专题04 中心对称重难点题型专训（4个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

该初中数学单元复习讲义通过知识框架系统梳理了中心对称的知识体系，将中心对称（两个图形）、作图步骤、中心对称图形（一个图形）、中心对称的作图4个知识点按概念、性质、判定逻辑组织，并用即时训练衔接，清晰呈现重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于“知识点-题型-拓展”的三阶训练体系，7大题型覆盖识别、作图、计算等，如“画两个图形的对称中心”“根据性质求面积长度角度”，培养空间观念与推理意识。拓展训练结合规律问题和实际应用，基础题巩固概念，拓展题提升思维，助力学生自主复习，教师可据此实施分层教学。

专题04 中心对称重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 成中心对称 题型二 中心对称图形的识别 题型三 判断中心对称图形的对称中心 题型四 画已知图形关于某点对称的图形 题型五 画两个图形的对称中心 题型六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 拓展训练一 利用中心对称图形的性质求解 拓展训练二 中心对称图形的画法 拓展训练三 中心对称图形规律问题 知识点一：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 【答案】D 【分析】由中心对称的特征可知点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 【详解】解：如图，连接对应点可知，点E是对称中心，点A的对称点是是点I． 故选D． 【点睛】本题实际考查了中心对称的性质，关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，由此可以得出对称中心A的位置． 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    【答案】(1，-1) 【分析】根据旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等，可知旋转中心一定在任何一对对应点所连线段的垂直平分线上，由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点即为所求． 【详解】解：∵△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´， ∴A、B的对应点分别是A´、B´， 又∵线段BB′的垂直平分线为x=1， 线段AA′是一个边长为3的正方形的对角线，其垂直平分线是另一条对角线所在的直线， 由图形可知，线段BB′与AA′的垂直平分线的交点为（1，-1）． 故答案为(1，-1)． 【点睛】本题考查旋转的性质及线段垂直平分线的判定．能够结合图形，找出对应点的垂直平分线是解题的关键． 知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图是一个中心对称图形，它的对称中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点A或点C 【答案】B 【分析】直接利用中心对称图形的性质得出对称中心． 【详解】如图所示，它是一个中心对称图形，它的对称中心是点B． 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，正确把握中心对称图形的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解题关键．根据中心对称的定义依次判断到位置是否可以构成中心对称图形即可． 【详解】解：如图，当涂黑时，构成的阴影部分为中心对称图形． 故答案为：． 知识点三：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 【答案】C 【分析】此题考查了中心对称图形．点A绕点O旋转即可与点D重合，根据中心对称图形的定义进行解答即可． 【详解】解：记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为D， 故选：C 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为 °．    【答案】90 【分析】分别考虑“正放的图形”和“斜放的图形”旋转多少度能与自身重合即可求解． 【详解】解：由图可知：“正放的图形”和“斜放的图形”旋转之后能与自身重合 故该图形绕着中心顺时针旋转后能与自身完全重合 故答案为： 【点睛】本题考查中心对称的概念．掌握相关内容是解题关键． 知识点四：中心对称的作图 已知图形和对称中心点O，作其中心对称图形： （1）连接图形上的关键点（如顶点）与对称中心O。 （2）将每条连线向O点另一侧延长，并截取长度相等的线段（即找到该点关于O的对称点）。 （3）按原图形的顺序连接这些新的对称点。 【即时训练】 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（　　）      A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】试题解析：A、是轴对称图形，也是中心对称图形； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选A． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】根据题意得出使图中黑色部分是一个中心对称图形的涂法有几种，再除以白块的总数即可． 【详解】解：如图，原图中共有11块白色的单位正方形， 若选取一块涂黑，则只有下图一种涂法， ∴图中黑色部分是一个中心对称图形的概率P=. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是中心对称图形的概念，以及简单的概率计算，解题的关键是掌握中心对称图形的概念． 【经典例题一 成中心对称】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据中心对称的定义逐项分析即可得解，熟练掌握中心对称的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、绕点旋转后，能够与原图形重合，故成中心对称，符合题意； B、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； C、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； D、绕点旋转后，不能够与原图形重合，故不成中心对称，不符合题意； 故选：A． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，再根据中点的坐标特点求出x、y的值，找出循环的规律即可得出点的坐标． 【详解】解：设， 点、、，点关于的对称点为， ，， 解得，， ． 同理可得，，，，，，，， 每个操作循环一次． ∵， 点的坐标与相同． 故选：B． 【点睛】本题考查的是点的坐标，根据题意找出规律是解答此题的关键． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 【答案】 对称中心 对称中心 分别相等 【分析】根据中心对称的性质即可得． 【详解】解：关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过对称中心，被对称中心平分，对应线段与对应角都分别相等， 故答案为：对称中心，对称中心，分别相等． 【点睛】本题考查了中心对称，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 【答案】 【分析】本题考查成中心对称，把一个图形绕着某一点旋转，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点．