形与⊙O的交点分别记作A1，A2，A3，A4，…，An，顺次连接A1A2，A2A3，A3A4，…，A1An，所得图形是_________. 正十边形 12 11．如图，将一个半径为1的圆形纸片连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则展开后得到的多边形的内角和为________. 1 080° 13 12．(8分)如图，在△AFG中，AF＝AG，∠FAG＝108°，点C，D在FG上，且CF＝CA，DG＝DA，过点A，C，D的⊙O分别交AF，AG于点B，E. 求证：五边形ABCDE是正五边形. 证明：∵AF＝AG，∠FAG＝108°， ∴∠F＝∠G＝36°. ∵CF＝CA，DG＝DA， ∴∠FAC＝∠F＝∠G＝∠GAD＝36°. ∴∠CAD＝36°. ∴∠FAC＝∠GAD＝∠CAD＝36°. 14 同理可得AB＝BC. ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA， 即点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点． ∴五边形ABCDE是正五边形． 13．(8分) (新课标·项目式学习)根据背景素材,探索解决问题. 3星题 提升练 平面直角坐标系中画一个边长为2的正六边形ABCDEF 背景素材 六等分圆原理，也称为圆周六等分问题，是一个古老而经典的几何问题，旨在解决如何使用直尺和圆规将一个圆分成六等份的问题．这个问题由欧几里得在其名著《几何原本》中详细阐述. 17 已知条件 点C与坐标原点O重合，点D在x轴的正半轴上且坐标为(2，0) 18 解：任务一：如图，正六边形ABCDEF即为所作． 解决问题 任务 一 根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图中完成这道作图题(保留作图痕迹，不写作法) 19 (4，0) 解决问题 任务 二 将正六边形ABCDEF绕点D顺时针旋转60°，此时点E所在位置的坐标为________________. 20 A．2 B．2 C．4 D．8 6．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F是上的动点，则∠AFC的度数为(　　) 9.如图，正六边形ABDFEC内接于⊙O，BC＝3 ，则⊙O的周长为(　　) A．3π B．6π C．12π D．18π ∴＝＝，∴BC＝CD＝DE. ∵∠ACD＝∠FAC＋∠F＝72°，∠GAD＝36°， ∴所对的圆心角的度数为144°，所对的圆心角的度数为72°， ∴＝2，∴＝. ∴AE＝DE. 操作步骤 ①分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧在x轴上方交于点P；②以点P为圆心，PC长为半径作圆；③以CD的长为半径作弧，在⊙P上顺次截取＝＝＝；④顺次连接DE，EF，FA，AB，BC，得到正六边形ABCDEF. $第24章 24. 7 弧长与扇形面积 第1课时　弧长与扇形面积 1 核心必知 设半径为R，圆心角为n°的扇形弧长为C1，面积为S1，则 nπR nπR2 C1R 1星题 基础练 1．若圆的半径为1，则60°的圆心角所对的弧长为(　　) D 3 A．8 B．6 C．5 D．4 A 4 3. (跨学科·物理)如图，用一个半径为8 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了36°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了(　　) B 5 A．02：00 B．14：00 C．02：10 D．14：10 D 6 5.展览大厅用扇形区域展示传统刺绣作品，若该扇形区域的半径为8 m，圆心角为120°，则这个扇形区域的面积为(　　) D 7 6．如图是展示的一幅剪纸作品，其主体可近似地看成一个弧长为20π cm，面积为240π cm2的扇形，则该扇形的半径为________cm. 24 8 7．砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产之一．图①是展示的一块扇面形的砖雕作品，它的部分设计图如图②所示，其中扇形BOC和扇形AOD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝120°，若OA＝90 cm，OB＝30 cm，则阴影部分的面积是________cm2.(结果保留π) 2 400π 9 8．(8分)如图，从一块直径为4 dm的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的最大扇形，求此扇形的面积. 解：如图，设扇形与⊙O分别交于点A，B，C，连接AC， 由题意可得∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴AC为⊙O的直径， ∴AC＝4 dm. ∵AB2＋BC2＝AC2， 10 2星题 中档练 C 12 10．[2025·苏州中考改编]“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高128 m (即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发到达点B， 10 13 11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12 cm，将△ABC以点B为旋转中心顺时针旋转，使点C旋转到边AB延长线上的点D处，则边AC扫过的图形(阴影部分)的面积是________cm2.(结果保留π) 36π 14 12．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，O为BC的中点，以点O为圆心，OB长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 __________. 15 (1)求⊙O的半径； 16 18 3星题 提升练 n－m＝2π 19 A. B．π C. D. 2．[2025·滁州一模]在扇形AOB中，的长为6π，∠AOB＝135°，则扇形AOB的半径为(　　) A. cm B. cm C. cm D．3π cm 4.(真 实 情 境　2025·淮北二模)已知时钟的分针长10 cm，初始时刻为14：00，如图所示，若经过一段时间后，分针的针尖走过的路程为，则经过一段时间后的时刻为(　　) A. m2 B. m2 C. m2 D. m2 ∴AB＝BC＝2 dm(负值已舍去) ， ∴此扇形的面积是＝2π(dm2) ． 9.如图，在▱ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为(　　) A. B. C. D. 此过程中，所经过的路径(即)长度为40π m，则该轿厢从点A到点B所用的时间为________min. － 13．(8分)唐代李皋发明了“桨轮船”，为后续车船的发展奠定了基础．如图，⊙O表示该轮船轮子的截面，已知轮子被水面截得的线段AB为6 ，过点O作OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，轮子的吃水深度CD为3. 解：(1) 如图，连接AO， ∵OD⊥AB，AB＝6 ，∴AC＝AB＝3 ， 设⊙O的半径为r，则OC＝r－3， 在Rt△AOC中，r2＝(3 ) 2＋(r－3) 2， 解得r＝6，∴⊙O的半径为6. (2)求的长，并比较与半径的大小. 在Rt△AOC中，sin∠AOC＝＝＝， ∴∠AOC＝60°，∴＝＝2π. ∵2π>6，∴更长． 14.(模 型 观 念2025·南京一模)如图，两条道路的宽分别为10 m，8 m，夹角∠A＝∠B＝120°.现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线CE上.，的长度m，n满足的数量关系为____________. $第24章 24. 2 圆的基本性质 第1课时　圆的有关概念及点与圆的 位置关系 1 核心必知 1.在平面内，线段绕着它固定的一个端点 旋转______， 则另一个端点 所形成的封闭曲线叫做圆；平面内到定点的 ______等于定长的所有点____________叫做圆. 一周 距离 组成的图形 2. 回顾所学内容，完成框图.设 的半径为,点到圆心的 距离 . 上 1星题 基础练 1. 《墨经》中给出了圆的描述性定义：“圜，一 中同长也.”这就是说，圆是平面内到定点的距离等于定长的 点的集合.其中，定点是______，定长是______. 圆心 半径 4 2．用圆规画圆的过程中，若圆规两脚张开的距离是3 cm，则该圆的半径是________cm. 3 5 3．已知⊙O的半径为4 cm，OM＝5 cm，则点M与⊙O的位置关系是(　　) A．点M在⊙O上 B．点M在⊙O内 C．点M在⊙O外 D．不能确定 C 6 4．[2025·合肥期末]已知⊙O的半径为3，点P在⊙O内，则线段OP的长度可以是(　　) A．7 B．6 C．5 D．2 D 7 5. (分类讨论思想)如图，距原点O右边7个单位长度处有一点P，数轴上半径为1的⊙O从原点O开始以每秒2个单位长度的速度向右运动，则经过________s，点P在⊙O上. 3或4 8 6．(8分)如图，在△ABC中，∠C＝90°， AC＝3，BC＝4. (1)若以点A为圆心，5为半径作⊙A，则点B、C与圆的位置关系是什么？ ∴以点A为圆心，5为半径作⊙A，点B在⊙A上； ∵AC<5，∴以点A为圆心，5为半径作⊙A，点C在⊙A内． 9 (2)若以点C为圆心，r为半径作⊙C，当点A在⊙C内，点B在⊙C外时，r的取值范围是________． 3<r<4 10 7．如图，AC是⊙O的直径，B为⊙O上一点，那么__________________是⊙O的半径；__________________是⊙O的弦，其中最长的弦是______________；______________是劣弧； ________________是优弧； ______________是半圆. OA，OB，OC AB，AC，BC AC 11 8．下列说法正确的是______(填序号)． ①半径不等的圆可能是等圆；②优弧一定大于劣弧；③长度相等的弧叫做等弧；④直径是一个圆中最长的弦. ④ 12 9．已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是(　　) A．8 B．10 C．12 D．14 D 13 10.[2025·芜湖月考]如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC的中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是(　　) A．A，B，C都不在 B．只有B C．只有A，C D．A，B，C D 2星题 中档练 14 11. (易错题)如图，⊙O的直径为4，在弦CD上任取一点B(不与点C，D重合)，过点B作BE∥OC交OD于点E，则EO＋EB的值(　　) A．等于2 B．等于3 C．等于4 D．随点B的位置改变而变化 A 易错点睛：本题的易错点是未能通过仔细分析，发现EO＋EB是定值，误以为EO＋EB的值随点B的位置改变而变化，从而错选D. 15 12. (分类讨论思想)若点P与⊙O上的所有点的距离中，最大的距离为8，最小的距离为2，则⊙O的半径为________. 3或5 16 13．