由于菱形与菱形关于直线上某个点成中心对称，根据中心对称的定义可知，点B的对称点是H． 【详解】解：由题意和图可知：点为对称中心，点B的对称点是H． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图的综合问题，熟练掌握图形的平移、旋转和对称是解题的关键． （1）作点M、N、G关于x轴的对称点、、，顺次连接即可； （2）将M、NG绕点O旋转，得到点、、，顺次连接即可； （3）通过计算可得，和相交于点，根据中心对称图形的定义即可解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示；    （3）解：连接，和，    由图可得，，，，，，， ∵的中点为，的中点为，的中点为， ∴与呈中心对称， ∴对称中心为． 故答案为：，，． 【经典例题二 中心对称图形的识别】 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）结合轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的图形能够互相重合，那么就是轴对称图形）对选项逐一判断即可求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确； 故选：D 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列关于与的几何变换中，配对正确的是（ ） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称、轴对称、平移、旋转的定义，熟练掌握这些几何变换的概念，准确观察图形特征是解题的关键．通过观察图形中与的位置关系，依据中心对称、轴对称、旋转的定义，判断每个图形对应的几何变换类型，进而确定正确配对． 【详解】解：对于①：图形绕着点旋转后能与自身重合，符合中心对称（把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这里两个三角形关于点中心对称 ）的特征， 故①对应的几何变换是中心对称（Ⅱ）； 对于②：图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，符合轴对称（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴 ）的特征， 故②对应的几何变换是轴对称（Ⅰ）； 对于③：图形是绕着某个点旋转一定角度得到的，符合旋转（在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转 ）的特征， 故③对应的几何变换是旋转（Ⅲ）； 对于④：图形是绕着点旋转一定角度得到的，符合旋转的特征， 故④对应的几何变换是旋转（Ⅲ）． 综上，① - Ⅱ，② - Ⅰ，③ - Ⅲ，④ - Ⅲ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是 ． 【答案】1个 【分析】根据中心对称图形的定义以及旋转图形的性质分别判断得出即可． 【详解】解：正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，正方形、线段、平行四边形、圆都是中心对称图形， 只有等边三角形是旋转对称图形但不是中心对称图形， 故答案为：1个． 【点睛】本题考查了旋转对称图形，熟练掌握两种图形是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 【答案】 ②④⑤⑦⑧ ①③⑥⑦ ①③⑥ ⑦ 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形；如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形就是中心对称图形．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：①是中心对称图形，但不是轴对称图形； ②是轴对称图形，但不是中心对称图形； ③是中心对称图形，但不是轴对称图形； ④是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑤是轴对称图形，但不是中心对称图形； ⑥是中心对称图形，但不是轴对称图形； ⑦既是中心对称图形，也是轴对称图形； ⑧是轴对称图形，但不是中心对称图形． 所以，（1）轴对称图形有②④⑤⑦⑧； （2）中心对称图形有①③⑥⑦； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有①③⑥； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有⑦． 故答案为：（1）②④⑤⑦⑧；（2）①③⑥⑦；（3）①③⑥；（4）⑦． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)①对；②对 (2)正五边形；正十边形 【分析】本题考查旋转对称图形，掌握旋转对称图形的旋转角的计算方法，是解题的关键： （1）①根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可；②根据旋转对称图形和旋转角的定义，进行判断即可； （2）将当作最小旋转角，进行计算即可． 【详解】（1）解：①， ∴正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； ②， ∴长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为； 故答案为：对，对； （2），， 正五边形满足有一有旋转角为，是轴对称图形，但不是中心对称图形， 正十边形有一个旋转角为，既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【经典例题三 判断中心对称图形的对称中心】 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称，熟知关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键．根据中心对称的定义解得即可． 【详解】解：与成中心对称，、是对称点， 对称中心可能是线段的中点， 故选：D． 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，解题的关键是掌握中心对称的定义．分别连接图中的两对对应点，两直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，分别连接图中的两对对应点，对应点所在直线交于点， 对称中心的坐标为， 故选：A． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 【答案】C 【分析】此题属于识别中心对称图形的问题，中心对称图形的定义； 中心对称图形是把图形的一部分绕某一点旋转，两部分能完全重合； 接下来试着将图①的正方形放在规定的各个位置上，结合中心对称图形的定义进行分析即可． 【详解】解：图①中的正方形放在图②中的C的位置，组成的图形是中心对称图形，故放在C的位置． 故答案为：C． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查中心对称，坐标与图形的性质等知识．根据将绕点旋转得到，可知这两个三角形关于中心对称，设，利用中点坐标公式计算即可得到答案． 【详解】解：设， 由题意，即为的中点， ，，则有， 解得， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，解答下列问题： (1)画出向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到的， (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点，的对应点分别为点，），与成______（填“轴对称”或“中心对称”），若是轴对称，请在图中画出对称轴，若是中心对称，请在图中找出对称中心并标注字母． 