(8分) (教材改编题)如图，△ABC和△ABD都为直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上. 证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD. ∵△ABC和△ABD都为直角三角形， 且∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴DO，CO分别为Rt△ABD和Rt△ABC斜边上的中线，∴OA＝OB＝OC＝OD， ∴A，B，C，D四点在同一个圆上． 17 14．(8分) (创新题·新题型)如图①，⊙O的半径为r(r＞0)，若点P′在射线OP上，满足OP′·OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．如图②，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8.若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的“反演点”，求A′B′的长. 18 解：∵⊙O的半径为4，∴OA′·OA＝16. 又∵OA＝8，∴OA′＝2. 同理可知，OB′＝4，即点B的“反演点”B′与点B重合． 设OA交⊙O于点M，连接B′M. ∵∠B′OA＝60°，OM＝OB′， ∴△OB′M为等边三角形． ∵OM＝4，OA′＝2，∴A′为OM的中点，∴A′B′⊥OM. 根据勾股定理，得OB′2＝OA′2＋A′B′2， 即16＝4＋A′B′2， 15. (推理能力)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，12)，点B的坐标为(5，0)，动点P在以点A为圆心，7为半径的圆周上运动，连接BP. (1)当动点P与点B距离最远时，线段BP的长度为________； (2)连接OP，当△OBP为等腰三角形时，点P的坐标为 ____________________________________________． 20 3星题 提升练 20 点拨：分三种情况： 当OB＝OP时，易得点P的坐标为(0，5) ． 当OP＝BP时，过点P作PE⊥x轴于点E，过点P作PN⊥y轴于点N，连接AP， 解：(1) 由题意可得AB＝＝5. ， ， 解得A′B′＝2 (负值已舍去) ． (0，5) ，或 则OE＝OB＝，∠PEO＝∠PNO＝∠NOE＝90°， ∴四边形PNOE是矩形，∴PN＝OE＝. 设ON＝a，则AN＝|OA－ON|＝|12－a|， 在Rt△PAN中，根据勾股定理，得＋(12－a) 2＝72， 解得a1＝12＋，a2＝12－， ∴点P的坐标为或. ∵BP的最小值为－7＝6，OB＝5，∴OB＝BP的情况不存在． 综上，点P的坐标为(0，5) ，或. $第24章 24. 3 圆周角 第2课时　圆内接四边形 1 核心必知 1.一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做 圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 2.圆内接四边形的对角______,且任何一个外角都______它的 内对角. 互补 等于 1星题 基础练 1.［知识初练］如图，七边形 的 七个顶点都在 上，所以七边形 是的____________， 是 七边形 的________. 内接七边形 外接圆 3 2．下列说法正确的是(　　) A．圆内接多边形的各个顶点都在圆上或圆内 B．经过四边形各个顶点的圆叫做这个四边形的内接圆 C．圆内接四边形是指四个顶点都在这个圆上的四边形 D．一个圆只有一个内接四边形 C 4 3．[2025·绍兴期末]如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠B＝65°，则∠D为(　　) A．125° B．120° C．115° D．105° C 5 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点E是BC延长线上的一点，若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是(　　) A．94° B．124° C．104° D．114° D 6 5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠AOC＝70°，则∠ADC的度数是(　　) A．110° B．135° C．140° D．145° D 7 6. (教材改编题)若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，则∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比可能是(　　) A．3:1:2:5 B．1:2:2:3 C．2:7:3:6 D．1:2:4:3 D 8 7．[2025·黄山期末]如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E均在⊙O上，若∠BCD＝126°，则∠AED的度数为____________. 点拨：由题意易知四边形BCDE内接于⊙O， 又∵∠BCD＝126°，∴∠DEB＝180°－126°＝54°. ∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°， ∴∠AED＝90°－∠DEB＝36°. 9 8．[2025·滁州一模改编]如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝α，∠CAD＝α－β，则∠ACD的大小为________．(用代数式表示) β 10 9．(8分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，延长AB，DC相交于点E，若BC＝BE，求证：DA＝DE. 证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠BCE＝∠A. ∵BC＝BE，∴∠BCE＝∠E， ∴∠A＝∠E，∴DA＝DE. 11 10.[2025·滁州期末]如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为(　　) A．64° B．40° C．52° D．42° C 2星题 中档练 12 11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C＝120°.若AD＝2，则AB的长为(　　) D 13 12．如图，AB＝AC＝AD，点E是BC延长线上的一点，若∠BAD＝144°，则∠DCE的度数为(　　) A．72° B．68° C．65° D．64° A 14 13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠1＋∠2＝64°，则∠3＋∠4＝________°. 64 点拨：如图． ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠DAB＋∠DCB＝180°，∠B＋∠D＝180°. ∵OA＝OC，∴∠5＝∠6， 15 ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋2∠5＝180°. ∵∠1＋∠2＝64°， ∴∠3＋∠4＝180°－64°－2∠5＝116°－2∠5. ∵∠1＋∠2＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°， ∴∠D＝∠1＋∠2＝64°，∴∠O＝2∠D＝128°. ∴在等腰三角形AOC中， 2∠5＝180°－∠O＝180°－128°＝52°， ∴∠3＋∠4＝116°－52°＝64°. 16 14．[2025·芜湖月考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AM⊥CB交CB延长线于点M，BA平分∠MBD，连接BD，若AM＝4， 17 15．(12分) (创新题·新题型)如图，在⊙O上有A，B，C三点，∠A＝80°，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹． (1)请在图中作一个100°的圆周角，记为∠1； (2)请在图中作一个20°的圆心角，记为∠2； (3)请在图中作一个10°的圆周角，记为∠3. 18 解：(1) 如图，∠1即为所求． (2) 如图，∠2即为所求． (3) 如图，∠3即为所求． 16．(12分) (几何直观)如图，⊙O的内接四边形 ABCD两组对边的延长线分别交于点E、F. (1)当∠E＝∠F时，则∠ADC＝________°； (2)当∠A＝55°，∠E＝30°时，求∠F的度数； 90 3星题 提升练 解：∵在△ABE中，∠A＝55°，∠E＝30°， ∴∠ABE＝180°－∠A－∠E＝95°， ∴∠ADF＝180°－∠ABE＝85°， ∴在△ADF中，∠F＝180°－∠ADF－∠A＝40°. 20 (3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α、β的代数式表示∠A的大小. 解： ∵∠ADC＝180°－∠A－∠F，∠ABC＝180°－∠A－∠E，∠ADC＋∠ABC＝180°， ∴180°－∠A－∠F＋180°－∠A－∠E＝180°， ∴2∠A＋∠E＋∠F＝180°， 21 A. B．2 C．2 D．4 AD＝4 ，则MC的长为__________. 4 ∴∠A＝90°－ ＝90°－. $第24章 24.1 旋转 第2课时　中心对称与中心对称图形 1 核心必知 1.成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过__________， 且被对称中心______.成中心对称的两个图形是______图形. 对称中心 平分 全等 2．把一个图形绕某一个定点旋转________°，如果旋转后 的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做中心对称图 形，这个定点就是_____________． 180 对称中心 1星题 基础练 1．[知识初练]如图，将△ABC绕点O旋转______，可使△ABC和△A′B′C′关于点O成中心对称，此时△ABC≌________，则AB＝________，OA＝________，OB＝______，从而△OAB≌________. 180° △A′B′C′ A′B′ OA′ OB′ △OA′B′ 3 2．[2025·广州模拟]下列各图中，四边形ABCD是正方形，其中阴影部分两个三角形成中心对称的是(　　) A 4 3．[2025·六安期中]如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，则下列结论不正确的是(　　) A．CO＝FO B．∠OBC＝∠OEF C．AB∥EF D．点B与点E是对应点 C 5 4．如图，△ABC与△DEC关于点C成中心对称，点M、N分别是AC、BC的中点，若MN＝4，则DE＝________. 8 6 3 7 6．(4分)如图，已知△ABC与点O，作出△ABC关于点O成中心对称的△A′B′C′.(请保留作图痕迹，不用写出作法) 解：如图，△A′B′C′即为所作． 8 7．[2025·烟台中考]2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是(　　) D 9 8.