【答案】(1)见解析 (2)中心对称，对称中心见解析 【分析】本题考查了作图平移变换，旋转变换，熟记平移变换，旋转变换的性质是解题的关键． （1）根据平移变换的性质找出对应点即可求解； （2）根据中心对称图形的性质即可得出结论，连接与交于点，则点即为对称中心． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ； （2）解：与成中心对称，对称中心的位置如图所示． 故答案为：中心对称． 【经典例题四 画已知图形关于某点对称的图形】 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：依题意，添加的等边三角形④，可得中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查图形的变化，要求学生熟练掌握平移、旋转和轴对称变化的性质与运用．根据图形的平移、旋转和轴对称变化的性质与运用得出． 【详解】解：①通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ②通过画图可知，此方法可以将与重合，故此方法正确， ③通过画图可知，此方法不可以将与重合，故此方法错误， 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【详解】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 【答案】（0，0） 【分析】画出图形，探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图，由题意，，，， 发现3次一个循环， ∵， ∴的坐标与的坐标相同，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形规律及画中心对称图形，解题的关键是根据题意提取出图形规律． 4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出将绕点顺时针旋转后的（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，旋转图形，掌握中心对称的性质和旋转的性质是解题的关键． （1）根据找点，描点，连线成即可； （2）根据找点，描点，连线成即可． 【详解】（1）解：如图，为所作的图形； （2）解：如图，为所作的图形． 【经典例题五 画两个图形的对称中心】 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据旋转的性质，找到两组对应点，连接这两组对应点；然后作连接成的两条线段的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心，据此解答即可． 【详解】由中心对称图形的性质，对称中心为各对应点连线的中点，故线段AB中点即为对称中心．故选C 【点睛】本题考查了对称中心的确定方法，找到两组对应点，确定对应点连线中点即为对称中心是解决本题的关键． 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接对应点AA1、CC1，根据对应点的连线经过对称中心，则交点就是对称中心E点，在坐标系内确定出其坐标． 【详解】解：如图，连接AA1、CC1，则交点就是对称中心E点． ∴E（3，−1）． 故选：A． 【点睛】此题考查了中心对称的性质：对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分．确定E点位置是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 【答案】对称中心 【分析】根据中心对称图形的性质可进行求解． 【详解】解：由中心对称图形的性质可知：关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过对称中心； 故答案为对称中心． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求对称中心，分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， ∴的中点坐标均为， ∴与的对称中心是， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了图形的平移变换、轴对称变换以及中心对称图形中对称中心的确定，解题的关键是熟练掌握这三种图形变换的基本性质和作图方法。 （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据轴对称的性质作图即可． （3）分别连接，，，相交于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． （3）如图，分别连接，，，相交于点O， 则点O即为所求． 【经典例题六 据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例6】（25-26七年级上·上海松江·期中）已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点的对应点是点 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称的性质，掌握该知识点是解题的关键． 由中心对称的性质判断即可． 【详解】解：和关于点O成中心对称， 由中心对称的性质可得，，点A的对应点是点，， 所以D选项不正确． 故选：D． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质解答即可，解题的关键是熟练掌握中心对称的性质． 【详解】解：或或， 点关于点成中心对称的点的极坐标表示为：或或， 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 【答案】 【分析】本题考查的是利用割补法求解图形面积，由阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆，再列式计算即可． 【详解】解：∵观赏鱼池是中心对称，且米， ∴阴影部分相当于2个以点O为圆心，长为半径的圆， ∴阴影部分的面积为（平方米）， ∴阴影部分的面积为平方米． 故答案为： 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 【答案】 【分析】此题考查了中心对称和旋转，根据中心对称的定义和旋转的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，设正方形①、②、③的对角线交点分别为，连接，，， ∵正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称， ∴必过点A，必过点B，且， ∴， 由图可知，正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为， 故答案为： 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 【经典例题七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 【答案】D 【分析】据中心对称图形的定义，依次分析，排除错误选项，选出正确选项． 【详解】解：选①、②、③中的图形无论以哪一点为中心旋转后都不能与自身重合，不是中心对称图形， 选④中的图形以方格的对角线的交点为中心旋转能与自身重合，是中心对称图形， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的意义．本题关键是运用中心对称图形的意义一一检验每个选项中的图形，要假定每个点为对称中心进行检验． 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称的定义，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此进行作图，即可作答． 【详解】解：如图所示：即为所求，       则这样的有个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了中心对称图形，平行四边形的性质，它是中心对称图形，两对角线的交点是其对称中心；根据这一性质即可完成． 【详解】解：如图1、如图2所示，添加后的空白小等边三角形与原来的3个小等边三角形组成平行四边形，因而是中心对称图形． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 【答案】 OA A′ B′ A′B′C′D′ 【解析】略 4．（25-26七年级上·上海崇明·月考）如图是一个的方格纸，其中小正方形的顶点叫做“格点”，点A、B、C、O都在格点上． (1)在图1中，画出关于点O中心对称的； (2)在图2中，将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了利用中心对称作图，利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． （1）根据网格结构找出点关于点O中心对称的点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点绕点O顺时针旋转后的对应点的位置，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， 即为所求． 【拓展训练一 利用中心对称图形的性质求解】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）（1）解方程：； （2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，中心对称图形的性质，全等的性质，勾股定理等知识． （1）利用因式分解的方法解出方程即可； （2）根据与关于C点成中心对称，可得，即可得，，，进而有，在中，利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 则或， 解得； （2）解：∵与关于C点成中心对称， ∴， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴在中，有：． 即． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为18 【分析】本题考查中心对称的性质，找对称中心． （1）连接，，交点即为点O； （2）由和中心对称，可得，，，三条边长度相加即可． 【详解】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：∵和关于点O成中心对称， ∴，，， ∴的周长为. 3．（25-26七年级上·上海徐汇·开学考试）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 【拓展训练二 中心对称图形的画法】 1．（25-26七年级上·上海金山·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】考查作图-中心对称变换、作图-轴对称变换，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． （2）结合轴对称图形和中心对称图形的定义按要求画图即可． 【详解】（1）解：如图①，四边形即为所求． （2）解：如图②，四边形即为所求． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）按要求完成作图： (1)如图1，点A与点关于直线l对称，用直尺和圆规作出直线l； (2)如图2，给定的两个三角形关于直线m对称，只用直尺作出直线m； (3)如图3，给定的两个三角形成中心对称，只用直尺作出点P的对应点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了基本作图． （1）连接，作出的垂直平分线，即为直线l； （2）根据轴对称的性质，连接两个三角形对应的点，再连接连线的交点即为直线m； （3）根据关于点成中心对称的性质先找到中心点，连接并延长，即可求出点． 【详解】（1）解：直线l即为所求； （2）直线m即为所求； （3）点即为所求． 3．（25-26七年级上·上海长宁·期中）图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心对称图形，解题的关键是理解中心对称图形的定义． （1）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可； （2）根据题目要求以及中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：图形如图1所示．（答案不唯一） （2）解：图形如图2所示．（答案不唯一） 【拓展训练三 中心对称图形规律问题】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形； （1）请问其中是中心对称图形的是哪些？ （2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？ （3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？ 【答案】（1）六角星，八角星；（2）是；（3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形；当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形． 【分析】（1）根据中心对称图形的定义即可得到答案； （2）根据题意，如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，比如六角星，八角星，十角星，角的个数为偶数时就是中心对称图形，得到答案； （3）根据如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，当角的个数为偶数时就是中心对称图形，可得答案． 【详解】解：（1）图中是中心对称图形的有六角星，八角星； （2）由（1）知六角星，八角星，十角星，都是中心对称图形，由此可知，当角的个数为偶数个时，它是中心对称图形，因此36角星也是中心对称图形； （3）当n是偶数时，n角星绕中心点旋转180°能完全重合，n角星是中心对称图形； 当n奇数时，n角星绕中心点旋转180°不能完全重合，n角星不是中心对称图形． 【点睛】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）在学习了正方形以后，老师出了这样的一道题目，请你把正方形的面积分为四等分：聪明的小刚立刻就给出了如下的四种方案，并画出了分割线．你还会有其它的方法吗？ (1)请你分别在图1、图2、图3给出的正方形中画出三种不同的方案，要求画出分割线并作出简单的说明（可以自己标注字母）．方案说明：_______． (2)通过同学们的展示，小刚又发现了规律，他说如果只画两条分割线的话，这两条分别线必须满足两个条件，你知道小刚说的两个条件吗？请你写出来：_______． 【答案】(1)见解析 (2)①必过对称中心；②必须互相垂直 【分析】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，轴对称图形的性质，中心对称图形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质结合轴对称图形的性质及中心对称图形的性质即可解答； （2）根据正方形的性质结合中心对称图形的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示为所求： 在图1中，分别是的中点，正方形关于对称， ∴， ∴四边形与四边形是矩形， 即， 在上取点，在和上取点使得， 即，则， 同理， ∴； 在图2中，分别是的中点，正方形关于对称， 即， 连接， 则，， ∴； 在图3中，和互相垂直且平分，且过正方形的中心O点， ∵正方形是中心对称图形， ∴，， ∴，即， 同理， ∴； （2）解：如果只画两条分割线的话，这两条分别线必须满足①必过对称中心；②必须互相垂直． 