(真 实 情 境　2025·芜湖一模改编)在人工智能(AI)领域，芯片通常用于实现神经网络模型的计算加速，它既是半导体元件产品的统称，也是电路小型化技术的具体实现，常被制造在半导体晶圆表面上．下列关于AI芯片的图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　) A 10 2星题 中档练 11 10．如图，直线a、b垂直于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对应点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝4，OD＝3，则各阴影部分的面积之和为______. 12 解法提醒：过点A作AE⊥b于点E，将各阴影部分的面积之和转化为长方形ABOE的面积求解即可． 12 11．[2025·湖州二模]如图，矩形ABCD被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．已知矩形ABCD的周长，则能够求出长度的线段是(　　) A．AM B．MD C．ME D．EF A 13 12．(8分)如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线. (1)用刻度尺画出与△ACD关于点D成中心对称的图形； 解：(1)如图，延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE，则△EBD即为所求． 14 (2)若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围． 解：∵△ACD与△EBD关于点D成中心对称， ∴BE＝AC＝3， ∴在△ABE中，5－3<AE<5＋3，即2<AE<8. ∵AE＝2AD，∴1<AD<4. 15 13．(8分) (新课标·开放性问题)如图，在5×5的正方形网格中，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点．请按下列要求画出符合题意的四边形，且四边形的顶点在格点上，并写出所画图形的周长． 3星题 提升练 16 (1)在图①中画出是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8的四边形； 17 解：（答案不唯一）如图①，该四边形的周长为 . (2)在图②中画出既是中心对称图形，又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10的四边形. 19 解：如图②，该四边形的周长为 . 即时练透 【思路点拨】过对称中心的直线会将中心对称图形二等分．要等分两个中心对称图形所构成的组合图形的面积，只需作过这两个图形的对称中心的直线即可． 1．(4分)如图，点A是平行四边形边上一点，请作出过点A的直线，将平行四边形的面积平分. 21 解：如图，直线AB即为所求． 2．(4分)请作出一条直线，将如图所示的图形的面积平分. 解：(答案不唯一)如图，直线AB即为所求． 23 5．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AE＝，AC＝1，∠D＝90°，则AB的长是________. 9.如图，BO是等腰三角形ABC底边的中线，AC＝2，BO＝，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长是__________. 2 $第24章 24. 4 直线与圆的位置关系 *第3课时 切线长定理 1 核心必知 1.过圆外一点能够作圆的两条切线.____________到______之 间的线段长叫做这点到圆的切线长. 2.切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长 ______，圆心与这一点的连线______两条切线的夹角. 切线上一点 切点 相等 平分 1星题 基础练 1. (真实情境)将篮球夹在腋下，抽象出的几何图形如图所示，下列说法正确的是(　　) A．射线PA，PB是⊙O的切线长 B．直线PA，PB是⊙O的切线长 C．线段PA，PB的长是⊙O的切线长 D．线段PA，PB是⊙O的切线长 C 3 2.如图,过点作的切线， , ，是切点，过上一点作 的切线.下列不是 的切线长的 是( ) D A.线段的长 B.线段 的长 C.线段的长 D.线段 的长 4 3．P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，若PA＝5，则PB等于(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 【变式题】如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是(　　) D C 5 点拨：∵PA，PB为⊙O的切线， ∴PA＝PB. ∵∠APB＝60°，∴△APB为等边三角形， ∴AB＝PA＝5. 4．[2025·芜湖月考]如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，∠APB＝60°，⊙O的半径为2，则PB的长为(　　) C 7 5．如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝6，则△PCD的周长为(　　) A．8 B．6 C．12 D．10 C 点拨：由题意可知PA＝PB，CE＝CA，DE＝DB，∴△PCD的周长＝PC＋CD＋PD＝PC＋CE＋DE＋PD＝PC＋CA＋DB＋PD＝PA＋PB＝2PA＝12. 故选C. 8 6．[2025·合肥期末]如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G三点，若AB∥CD，OB＝3 cm，OC＝6 cm，则线段BE＋CG的值为________cm. 9 7．(8分)[2025·南京期末]如图，射线PA、PB与⊙O相切，切点分别为A、B，连接PO并延长，交⊙O于 点C，连接AC、BC.求证：AC＝BC. 证明：如图，连接AB， ∵射线PA，PB与⊙O相切，切点分别为A，B， ∴PA＝PB，∠APC＝∠BPC. 又∵PC＝PC， ∴△APC≌△BPC， ∴AC＝BC. 10 8.[2025·宁波模拟]如图，EA，ED是⊙O的切线，切点分别为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　) A．56° B．60° C．68° D．70° C 2星题 中档练 11 9．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以正方形的一边BC为直径在正方形ABCD内作半圆，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与DC相交于点E，则△ADE的面积是(　　) A．12 cm2 B．24 cm2 C．8 cm2 D．6 cm2 D 12 B 13 11．[2025·蚌埠二模]为了测量一个光盘的直径，小明把直尺、光盘和三角板按如图所示放置于桌面上，其中光盘与直尺、三角板均相切，点A是三角板的一个顶点，B是光盘与直尺的切点．测量得AB＝6 cm，则这张光盘的直径是________cm. 14 12．(8分)如图，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，过点B作BC∥PA交 ⊙O于点C，连接AB，AC. (1)求证：AB＝AC； 证明：如图，连接AO并延长交BC于点E. ∵PA与⊙O相切，切点为A， ∴∠EAP＝90°. ∵BC∥PA，∴∠CEA＝∠EAP＝90°，即AE⊥BC， ∴BE＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AB＝AC. 15 (2)若AP＝6，AB＝4，求⊙O的半径． 解：如图，连接PO，交AB于点F. ∵PA，PB分别与⊙O相切，切点分别为A，B， ∴PA＝PB，∠BPO＝∠APO， 16 13. (几何直观)已知△ABC是边长为3的等边三角形，⊙A的半径为1，D是BC上一动点，DM，DN分别切⊙A于点M，N，⊙A的另一条切线交DM，DN于点E，F，则△DEF的周长l的取值范围是(　　) 3星题 提升练 B 18 A. B. C．5 D．5 A．3 B．4 C．2 D．2 3 10．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以点D为圆心，AD长为半径的弧恰好与BC相切，切点为E.若＝，则sin C的值是(　　) A. B. C. D. 12 ∴PO⊥AB，AF＝AB＝2， ∴∠PFA＝90°. 在Rt△PFA中，PF＝＝4 . ∵∠FPA＝∠APO，∠PFA＝∠PAO＝90°， ∴△FPA∽△APO， ∴＝，∴＝， ∴AO＝ ，即⊙O的半径是 . A．4≤l≤ B.≤l≤4 C．4 ≤l≤6 D．4 ≤l≤2 $第24章 24. 7 弧长与扇形面积 第2课时　圆柱、圆锥的侧面展开图 1 核心必知 1.圆柱的侧面沿______剪开，能展开成一个矩形,这个矩形的 面积等于母线×______________. 母线 底面圆的周长 2.圆锥的侧面展开图是一个______,圆锥的底面圆的周长等于 侧面展开图的扇形的______.母线长为,底面圆的半径为 的圆 锥的侧面积_____,圆锥的全面积 __________. 扇形 弧长 1星题 基础练 1．下列图形中，是圆锥侧面展开图的是______，是圆柱侧面展开图的是______．(填序号) ② ③ 3 2．[2025·合肥期末]已知圆锥的母线长为6 cm，底面圆的半径为3 cm，则这个圆锥的侧面积是(　　) A．46πcm2 B．36πcm2 C．33πcm2 D．18πcm2 【变式题】已知圆锥底面圆的直径为 10 cm，其侧面展开图的面积为60π cm2，则母线长为________cm. D 12 4 3．如图，圆锥的底面半径OB为3，高AO为4，则圆锥的侧面积是________. 5 4．如图，正方形ABCD的边长为4 cm，以点A为圆心，AD长为半径画圆弧DE，得到扇形DAE(阴影部分，点E在对角线AC上)．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是______cm2. 6 解析： 点拨：依题意，知 ， 的长为 ， 圆锥的底面圆的半径 为 ， 该圆锥的全面积是 . 2星题 中档练 C 8 90° 9 (1)圆锥的母线长l与底面半径r的比值是________； (2)∠BAC的度数是________； 2 10 解：，， , ，即 ， 解得（负值已舍去） . 圆锥的侧面积为 . (3)求圆锥的侧面积(结果保留π)． 3星题 提升练 8. (中考能力点·空间想象)如图，圆锥的底面圆的半径是2，母线长是6，如果点A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，那么这根绳子的最短长度是(　　) B 12 5．[2025·滁州月考]如图所示的是由一个大圆锥截去上部分的小圆锥后剩下的部分．若该几何体上、下两个圆的半径分别为1、2，原大圆锥高的剩余部分OO1为，则其侧面展开图的面积为(　　) A.π 　　B．2 π C．3 π 　　D．4 π 6．[2025·苏州模拟]若一个圆锥的底面积是其表面积的，则其侧面展开图中圆心角的度数为________. 