3．（24-25七年级上·上海宝山·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）解：如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； （2）解：如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．不是中心对称图形，不符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．是中心对称图形，符合题意． 故选D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中线对称图形的性质，掌握中点坐标的计算是解题的关键． 根据中点对称图形的性质，得到点在线段的中点处，由此得到，再根据点的对应点，设，由中点坐标的计算即可求解． 【详解】解：点的对应点为，且关于点成中线对称， ∴，即， ∴设，且， ∴， 解得，， ∴， 故选：A ． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 【答案】C 【分析】本题主要考查中心对称的图形的对称中心，掌握两组对应点连线的交点即是对称中心是解题的关键． 根据对称中心的确定方法即可解答． 【详解】解：如图，连接，它们的相交点，即为对称中心．    则线段与线段的对称中心为点I． 故选：C． 5．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】由已知两个图形的位置，判断它们是否中心对称，可以把各对应点连线，看所有连线是否交于同一点． 【详解】解：如图：    作法：1．过点作交于点，过点作交于点， 2．连接交于点， 故点即为所求 证明：，， 是对称点，是对称点， 故的交点为对称中心． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心对称，正确的作出图形是解题的关键． 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形，能快速寻找对称中心和对称轴是解题的关键．事实上，任意一次旋转变换都可以通过两次轴对称变换来实现． 根据轴对称和中心对称的定义和性质逐个判断即可．把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫对称中心，这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点． 如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①这两条线段组成中心对称图形，因此①正确，对称中心如下图所示：    ②这两条线段不能组成轴对称图形，无法找到这样的直线，使得一边沿着这条直线翻折后与另一边重合，因此②错误； ③这两条线段组成中心对称图形，可以找到这样的两条对称轴，使得其中一条线段经过2次轴对称后与另一天重合，两条对称轴如下图所示：    故正确的有：①③ 故答案为：①③． 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了中心对称作图，正确作出点B关于对称的点是解题的关键． 【详解】根据题目要求作出点B关于对称的点如图所示， 由图可知，的坐标为， 故答案为：． 8．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着 方向平移 厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与 重合； （4）写一对中心对称的三角形： ． 【答案】 射线 与 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据旋转的定义，结合图形即可得出答案； （3）根据轴对称的定义，结合图形可得出翻折后与重合； （4）根据中心对称的定义，结合图形写出一对即可． 【详解】解：（1）经过平移得到， 平移的方向是沿着射线方向，点与点是一组对应点， ∴平移的距离为的长， 是边长为厘米的等边三角形， 厘米， 三角形沿着射线的方向平移厘米能与三角形重合， 故答案为：射线，； （2）三角形绕着点顺时针旋转度后能与三角形重合， 故答案为：、； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与重合， 故答案为：； （4）与是中心对称的两个三角形， 故答案为：与（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了几何变换的类型，涉及的知识点有：图形的平移、旋转、轴对称、中心对称，属于基础题，熟练掌握几种变换的定义和特点是解题的关键． 9．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】首先根据是边长为1的等边三角形，可得A1的坐标为，B1的坐标为（1，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n＋1的坐标是多少即可． 【详解】解：∵是边长为1的等边三角形， ∴A1的坐标为：，B1的坐标为：（1，0）， ∵与关于点成中心对称， ∴点A2与点A1关于点B1成中心对称， ∵， ∴点A2的坐标是：， ∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称， ∴点A3与点A2关于点B2成中心对称， ∵ ∴点A3的坐标是：， ∴An的横坐标是：n−，当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：， ∵2022是偶数， ∴的坐标是， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了中心对称的性质、坐标与图形性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质，分别判断出An的横坐标和纵坐标是解题的关键． 10．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 【答案】点，点 【分析】本题主要考查旋转的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．画出中心对称图形即可判断． 【详解】解：画出中心对称图形， 观察图象可知，点，点满足条件． 故答案为：点，点． 11．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)正确，理由见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，图形旋转的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握中心对称和旋转的基本概念与操作方法，能够准确找出对应点的位置来绘制图形，并依据旋转的角度关系判断图形是否重合． （1）根据中心对称的性质，连接三角形各顶点与对称中心并延长相同长度，确定对应点，，的位置，从而画出三角形． （2）依据图形旋转的性质，以点为旋转中心，将三角形的各顶点绕点逆时针旋转，找到对应点，进而画出三角形． （3）分析两次旋转的角度关系，由于顺时针旋转后再逆时针旋转，且，相当于整体顺时针旋转了，判断这个角度下三角形能否与三角形重合． 