7．(12分)如图，一个圆锥的高h＝3 cm，侧面展开图是半圆形. A．6 B．6 C．12 D．4π $第24章 24. 2 圆的基本性质 第2课时　垂径分弦 1 核心必知 1.圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过_____ 的直线. 2.垂径定理：垂直于弦的______平分这条弦，并且平分这条 弦所对的两条弧. 3.平分弦（不是直径）的______垂直于弦，并且______弦所 对的两条弧. 圆心 直径 直径 平分 1星题 基础练 1.下列说法中，不正确的是( ) C A.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度，都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴 3 2.［知识初练］如图，是 的直径，弦 于点 ，则下列结论不一定成立的是 ( ) B A. B. C. D. 4 3．[2025·芜湖期末]如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE＝4，则⊙O的半径长为(　　) B 5 4．[2025·淮北期末]如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，OE＝12，CD＝26，那么弦AB的长为________. 10 6 5．(8分) (教材变式题)如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点， 若AB＝16 cm，CD＝6 cm. (1)求AC的长； 解：(1) 如图，作OE⊥AB，垂足为点E， 由垂径定理知，点E是CD的中点，也是AB的中点， 7 (2)若大圆的半径为10 cm，求小圆的半径． 如图，连接OA，OC， ∵在Rt△AOE中，AE＝8 cm，OA＝10 cm， 8 6．[知识初练]如图，CD是⊙O的直径，AB是非直径的弦，AB与CD相交于点M.当AM＝______时，CD⊥AB. BM 9 7．如图，⊙O的直径CD过弦AB的中点E，且CE＝4，DE＝16，则AB的长为________. 16 10 8. (跨学科·化学)如图①，一个烧瓶底部呈球形，图②是烧瓶底部截面示意图，已知半径OA为5 cm，弦AB的长为8 cm，则液体的最大深度CD为________cm. 2 11 9. (真实情境)“圆”是中国文化中的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞．如图，某园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5 m，地面入口宽为1 m，则该门洞的半径为________m. 1.3 12 10.[2025·天津期末]如图，AB为⊙O的直径，C为弦AD的中点，连接OC交⊙O于点E，若∠BAD＝20°，则∠AEO的度数为(　　) A．30° B．45° C．55° D．60° C 2星题 中档练 13 11. (分类讨论思想)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝50 cm，水面宽AB＝60 cm，某天下雨后，水面宽度变为80 cm，则此时排水管水面上升了________cm. 10或70 14 12. (真实情境)如图是一个圆形木制艺术品，记圆心为O.已知⊙O的半径为12 cm，在距离点O 8 cm的点A处发生虫蛀，现需沿过点A的弦PQ将艺术品裁开，然后用美化材料沿PQ进行粘贴，则美化材料(即弦PQ的长)最少需要________cm. 15 16 解：如图，连接OB，设OB＝OD＝r， ∴DG＝OD＋OG＝r＋2. 14．(8分) (新课标·探究建模)小颖在数学实践课上进行折纸操作，将圆形纸片连续对折两次后展开，将直径AB四等分，其四等分点分别记为M1，M2，M3，如图①所示．(虚线为折痕) 3星题 提升练 19 解：(1) 四边形M1CAD为菱形，证明如下： 由对折的性质可知，CD垂直平分AM1， ∴CD⊥AM1，AC＝M1C，AD＝M1D. ∵CD是垂直于AB的折痕，AB为直径， ∴CD被AB平分，∴CM1＝M1D， ∴AC＝CM1＝AD＝DM1，∴四边形M1CAD为菱形． 20 ①求∠CM2A的度数； ②若直径AB＝16，则M3C＝________，BC＝________． ①连接AC. 由题意知，点M2为圆形纸片的圆心，∴M2C＝AM2， 由对折的性质可知，CD垂直平分AM2， ∴AB⊥CD，AC＝M2C，∴M2C＝AM2＝AC， ∴△AM2C为等边三角形，∴∠CM2A＝60°. 21 A．4 B．4 C．5 D．5 ∴AE＝AB＝8 cm，CE＝CD＝3 cm， ∴AC＝AE－CE＝5 cm. ∴OE＝＝6 cm. 又∵在Rt△OCE中，CE＝3 cm， ∴OC＝＝3 cm， 即小圆的半径为3 cm. 8 13．(8分)[2025·马鞍山一模]如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于点E，BF⊥AC于点F，BF与CD相交于点G，ED＝EG，若AB＝2 ，OG＝2，求⊙O的半径. ∵ED＝EG，∴EG＝DG＝r＋1， ∴OE＝EG－OG＝r－1. ∵CD为直径，AB⊥CD，∴BE＝AB＝， 在Rt△OEB中，OE2＋BE2＝OB2， ∴＋() 2＝r2， 解得r1＝－4(舍去) ，r2＝， 故⊙O的半径为. (1)如图②，若折叠后点A恰与点M1重合，折痕为CD，顺次连接点M1，C，A，D，得到四边形M1CAD.请判断四边形M1CAD的形状并证明； (2)如图③，若折叠后点A恰与点M2重合，折痕仍记为CD，连接M2C，M3C，BC. 4 8 $第24章 24.1 旋转 第1课时　旋转及其性质 1 核心必知 1.在一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转 中心的距离______；两组对应点分别与旋转中心的连线所成 的角相等，都等于旋转角；__________是唯一不动的点. 相等 旋转中心 2.在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度 后，能够与原图形重合，这样的图形叫做 ______________，这个定点就是旋转中心. 旋转对称图形 1星题 基础练 1．[2025·芜湖期中]下列运动形式属于旋转的是(　　) A．射箭 B．荡秋千 C．立定跳远 D．晨跑运动 B 3 2．如图，△ABP是由△ACD按顺时针方向旋转某一角度得到的. (1)旋转中心是______，旋转角是_________________； (2)点P的对应点为________，∠B的对应角为________，线段BP的对应线段为________． 点A ∠BAC和∠PAD 点D ∠C CD 4 3．如图，将△OAB绕点O顺时针旋转65°后，得到△OCD，下列说法正确的是(　　) A．点B的对应点是点C 　　B．∠AOB＝65° C．OB＝CD 　　D．∠B＝∠D D 5 4．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度后得到△AB′C′，此时点B′恰好在边AC上，若AB＝2，AC′＝5，则B′C的长为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B 6 5．[2025·东莞模拟]如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°后得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为________. 75° 7 6．如图，一个等腰直角三角形ABC绕点C按顺时针方向旋转到△CDE的位置，使A，C，D三点在同一直线上. (1)旋转的度数为________； (2)连接AE，则∠DAE的度数为________． 135° 22.5° 8 7.某地在“全国交通安全日”期间举办了“智慧交通”主题宣传活动．现场展示了AI智能识别的交通标志，下列四个标志中，属于旋转对称图形的是(　　) D 9 8. (教材改编题)如图，用六个全等的等边三角形可以拼成一个六边形，三角形的公共顶点为O，则该六边形绕点O至少旋转________后才能与原来的图形重合. 60° 10 9.[2025·天津一模]如图，△ABC以点A为旋转中心顺时针旋转得到△AED，点B，C的对应点分别为点E，D，连接BE.当点D恰好落在线段BC上时，下列结论一定正确的是(　　) A．∠BAD＝∠DAC B．CB＝AE C．∠ABE＝∠ADE D．AC∥BE C 2星题 中档练 11 10．如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4 cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积为________. 4 cm2 12 11．如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请解答下列问题： (1)已知∠COB＝α，则∠FCD＝________________(用含α的代数式表示)； (2)若BO＝2，则BC的长为________． 180°－2α 13 12. [2025·合肥一模改编]在等腰三角形ABC中，AB＝AC，将CA绕C点顺时针旋转90°后得到线段CE，连接BE，若△BCE的面积为16，如何求△BCE中BC边上的高？ 14 (2)问题转化：求出BC或BC与ED的关系，即可求出ED. (3)分析条件：求得高ED＝________． 4 15 13．(12分)如图①，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°.固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，如图②，记旋转角∠CAE＝α(0°<α<180°). 3星题 提升练 16 【操作发现】 (1)在旋转过程中，当α为________度时，AD ∥ BC，当α为________度时，AD⊥BC； (2)当△ADE的一边与 △ABC的某一边平行 (不共线)时，直接写 出旋转角α的所有可能的度数； 15 105 旋转角α的所有可能的度数是15°，45°，105°，135°，150°. 17 【拓展应用】 (3)当0°<α<45°时，连接BD，利用图③探究∠BDE＋∠CAE＋∠DBC的值的大小变化情况，并说明理由． 18 当0°<α<45°时，∠BDE＋∠CAE＋∠DBC＝105°，保持不变，理由如下： 如图，设BD分别交AC、AE于点M、N， 在△AMN中，∠AMN＋∠MAN＋∠ANM＝180°， ∵∠ANM＝∠E＋∠BDE，∠AMN＝∠C＋∠DBC， ∴∠E＋∠BDE＋∠CAE＋∠C＋∠DBC＝180°. ∵∠C＝30°，∠E＝45°， ∴∠BDE＋∠CAE＋∠DBC＝105°. 19 2 (1)画图求高：如图，ED＝＝＝______． $第24章 24. 4 直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 1 核心必知 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 位置关系 相离 相切 相交 示意图 __________________ ______________ _______________ 公共点个数 0 1 2 与 的关系 ___ ___ ___ 1星题 基础练 1. 如图是合肥某饭店“光盘行动”的 宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆 的位置关系是( ) B A.相切 B.相交 C.相离 D.无法确定 3 2．已知⊙O的半径为4 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm， 则直线l与⊙O的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 C 4 3．(12分) (教材改编题)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的⊙C与直线AB的位置关系. (1)r＝2 cm；(2)r＝2.4 cm；(3)r＝3 cm. C 5 解：如图，过点作于点 . 在中,, , . ， . (1) 当r＝2 cm时， ∵r<2. 4 cm，∴⊙C与直线AB相离． (2) 当r＝2. 4 cm时， ∵r＝2. 4 cm，∴⊙C与直线AB相切． (3) 当r＝3 cm时， ∵r>2. 4 cm，∴⊙C与直线AB相交． 4．[2025·杭州模拟改编]已知圆与直线有两个公共点，且圆心到直线的距离为4，则该圆的半径可能为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 D 8 5．[2025·滁州期中]如图，已知 ⊙O的半径为6，点 O到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是(　　) A．AD B．AB C．BC D．CD C 9 6. (分类讨论思想)如图，位置固定的圆形铁环(⊙O)的半径为3 cm，水平方向的直线l到圆心O的距离为5 cm，将直线l沿竖直方向向上平移，若直线l与⊙O相切，则平移的距离为____________. 或 解析： 易错点睛：注意分情况讨论： ①直线 在圆的下方与圆相切； ②直线 在圆的上方与圆相切. 10 7.已知⊙O的半径是一元二次方程x2－4x＋4＝0的解，且点O到直线AB的距离为2，则⊙O与直线AB的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 B 2星题 中档练 11 8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，以点C为圆心，R为半径作圆．若⊙C与边AB只有一个公共点，则R的取值范围是(　　) D 12 (补充设问)若⊙C与边AB有公共点，则R的取值范围是 ____________. 13 9. (中考能力点·辩证思维)若⊙O的半径r＝3，设圆心O到直线l的距离为d，⊙O上到直线l的距离为2的点的个数为m，下列命题： ①若1＜d＜5，则m＝3； ②若d＝5，则m＝1； ③若d＞5，则m＝0； ④若d＜1，则m＝4； ⑤若d＝1，则m＝2，其中真命题有________个. 3 14 点拨：①若1＜d＜5，则m＝2，错误； ②若d＝5，则m＝1，正确； ③若d＞5，则m＝0，正确； ④若d<1，则m＝4，正确； ⑤若d＝1，则m＝3，错误． 10．[2025·阜阳期末]如图，CD为等边三角形ABC的高，点O在DC的延长线上，且OD＝7，CD＝4，⊙O的半径为1，若将⊙O绕点C按顺时针方向旋转210°，则在旋转过程中，⊙O与等边三角形ABC的边只有一个公共点的情况一共出现________次. 4 16 11．(8分) (分类讨论思想)如图，P为正比例函数 图象上的一个动点，⊙P的半径是2.5，设点P的坐标为(x，y). (1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标； 解：(1) 过P作直线x＝2的垂线，垂足为A， 当点P在直线x＝2右侧时， 17 (2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 19 12. (空间想象)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，以点A为圆心，r为半径画圆. (1)当⊙A与坐标轴有一个公共点时，r的值是________； (2)当⊙A与坐标轴有两个公共点时，r的取值范围是________； 3星题 提升练 1 20 (3)当⊙A与坐标轴有三个公共点时，r的值是________； (4)当⊙A与坐标轴有四个公共点时，r的取值范围是______________________． 2或 或 21 A．R＝ B．3≤R≤4 C．0<R<3或R>4 D．3<R≤4或R＝ ≤R≤4 y＝x AP＝x－2＝2. 5，解得x＝， 把x＝代入y＝x中，可得y＝，∴P. 当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝2. 5，解得x＝－， 把x＝－代入y＝x中，可得y＝－，∴P， ∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为或. 解：当－<x<时，⊙P与直线x＝2相交， 当x<－或x>时，⊙P与直线x＝2相离． $第24章 24. 4 直线与圆的位置关系 第2课时　切线的性质与判定 1 核心必知 垂直 垂直 1星题 基础练 1．如图，已知PA与⊙O相切于点A，∠P＝42°，则∠POA＝________. 48° 3 2．如图，AB与⊙O相切于点C，AO＝3，⊙O的半径为2，则AC的长为________. 4 3．[2025·合肥一模]如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点D，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC.若∠ACB＝25°，则∠A的度数是(　　) A．50° B．40° C．25° D．65° B 5 4．(8分)[2025·滁州期末]如图，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一点，以点O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC相切于点D.求证：DE∥OC. 证明：如图，连接OD， ∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC， ∴∠ODC＝∠B＝90°. 6 在Rt△OCD和Rt△OCB中， OD＝OB，OC＝OC， ∴Rt△ODC≌Rt△OBC(HL) ， ∴∠DOC＝∠BOC. ∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED. ∵∠DOB＝∠ODE＋∠OED， ∴∠BOC＝∠OED，∴DE∥OC. 5．下列直线中，不一定是圆的切线的是(　　) A．与圆只有一个交点的直线 B．经过半径的外端，且垂直于这条半径的直线 C．与圆心的距离等于这个圆的半径的直线 D．垂直于半径的直线 D 8 6．如图，P是⊙O的直径CD的延长线上一点，直线PA是⊙O的切线，∠P＝30°，则∠ACP＝(　　) A．20° B．30° C．15° D．25° B 9 7．如图，已知∠AOB＝30°，M为边OB上任意一点，以M为圆心，3 cm为半径作⊙M.当OM＝________cm时，⊙M与OA相切. 6 10 8．(8分) (教材改编题)如图，AB是⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，求证：DE是⊙O的切线. 证明：如图，连接OD. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC. ∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC， ∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC. ∵DE⊥AC，∴DE⊥OD. 又∵OD是⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． 11 A．18° B．30° C．36° D．72° 2星题 中档练 A 12 A．30° B．45° C．60° D．75° D 13 11. (创新题·新考法)在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做整点．如图，过整点A，B，C有一条圆弧，若一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线可以经过(　　) A．点(0，3) B．点(6，0) C．点(1，3) D．点(6，1) C 14 15 (1)求证：AC是⊙O的切线； 16 (2)若CE＝4，CF＝2，求BD的长度． 又∵∠ACB＝90°，OE⊥AC， ∴四边形CFME是矩形，设⊙O的半径为r，则OM＝OE－EM＝OE－CF＝r－2，MD＝MF＝CE＝4，在Rt△ODM中，MD2＋OM2＝OD2， ∴42＋(r－2) 2＝r2，解得r＝5， ∴BD＝10. 17 13. (分类讨论思想)如图，半圆O的直径DE＝12 cm，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝12 cm，半圆O以1 cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t(s)，OC＝8 cm.当半圆O与△ABC的边相切时，运动时间t＝__________. 3星题 提升练 2或8或14　 18 点拨：∵半圆O的直径DE＝12 cm， ∴半圆O的半径OD＝OE＝6 cm， ①如图①，当点E与点C重合时，AC⊥OE，则半圆O与AC相切， 此时点O运动了8－6＝2(cm) ， ∴运动时间t＝2(s) ； ②如图②，当点C与点D重合时，则AD⊥OD， ∴半圆O与AC相切， 此时点O运动了8＋6＝14(cm) ， ∴运动时间t＝14(s) ； ③如图③，过点C作CF⊥AB于点F， ∵∠ABC＝30°，BC＝12 cm， 当半圆O与AB相切时，O到AB的距离等于半径6 cm， ∴点O与点C重合，此时点O运动了8 cm， ∴运动时间t＝8(s) ． 综上，当半圆O与△ABC的边相切时，运动时间t＝2或8或14. 　 9.[2025·北京模拟]如图，已知点A，B在⊙O上，∠AOB＝72°，直线MN与⊙O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于(　　) 10．如图，⊙O的半径为1，弦AB＝，以AB为边在⊙O内作等边三角形ABC，将等边三角形ABC绕点A逆时针旋转，当边AC第一次与⊙O相切时，旋转角为(　　) 12．(8分)[2025·合肥期末]如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB上一点，以BD为直径的⊙O交AC于点E，⊙O交BC于点F，且点E是的中点. 证明：如图，连接OE， ∵E是的中点，∴＝，∴∠EBC＝∠DBE. 又∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠BEO， ∴∠EBC＝∠BEO，∴BC∥OE. 又∵∠ACB＝90°，∴∠OEA＝90°，∴OE⊥AC. 又∵OE是⊙O的半径，∴AC为⊙O的切线． 