【详解】（1）连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 连接并延长至，使， 依次连接，得到三角形，此此三角形关于点成中心对称的图形； （2）以点为旋转中心，将点绕点逆时针旋转，得到点， 同样方法，将点绕点逆时针旋转得到点， 将点绕点逆时针旋转得到点， 依次连接，画出三角形； （3）因为三角形绕点顺时针旋转得到三角形，再将三角形绕点逆时针旋转，所以三角形相对于初始位置顺时针旋转了， 而三角形直接绕点顺时针旋转后，其位置与经过两次旋转得到的三角形位置相同（根据旋转的性质，旋转角度相同，旋转中心相同，图形的最终位置相同）， 所以小明的观点正确，即三角形经过一次运动（绕点顺时针旋转）就能和三角形重合． 12．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，四边形是某设计师在方格纸上设计图案的一部分，请帮助该设计师按下面的要求完成余下的设计． (1)以点为对称中心，画出与四边形成中心对称的图形； (2)将你画出的图形连同原图形绕点顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称作图和旋转作图，掌握相关定义即可； （1）中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合，据此即可作图； （2）确定图形各顶点绕点顺时针旋转后的对应点，即可作图； 【详解】（1）解：如图所示：四边形即为所求： （2）解：如图所示： 13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形，旋转作图，掌握中心对称图形的性质是解题的关键． （1）连接，，它们的交点即为对称中心O，进而可画出点C的对称点，即可解答； （2）根据旋转的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示． （2）解：如图，为所求． 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）先找出两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （2）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：如图所示：   ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 中心对称重难点题型专训 （4个知识点+7大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 成中心对称 题型二 中心对称图形的识别 题型三 判断中心对称图形的对称中心 题型四 画已知图形关于某点对称的图形 题型五 画两个图形的对称中心 题型六 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 题型七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 拓展训练一 利用中心对称图形的性质求解 拓展训练二 中心对称图形的画法 拓展训练三 中心对称图形规律问题 知识点一：中心对称（两个图形） 1.概念 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称； 2.性质 （1）关于中心对称的两个图形是全等形。 （2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。 （3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。 3.判定 如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海金山·期末）如图，两个五角星关于某一点成中心对称，则对称中心和点A的对称点是（    ）． A．A和H B．I和E C．E和F D．E和I 2．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，在平面直角坐标系中，△ABC绕旋转中心顺时针旋转90°后得到△A´B´C´，则其旋转中心的坐标是 .    知识点二：作图步骤 （1）连接原图形上所有的特殊点和对称中心。 （2）将以上所连线段延长找对称点，使得特殊点与对称中心的距离和对称点与对称中心的距离相等。 （3）将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于中心对称的 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海杨浦·期中）如图是一个中心对称图形，它的对称中心是（ ） A．点A B．点B C．点C D．点A或点C 2．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，在方格纸中，选择标有序号的一个小正方形涂黑，与图中阴影构成中心对称图形，则涂黑的小正方形序号为 ． 知识点三：中心对称图形（一个图形） 把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，记钟面上数字12，3，5，6，9对应的点分别为点A，B，C，D，E，则点A关于钟面中心O的对称点为（    ） A．点B B．点C C．点D D．点E 2．（24-25七年级上·上海静安·阶段练习）如图所示的图形绕着中心顺时针旋转一定的角度后能与自身完全重合，那么这个角度至少为 °．    知识点四：中心对称的作图 已知图形和对称中心点O，作其中心对称图形： （1）连接图形上的关键点（如顶点）与对称中心O。 （2）将每条连线向O点另一侧延长，并截取长度相等的线段（即找到该点关于O的对称点）。 （3）按原图形的顺序连接这些新的对称点。 【即时训练】 1．（2025·上海长宁·模拟预测）如图，若要添加一条线段，使之既是轴对称图形又是中心对称图形，正确的添加位置是（　　）      A．   B．   C．   D．   2．（24-25七年级上·上海虹口·期中）如图是正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形的概率是 ． 【经典例题一 成中心对称】 【例1】（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）在平面直角坐标系中有三个点，点关于的对称点为关于对称点关于的对称点为，按此规律继续可以以为对称中心重复前面的操作，依次得到，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连接所有对称点的线段经过 ，被 平分，对应线段与对应角都 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，已知四边形与四边形关于直线上某个点成中心对称，则点B的对应点是点 ． 4．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，，，将向右平移4个单位长度，得到．    (1)画出关于轴对称的． (2)将绕原点旋转，画出旋转后的． (3)在中，（    ）与（    ）成中心对称，对称中心的坐标是（    ） 【经典例题二 中心对称图形的识别】 【例2】（2025·上海松江·模拟预测）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．B． C． D． 1．（25-26七年级上·上海杨浦·期中）下列关于与的几何变换中，配对正确的是（ ） Ⅰ．轴对称；Ⅱ．中心对称；Ⅲ．旋转；Ⅳ．平移． A．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅳ B．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅲ C．①-Ⅱ，②-Ⅰ，③-Ⅲ，④-Ⅳ D．①-Ⅰ，②-Ⅱ，③-Ⅲ，④-Ⅲ 2．（24-25七年级上·上海黄浦·期末）在正方形、等腰梯形、线段、等边三角形、平行四边形、圆这六种图形中，是旋转对称图形但不是中心对称图形的个数是 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）观察下列图形，将符合题目要求的图形序号填入下面横线中． （1）轴对称图形有 （填序号）； （2）中心对称图形有 （填序号）； （3）是中心对称图形但不是轴对称图形的有 （填序号）； （4）既是中心对称图形又是轴对称图形的有 （填序号）． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）我们知道，在平面内，如果一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，旋转的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如，正方形绕着它的对角线的交点旋转后能与自身重合所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为． (1)判断下列说法是否正确（在相应横线里填上“对”或“错”）： ①正五边形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ ②长方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为．__________ (2)写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，都有一个旋转角为，其中一个是轴对称图形，但不是中心对称图形；另一个既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【经典例题三 判断中心对称图形的对称中心】 【例3】（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图，已知与成中心对称，则对称中心可能是（    ） A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 1．（2025·上海嘉定·模拟预测）如图，两个年春晚吉祥物“龙辰辰”的图案成中心对称，则对称中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的小正方形放在图②中A，B，C，D的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是 ． 3．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）如图，将绕点旋转得到，设点A的坐标为，则点的坐标为 ．    4．（24-25七年级上·上海闵行·期末）如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，解答下列问题： (1)画出向右平移4个单位长度，向下平移6个单位长度得到的， (2)画出绕点顺时针旋转得到的（点，的对应点分别为点，），与成______（填“轴对称”或“中心对称”），若是轴对称，请在图中画出对称轴，若是中心对称，请在图中找出对称中心并标注字母． 【经典例题四 画已知图形关于某点对称的图形】 【例4】（2025·上海松江·模拟预测）三个全等的等边三角形按图1所示位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形（如图2），则添加的等边三角形所放置的位置是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 1．（24-25七年级上·上海金山·期中）如图，方格纸上的两条对称轴相交于中心点O，对分别作下列变换，其中，能将与重合，即点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合的是：（    ） ①先以点A为旋转中心顺时针旋转，再向右平移4格、向上平移4格； ②先以点O为对称中心画出与成中心对称的图形，再以点A的对应点为旋转中心逆时针旋转； ③先以直线为对称轴画出与成轴对称的图形，然后向上平移4格，再以点A的对应点为旋转中心顺时针旋转． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 3．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是 ． 4．（25-26七年级上·上海普陀·月考）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)画出关于原点成中心对称的； (2)画出将绕点顺时针旋转后的（点、、的对应点分别为点、、）． 【经典例题五 画两个图形的对称中心】 【例5】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，点A，B分别是两个半圆的圆心，则该图案的对称中心是（　　） A．点A B．点B C．线段AB的中点 D．无法确定 1．（24-25七年级上·上海奉贤·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若与关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为，，，则对称中心E点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）关于某一点成中心对称的两个图形，连结所有对称点的线段经过 ． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，在平面直角坐标系中（坐标系中每个小正方形单位长度为1），画关于点成中心对称的图形时，小明由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心的坐标是 ． 4．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，在方格图中． (1)作出将图中的向上平移6格后的； (2)以直线m为对称轴，作出的对称图形； (3)和关于点O成中心对称，在图中画出对称中心 【经典例题六 据中心对称的性质求面积、长度、角度】 【例6】（25-26七年级上·上海松江·期中）已知和关于点O成中心对称，下列说法不正确的是（    ） A． B． C．点的对应点是点 D． 1．（24-25七年级上·上海崇明·期中）在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点称为极点：从点出发引一条射线称为极轴；线段的长度称为极径．点的极坐标就可以用线段的长度以及从转动到的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，如或或，则点关于点成中心对称的点的极坐标表示不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）如图为某公园中心对称的观赏鱼池，阴影部分为观赏喂鱼台，已知米．则阴影部分的面积为 平方米． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，正方形①和②关于点对称，正方形②和③关于点对称，若正方形①经过一次旋转后和正方形③重合，则旋转角至少为 °． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【经典例题七 在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形】 【例7】（24-25七年级上·上海长宁·阶段练习）如图，以下选项中能与阴影部分组成中心对称图形的是（   ） A．① B．② C．⑧ D．④ 1．（24-25七年级上·上海徐汇·阶段练习）如图，在的方格纸中，画格点三角形（顶点均在格点上）与关于方格纸中的一个格点成中心对称，这样的三角形有（   ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有 个． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′． 