解：如图，连接FD，交OE于点M， ∵点E是的中点，∴OE⊥FD. ∴CF＝BC·sin 30°＝BC＝6 cm， $第24章 24.1 旋转 第3课时　在平面直角坐标系中对图形 进行旋转变换 1 核心必知 旋转作图的步骤和方法： 旋转方向 旋转角度 1星题 基础练 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，则点A的对应点A′的坐标为(　　) A．(4，6) B．(6，4) C．(－4，－6) D．(－6，－4) B 3 2．在平面直角坐标系中，将点(5，－3)绕原点顺时针旋转180°后的对应点所在的象限为(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 4 3．如图，若将△ABC(点C与点O重合)绕点O顺时针旋转270°后得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是______________. (－2，－3) 5 (2，4) 6 5．(8分)[2025·阜阳期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)； 增大铁丝的受热面积和铁丝与氧气的接触面积 7 5．(8分)[2025·阜阳期末]如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)请画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1(点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1)； (2)请画出△ABC绕原点O顺时针 旋转90°后的△A2B2C2(点A，B，C 的对应点分别为点A2，B2，C2)． 8 解：(1) 如图，△A1B1C1即为所画． (2) 如图，△A2B2C2即为所画． 6．(8分)[2025·宿州期中]如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2). (1)将△ABC以点C为旋转中心 旋转180°，画出旋转后对应 的△A1B1C； (2)平移△ABC，点A的对应 点A2的坐标为(1，－4)，画出平移 后对应的△A2B2C2； 10 解：(1) 如图，△A1B1C即为所画． (2) 如图，△A2B2C2即为所画． (3)应用与求解：将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为________． (2，－1) 12 7. (分类讨论思想)如图，在平面直角坐标系中，点A(－1，2)，OC＝4，将平行四边形OABC绕点O旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是______________. 2星题 中档练 或 13 8．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°.将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为(　　) B 14 9. [2025·淮北期末]如图，在平面直角坐标系中，风车图案的中心为正方形，四片叶片为全等的平行四边形，其中叶片上的点A，C的坐标分别为(1，0)，(0，4)．将风车绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，如何求经过第2 025次旋转后，点D的坐标？ 15 (1)初始信息：未旋转时点D的坐标为__________． (2)变换规律：每旋转________次就会完成一次循环，点D的坐标不变． (3)周期转化：旋转2025次后， 点D的坐标为____________. (1，3) 4 (3，－1) 16 10．(12分)[2025·镇江期中]如图，在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为A(2，4)，B(1，2)，C(4，1)，△DEF各顶点的坐标分别为 D(4，－4)，E(5，－2)，F(2，－1)． (1)将△ABC绕点(0，1)逆时针旋转 90°，画出旋转后的△A1B1C1， 点A1、B1、C1分别与点A、B、C对应； 17 解：(1) 如图，△A1B1C1即为所画． (2)若△ABC与△DEF关于点P成中心对称，则点P的坐标是________； (3)以点B、F、E、C为顶点的四边形 是怎样的特殊四边形？求四边形 BFEC的面积. (3，0) 19 11.(几 何 直 观　2025·合肥期中)如图，抛物线m：y＝ax2＋b是由抛物线y＝－2x2向上平移b个单位长度得到的(b>0)，与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C. (1)a＝__________； －2 3星题 提升练 21 (2)若将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A1C为矩形，则b＝________． D 22 4．[2025·合肥一模改编]如图，在平面直角坐标系xOy中，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到Rt△OAB的位置，若OD＝2 ，CD＝2，则点B的坐标为________. A．2 B．－2 C．2 D．－2 如图，连接FC，BE. ∵BF＝EF＝CE＝BC＝＝， ∴四边形BFEC是菱形． ∵BE＝＝4 ，CF＝＝2 ， ∴四边形BFEC的面积为×4 ×2 ＝8. 点拨：令x＝0，得y＝b， ∴C(0，b) ．∵b>0，∴CO＝b， 令y＝0，得－2x2＋b＝0，∴x＝±， ∴A，B， ∴AO＝BO＝， ∴AB＝，BC＝＝， 要使四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC， ∴＝， ∴2b＝b2＋b， 解得b1＝，b2＝0(舍去) ， ∴b＝. $第四单元 课题3 物质组成的表示 第1课时　化学式 1 核心必知 1.________________的三个点确定一个圆. 不在同一直线上 2.经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的________，外接圆 的圆心是三角形三条边的____________的交点，叫做这个三 角形的______. 外接圆 垂直平分线 外心 3.先假设__________不成立，然后经过推理，得出矛盾的结 果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法. 命题结论 1星题 基础练 1．下列说法正确的是(　　) A．经过一个定点，以定长为半径只能作一个圆 B．经过两个定点，以定长为半径只能作一个圆 C．经过三个定点，只能作一个圆 D．经过三角形的三个顶点，只能作一个圆 D 3 2．[2025·滁州期中]如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 D 4 3．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，则下列说法错误的是(　　) A．⊙O是△ABC的外接圆 B．O是△ABC角平分线的交点 C．OA＝OB＝OC D．点O在线段AB的垂直平分线上 B 5 4．若一个三角形的外心在三角形的内部，则此三角形为__________三角形；若外心在三角形的一条边上，则此三角形为__________三角形；若外心在三角形的外部，则此三角形为________三角形． (补充设问)边长分别为3，4，5的三角形外接圆半径等于________. 锐角 直角 钝角 2.5 6 5．如图，△ABC外接圆的圆心坐标为________. (5，0) 7 6．(4分) (真实情境)图①是1981年在洛阳龙门出土的第一枚东罗马金币的图片，图②是其示意图，小明为找到这个圆形金币的圆心，在其边缘标注了A，B，C三点．请利用无刻度的直尺和圆规，在图②中作出圆心O(不写作法，保留作图痕迹). 解：如图，点O即为所求作的圆心． 8 7．[2025·无锡期中]用反证法证明，若|a|<5，则a2<25时，应假设(　　) A．|a|≥5 B．|a|>5 C．a2≥25 D．a2>25 C 9 8. (创新题·新题型)用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”． 已知：如图，直线l1，l2被直线l3所截，∠1＋∠2________180°. ≠ 10 求证：直线与 ________. 证明：假设___ ， 则___ . 这与________________矛盾， 故______不成立. 所以_________________. 不平行 // 假设 直线与不平行 9. (原创题)在下列函数的图象上任取三点，过这三点不可能作出圆的是(　　) A．y＝x2 B．y＝－2x2－1 D 2星题 中档练 12 10．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，A，O两点都在格点(网格线的交点)上，在此方格纸的格点上另外找两点B，C，使得△ABC的外心为O，则BC的长度为(　　) D 13 11．[2025·合肥月考]如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过原点O，A(4，0)，B(4，3)三点，则下列说法错误的是(　　) D 14 12．已知正三角形的边长为2，那么该三角形的外接圆面积为________. 15 13．(8分)如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，连接BD、CE，BD、CE相交于点O.用反证法证明：BD和CE不可能互相平分. 证明：如图，连接DE. 假设BD和CE互相平分. ∵BD和CE互相平分， ∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD. ∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上， ∴AB与AC不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，∴BD和CE不可能互相平分． 16 14．(16分) (新课标·阅读理解)定义：我们将能完全覆盖某平面图形的圆称为该平面图形的覆盖面．其中，能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆. 例如：如图①，线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆． 3星题 提升练 17 【初步思考】 (1)边长为1 cm的正方形的最小覆盖圆的半径是________cm； (2)如图②，边长为1 cm的两个正方形并列在一起，则其最 小覆盖圆的半径是________cm； 18 【深入研究】 (3)请分别作出图③和图④中两个三角形的最小覆盖圆(要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； 如图①②分别为两个三角形的最小覆盖圆． 19 (4)探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求证明)． 锐角三角形(和直角三角形) 的最小覆盖圆是其外接圆；钝角三角形的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆． 