作法： ①连接AO并延长到A′，使OA′＝ ，得到点A的对应点 ； ②同理，可作出点B，C，D的对应点 ，C′，D′； ③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形 即为所作． 4．（25-26七年级上·上海崇明·月考）如图是一个的方格纸，其中小正方形的顶点叫做“格点”，点A、B、C、O都在格点上． (1)在图1中，画出关于点O中心对称的； (2)在图2中，将绕点O顺时针旋转，画出旋转后得到的． 【拓展训练一 利用中心对称图形的性质求解】 1．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）（1）解方程：； （2）如图，与关于C点成中心对称，若，，，求的长． 2．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，已知和． (1)若和关于点O成中心对称，请通过画图找出它们的对称中心O； (2)在（1）的条件下，若，，，求的周长． 3．（25-26七年级上·上海徐汇·开学考试）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【拓展训练二 中心对称图形的画法】 1．（25-26七年级上·上海金山·月考）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中作面积为4的四边形，所作四边形是轴对称图形，非中心对称图形，点、在格点上； (2)在图②中作面积为5的四边形，所作四边形是中心对称图形，非轴对称图形，点、在格点上． 2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）按要求完成作图： (1)如图1，点A与点关于直线l对称，用直尺和圆规作出直线l； (2)如图2，给定的两个三角形关于直线m对称，只用直尺作出直线m； (3)如图3，给定的两个三角形成中心对称，只用直尺作出点P的对应点． 3．（25-26七年级上·上海长宁·期中）图1和图2都是由边长为1的小正方形构成的网格，且均有两个小正方形涂上了颜色． (1)请你在图1中选择1个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． (2)请你在图2中选择3个小正方形涂上颜色，使图中的涂色部分为中心对称图形． 【拓展训练三 中心对称图形规律问题】 1．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图分别是五角星、六角星、七角星、八角星的图形； （1）请问其中是中心对称图形的是哪些？ （2）依次类推，36角星是不是中心对称图形？ （3）怎样判断一个n角星是否是中心对称图形？ 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）在学习了正方形以后，老师出了这样的一道题目，请你把正方形的面积分为四等分：聪明的小刚立刻就给出了如下的四种方案，并画出了分割线．你还会有其它的方法吗？ (1)请你分别在图1、图2、图3给出的正方形中画出三种不同的方案，要求画出分割线并作出简单的说明（可以自己标注字母）．方案说明：_______． (2)通过同学们的展示，小刚又发现了规律，他说如果只画两条分割线的话，这两条分别线必须满足两个条件，你知道小刚说的两个条件吗？请你写出来：_______． 3．（24-25七年级上·上海宝山·月考）探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 1．（25-26七年级上·上海闵行·期中）下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）在平面直角坐标系中，与关于点中心对称．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，若线段与线段关于某个点对称，则这个点是（     ）．    A．点G B．点H C．点I D．点J 5．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，两个半圆分别以O，为圆心，它们关于某点成中心对称，点A，B，，在同一直线上，则对称中心为（    ）    A．点O B．点B C．线段的中点 D．线段的中点 6．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，线段是由线段a经过平移得到的，线段还可以看作是线段a经过怎样的图形变换得到？下列结论：1次中心对称；1次轴对称；2次轴对称．其中所有正确结论的序号是 ． 7．（24-25七年级上·上海普陀·期末）在学习了中心对称后，小胖绘制了一个三个顶点全在格点上的三角形（，其形状如图所示，每个小方格的边长为1）并作出其关于中心对称后的，则此时的坐标为 ． 8．（2025七年级上·上海·专题练习）如图，正六边形是由边长为厘米的六个等边三角形拼成，那么图中    （1）三角形沿着 方向平移 厘米能与三角形重合； （2）三角形绕着点 顺时针旋转 度后能与三角形重合； （3）三角形沿着所在直线翻折后能与 重合； （4）写一对中心对称的三角形： ． 9．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在平面直角坐标系中，是边长为1的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，继续作与关于点成中心对称，…．按此规律作下去，则的顶点的坐标是 ． 10．（25-26七年级上·上海嘉定·课后作业）如图，在4×4的网格纸中，的三个顶点都在格点上，现要在这张网格纸的四个格点，，，中找一点作为旋转中心．将绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有 ． 11．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点A′、B′、C′对应； (2)画出三角形A′B′C′绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形，记作三角形，其中点A′、B′、C′分别与点A″、B″、C″对应； (3)将三角形绕点O按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点O按逆时针方向旋转，且）小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确；如果认为不正确，请说明理由． 12．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，四边形是某设计师在方格纸上设计图案的一部分，请帮助该设计师按下面的要求完成余下的设计． (1)以点为对称中心，画出与四边形成中心对称的图形； (2)将你画出的图形连同原图形绕点顺时针旋转． 13．（24-25七年级上·上海虹口·期中）（1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 14．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，，线段均在由小正方形组成的方格纸中（点A，B，C，，均在方格纸的格点上）．按要求完成下列各小题． (1)若与关于点O成中心对称（点A，B的对称点分别为点，），在图中画出点O，并补全； (2)在（1）的基础上，在图中画出绕点O逆时针旋转90°的． 15．（24-25七年级上·上海宝山·期中）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成面积相等的两个部分．如图，直线经过对角线的交点，则    (1)如图，两个正方形如图所示摆放，为小正方形对角线的交点，请利用直尺求作过点的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (2)个大小相同的正方形如图所示摆放，利用直尺求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用两种不同的方法分割）． 学科网（北京）股份有限公司 $