20 C．y＝－ D．y＝2x A．4 B．5 C. D．2 A．这条圆弧所在圆的半径为 B．这条圆弧所在圆的圆心为 C．点N(0，3)在这条圆弧所在的圆上 D．点M(2，5)在这条圆弧所在的圆上 $第24章 24. 2 圆的基本性质 第3课时　圆心角、弧、弦、弦心距间关系 1 核心必知 1．圆是__________图形，旋转中心为________．顶点在圆心的角叫做________． 2．定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的________相等，所对的________相等，所对弦的弦心距相等． 3．推论：在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等⇔弦心距相等． 旋转对称 圆心 圆心角 弧 弦 1星题 基础练 1．[2025·滁州月考]下图中∠ACB是圆心角的是(　　) B A. B. C. D. 3 2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB的长度 为5 cm，则弦AB所对的圆心角的度数为(　　) A．30° B．60° C．90° D．120° B 4 3．[知识初练]如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦， OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F. （1），____， ____， ____； （2）， ____，________ ， ____. 5 4.如图，，为的弦， 于点 ，于点，，若 ， 则 ___. 3 6 75° 7 6. 如图，在中，是 的直径，， ， 则 的度数为______________________ _______________________________. 解题关键：在同圆或等圆中，弧相等 圆心角相等. 8 120° 9 40° 10 2星题 中档练 9.如图，点是 所在圆的圆心.已知点 、将 三等分，那么下列结论不正确的 是( ) B A. B. C. D. 11 D 12 16 13 12．(8分)如图，以▱ABCD的顶点A为圆心，AB长为半径作圆，分别交AD，BC于点E，F， 延长BA交⊙A于点G. 证明：如图，连接AF， ∵A为圆心，∴AB＝AF，∴∠ABF＝∠AFB. ∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC， ∴∠AFB＝∠DAF，∠GAD＝∠ABF， ∴∠DAF＝∠GAD， 14 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABF＝∠D＝50°，∴∠AFB＝50°， ∴∠GAF＝∠AFB＋∠ABF＝50°＋50°＝100°， 15 OD于点E，F.求证：AE＝BF＝CD； (2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 3星题 提升练 16 证明：连接， . ,是的三等分点， ， ， . ， . ， ， 17 . ， , . 同理可得 . (2)在(1)中，如果∠AOB＝120°，其他条件不变，如图②所示，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 19 解：成立.证明如下：连接， . ,是 的三等分点， ， ， . , . 20 , . . , , . 同理可得 . 5．[2025·安庆期末]如图，在⊙O中，＝，∠A＝30°，则∠B＝________. 7．如图，已知AB为⊙O的直径，点C为圆上的一点，∠BOC＝2∠AOC，则的度数为________. 8．如图，⊙O过五边形OABCD的四个顶点．若劣弧AD的度数为150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为________. 10．[2025·合肥期末]如图，△ABC的顶点A，B，C在⊙O上，∶∶＝3∶4∶5，OB是⊙O的半径，则∠OBC的度数为(　　) A．20° B．25° C．30° D．45° 11.如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，＝＝，则CM＋DM的最小值为________. (1)求证：＝； ∴＝. (2)若∠D＝50°，求的度数． ∴的度数为100°. 13．(8分)(中考能力点·推理论证)(1)如图①，在⊙O中，∠AOB＝90°，且C，D是的三等分点，AB分别交OC， $第24章 24. 6 正多边形与圆 第2课时　正多边形的性质 1 核心必知 1.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个 圆是同心圆.正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心叫做正多 边形的______. 中心 2.正多边形都是轴对称图形，一个正 边形一共有___条对称轴. 如果一个正多边形有偶数条边，那么它又是__________图形. 中心对称 1星题 基础练 1．一个四边形既有外接圆，又有内切圆，且这两个圆是同心圆，则这个四边形一定是(　　) A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 D 3 2．若一个圆内接正多边形的中心角是40°，则这个多边形是(　　) A．正九边形 B．正八边形 C．正七边形 D．正六边形 【变式题】如果一个正多边形的中心角等于72°，那么这个多边形的内角和为(　　) A．360° B．540° C．720° D．900° A B 4 3．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，连接OA，OC，AC，则∠1的度数为(　　) A．15° B．18° C．20° D．24° B 5 4．如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是(　　) D 6 (补充设问1)正三角形的边心距是________． (补充设问2)等边三角形的内切圆半径、外接圆半径的比是________. 1∶2 7 5．[2025·上海二模]边长为a的正十边形的半径是(　　) A 8 6．(8分)[2025·安庆期末]如图①，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形(如图②)，求亭子地基的周长和面积. 解：如图，连接OB，OC，则OB＝OC＝4 m. ∵六边形ABCDEF是正六边形， 9 7．[知识初练]正十二边形既是轴对称图形，也是______对称图形，它有______条对称轴. 中心 12 11 8．一个正多边形绕着它的中心旋转72°后，才与原正多边形第一次重合，则这个多边形(　　) A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形 C．既是轴对称图形，也是中心对称图形 D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形 A 12 9.(立德树人·弘扬传统文化 2025·滁州期末)司南(如图①)是我国古代辨别方向用的一种仪器，是指南针的始祖．司南的中间为一圆形，如图②，圆心为O，根据八个方位将⊙O八等分(图②中的点A～H为八个等分点)，连接AD、AH、DG，AH与DG的延长线交于点P，则∠P的度数为________. 45° 2星题 中档练 13 10．[2025·芜湖月考]以同一个圆的内接正三角形、正四边形、正n边形的边心距为三边作三角形，若这个三角形是直角三角形，正n边形的边心距为直角三角形的斜边，那么n的值是(　　) A．4 B．5 C．6 D．12 C 14 11．(8分)如图，已知⊙O的内接正十边形ABCD…，AD交OB，OC于点M，N，求证：MN∥BC. 证明：如图，连接OA，OD，则OA＝OB＝OC＝OD. ∵AB，BC，CD是内接正十边形的边长， 15 12．(8分) (新课标·阅读理解)【阅读理解】如图①，∠BOC为等边三角形ABC的中心角，将∠BOC绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<120°)，与△ABC的边BC，AC分别交于点M,N,通过证明可得△OBM≌△OCN.设△ABC的面积为S, 3星题 提升练 18 【类比探究】如图②，∠BOC为正方形ABCD的中心角，将∠BOC绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)，与正方形ABCD的边BC，CD分别交于点M，N.若正方形ABCD的面积为S，请用含S的式子表示四边形OMCN的面积(写出具体探究过程)． 19 解：【类比探究】∵∠BOC为正方形ABCD的中心角， ∴易得OB＝OC，∠OBM＝∠OCN＝45°. ∵∠BOC绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°) ，与正方形ABCD的边BC，CD分别交于点M，N， ∴∠BOM＝∠CON，∴△BOM≌△CON， 【拓展应用】如图③，∠BOC为正六边形ABCDEF的中心角，将∠BOC绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<60°)， 与正六边形ABCDEF的边BC，CD分别交于点M，N.若四边形OMCN的面积为 【拓展应用】正六边形ABCDEF的面积为6 . 21 A．5 B．5 C．7.5 D．5 A. B.cos 72° C.tan 72° D. ∴它的中心角∠BOC＝＝60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OC＝BC＝4 m. ∴亭子地基的周长为6×4＝24(m) ． 作OP⊥BC，垂足为点P， 则∠OPC＝90°，PC＝BC＝2 m， 根据勾股定理，可得OP＝＝2 (m) ． ∴亭子地基的面积为6××4×2 ＝24 (m2) ． ∴AB＝BC＝CD，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝＝36°， ∴∠AOD＝36°＋36°＋36°＝108°， ∴∠OAD＝∠ODA＝(180°－∠AOD) ＝36°， ∴∠AMB＝∠MAO＋∠MOA＝72°. ∴∠OMN＝∠AMB＝72°. ∵∠BOD＝∠BOC＋∠COD＝36°＋36°＝72°，＝， ∴∠BAD＝∠BOD＝36°， ∴∠ABM＝180°－∠BAD－∠AMB＝180°－36°－72°＝72°. 易知∠ABC＝＝144°， ∴∠OBC＝∠ABC－∠ABM＝144°－72°＝72°， ∴∠OMN＝∠OBC＝72°， ∴MN∥BC. 则S四边形OMCN＝S△OMC＋S△OCN＝S△OMC＋S△OBM＝S△OBC＝S. ∴S四边形OMCN＝S△OMC＋S△OCN＝S△OMC＋S△OBM＝S△OBC＝S. ，请直接写出正六边形ABCDEF的面积. $第24章 24.8 综合与实践　进球线路与最佳射门角 1 1.如图，足球运动员在球门 前横向带球准备射门，下列说 法正确的是( ) B A.在 处射门进球的可能性大 B.在 处射门进球的可能性大 C.在， 两处射门进球的可能性一样大 D.无法判断， 两处哪处进球的可能性大 2 2.如图，点，， 表示足球比赛中三 个不同的射门位置，估测图中各角的大 小关系，请指出在，， 哪个点处射 门最好. 解：观察可知，则在 点处射门最好. 3 3．如图，点点由M向N的运动过程中，∠APB的大小________．(填序号) ①逐渐变大； ②逐渐变小； ③先变大后变小； ④先变小后变大． ③ 4 4. 足球训练场上，教练在球门前画 了一个圆圈进行无人防守的射门训练.如图， 甲、乙两名运动员分别在， 两处，他们争 论不休，都说自己所在的位置与球门两端点 ， 的夹角大，如果你是教练，请评一评他 们两个人谁的位置与球门两端点， 的夹角大？为什么？ 5 解：点点、训训两人所在的位置与球门两端点A，B的夹角一样大．因为根据圆周角定理的推论可得∠ADB＝∠ACB. 5.某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海 洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔， ， 通告所有船只不要进入以 为弦的弓形区 域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如 图所示.现有一艘货轮 正向暗礁区域靠近， 当 多大时，才能避开暗礁？ 解：当 时，才能避开暗礁. 7 $第24章 24. 3 圆周角 第1课时　圆周角定理及其推论 1 核心必知 1.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的 ______. 2.推论1:在同圆或等圆中，同弧或______所对的圆周角相等， 相等的圆周角所对的弧也______. 3.推论2:半圆或直径所对的圆周角是______； 的圆周角 所对的弦是直径. 一半 等弧 相等 直角 1星题 基础练 1.［知识初练］下列图形中的角是圆周角的是( ) B A. B. C. D. 3 2.在下图中标出的这5个角中， 所 对的圆周角是( ) C A. B.和 C.和 D.和 4 3．[2025·重庆中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　) A．40° B．50° C．80° D．100° B 5 4．[2025·扬州中考]如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝50°，则∠OBC＝________°. 40 6 5．[2025·淮北一模]如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC＝40°，则∠BOD的度数为________. 80° 7 6．如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　) A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D D 8 7．用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形工件，根据图形所表示的情形，四个工件中肯定是半圆环形的是(　　) D 9 8．[2025·合肥期末]如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点．若∠ABC＝25°，则∠BDC＝______. 65° 10 9．(8分)[2025·南通模拟改编]如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AC＝BC＝2，∠BCD＝30°，求BD的长. 解：如图，连接AD， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝BC＝2， 11 10.[2025·淮北二模]如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为64°，则∠BCD的度数为(　　) A．58° B．60° C．62° D．64° A 2星题 中档练 13 11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，点D是⊙O上一点，连接BD，CD.若∠D＝28°，则∠OAB的度数为(　　) A．28° B．34° C．56° D．62° B 14 12. (分类讨论思想)已知△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝120°，则∠C的度数是(　　) A．60° B．120° C．60°或120° D．30°或150° C 15 13. (真实情境)如图，海边有两座灯塔A，B，暗礁分布在经过A，B两点的弓形(弓形的弧是⊙O的一部分)区域内(不包括边界)，∠AOB＝96°，为了避免触礁，轮船P与A，B的张角∠APB的最大值为________. 48° 16 14. (转化思想)如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C(0，2)，B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC的值为________. 思路点睛：根据同弧所对的圆周角相等，将所求正切的角进行转化即可． 17 15．(8分)如图，△ABC内接于⊙O，已知AB＝c，BC＝a，AC＝b，⊙O的半径为R. 证明：如图，连接CO并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D＝∠A，∠DBC＝90°，CD＝2R. 3星题 提升练 18 (2)若a＝5，∠A＝60°，求⊙O的半径R. 20 即时练透 【思路点拨】在解决与动点有关的问题时，若出现垂直，则确定运动轨迹是以斜边为直径的圆． 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点P在矩形的内部，连接PA，PB，PC，若∠APB＝90°，则PC长的最小值是________. 21 22 ∴AB＝＝2 . ∵∠BCD＝30°，∴∠BAD＝∠BCD＝30°. 在Rt△ABD中，AB＝2 ，∴BD＝AB＝. (1)求证：＝＝＝2R； 在Rt△BCD中，sin D＝， ∴sin A＝＝，∴＝2R. 同理可证，＝2R，＝2R， ∴＝＝＝2R. 解：∵＝2R，∴＝2R，∴R＝. －2 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3 cm，BC＝3 cm.D是边BC上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BE，在点D运动的过程中,线段BE 长度的最小值是________________. cm $第24章 24.5 三角形的内切圆 1 核心必知 1.与三角形三边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的 圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的外切三角形. 2.三角形的内心到三角形的三边距离______. 相切 内心 相等 1星题 基础练 1.如图，是的内切圆，则点 是 的( ) B A.三条边的垂直平分线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条中线的交点 D.三条高的交点 3 2.用无刻度的直尺和圆规确定的内心 ，下列作图方法 正确的是( ) C A. B. C. D. 4 3. 如图，有一块三角形材料 ，请你在这块材 料上作一个面积最大的圆.（用圆规和直尺作图，不写作法， 保留作图痕迹） 解：如图. 5 4.如图，在中，内切圆与 边相切于点 ，连接，.若 ，则 的度 数是( ) D A. B. C. D. 6 5. 如图，是的内切圆， 且 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 7 6. 如图，在中，内切圆 与边 ，，分别相切于点，， ，若 ，则____ . 55 8 7．[2025·合肥月考]如图，点I为△ABC的内心，AB＝6，AC＝4，BC＝3，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为________. 6 9 8．(8分)如图，已知点O为勾股形ABC(我国古代称直角三角形为勾股形)的内心，其中∠A为直角，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，∠ADO＝∠AFO＝∠BEO＝90°，若BD＝4，CF＝6，求四边形ADOF的面积. 2星题 中档练 10 解： , 四边形 是矩形. 点为的内心， , 四边形是正方形, . 设，则, . 由题意易得, , . 在中， , , , （舍去）. . 9. 如图， 把 剪成三 C A. B. C. D. 部分，边,,放在同一直线上，点落在直线 上， 直线.在中，若 ，则 的度数 为( ) 13 10．[2025·南通模拟]如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在边AC上，过△ABD的内心I作IE⊥BD于点E.若BD＝14，CD＝6，则BE的长为(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 C 14 11．[2025·芜湖期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的外心，BC＝6，AC＝8，⊙P是△ABC的内切圆，则OP的长为(　　) C 15 12．(8分)[2025·滁州一模]如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于点A，B的一点，I是△ABC的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI，BD，IO. (1)求证：DI＝DB； 证明：∵I是△ABC的内心， ∴AI，BI是△ABC的角平分线， 16 (2)若BD＝2，IO⊥BI，求AI的长． 解：如图，过点O作OE⊥AD于点E， ∴∠AEO＝∠D＝90°，∴OE∥BD， ∴AE＝DE. ∵BD＝2，∴OE＝1. ∵IO⊥BI，∴∠BIO＝90°， 18 ∴∠OIE＋∠BID＝90°， ∴∠OIE＝45°，∴∠IOE＝45°＝∠OIE， ∴IE＝OE＝1. ∵DI＝DB＝2，∴AE＝DE＝3， ∴AI＝AE＋IE＝3＋1＝4. 即时练透 【思路点拨】如图①②，在△ABC中，AB，BC，CA的长分别为c，a，b，△ABC的内切圆⊙O的半径为r，△ABC的面积为S，可利用切线长定理、等面积法推得以下结论． 20 1．[2025·绍兴模拟]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为(　　) A．5.5　　　　　B．2.75　　　　　 C．6.05　　　　　D．3.025 2．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝5， AC＝8，则△ABC的内切圆的半径为________. D 21 A．2 B．3 C. D. ∴∠BAD＝∠BAC，∠ABI＝∠ABC. ∵AB是半圆O的直径， ∴∠C＝∠D＝90°， ∴∠CAB＋∠CBA＝90°， ∴∠BID＝∠BAD＋∠ABI＝(∠BAC＋∠ABC) ＝45°， ∴∠IBD＝45°，∴∠IBD＝∠BID， ∴DI＝DB. ∴△AOE∽△ABD，∴＝＝＝， $