精品解析：贵州省六盘水市钟山区2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

2025-2026学年度第一学期期中摸底测试试题卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 从古至今，中国人一直追求着造物里的对称美，在中国文化国粹中，我们能看到对称元素的摄入．请从下列古典文化图案中选出轴对称图形（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，正确理解定义是解题的关键 【详解】解：A选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题； B选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题； C选项：该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能完全重合，该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题； D选项：如下图所示，把该图形沿图中虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 花江峡谷大桥是世界第一高桥，位于贵州省安顺市关岭县与黔西南州贞丰县交界处，主体工程投资约亿元．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，先将亿转换为，再根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：∵亿， ∴亿， ∴亿用科学记数法表示为， 故选：． 4. 如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含一个未知数，且未知数最高次数为2的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：选项A：，只含未知数，最高次数为，且为整式方程，是一元二次方程； 选项B：，含两个未知数，不是一元二次方程； 选项C：，含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程； 选项D：，未知数最高次数为，不是一元二次方程． 故选：A． 6. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查从不同方向看几何体，从左面看，有2列，第1列有1个小正方形，第2列有2个小正方形，进行判断即可． 【详解】解：从左面看到的形状图为： 故选：D． 7. 老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 8. 数学课堂小测后，两位同学的对话如下，萱萱说：“我们组成绩的平均分是92”．小杰说：“我们组95分的同学最多”．上面两位同学的对话分别反映的统计量是（ ） A. 平均数和中位数 B. 中位数和众数 C. 平均数和众数 D. 方差和众数 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平均数和众数，萱萱的话涉及“平均分”，即平均数；小杰的话涉及“95分的同学最多”，即众数． 【详解】解：∵ 萱萱说“平均分是92”表示平均数；小杰说“95分的同学最多”表示众数． ∴ 两位同学的对话分别反映的统计量是平均数和众数． 故选C． 9. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、利用平行线的性质和折叠的性质推出是解题关键．根据矩形的性质得，，由平行线的性质得，由折叠的性质得，于是，则，证明即可． 【详解】解：四边形为矩形， ，， ， 由折叠可知，， ，而，平分， ，， ，， 故选：A 10. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，等腰三角形的判定和性质，根据作图得到，平行线的性质，结合等角对等边，推出，再根据线段的和差关系即可得出结果． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 11. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，矩形的判定，熟练掌握平行四边形和矩形的判定是解题的关键．利用①判定平行四边形，再利用②判定矩形，即可得判断依据． 【详解】解：由①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等， 即，， 则可判断四边形是平行四边形； 由②测量地板砖的两条对角线是否相等， 即， 则利用“对角线相等的平行四边形是矩形”可判断四边形是矩形； 故选：A． 12. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，观察式子规律通过引入中间变量进行简化计算是解题的关键．设 ，将原式进行变形，然后简化计算，即可得解． 【详解】解：设 ，则原式可表示为： ， ， 故选： D． 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 14. 国际数学节，又称“日”，定于每年3月14日，其由来与圆周率的发现及数学在人类文明中的重要地位密切相关．某校在2025年国际数学节策划了“玩转幻方”“数学艺术欢乐坊”“策略游戏”“数学科普”四个挑战活动，萱萱随机选择一个活动参加，那么她恰好选中“策略游戏”的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求概率，总共有4个活动，每个活动被选中的可能性相同，根据概率公式，直接计算选中策略游戏的概率即可． 【详解】解：萱萱随机选择一个活动，总共有4种等可能的结果，其中恰好选中策略游戏只有1种结果，因此概率为． 故答案为：． 15. 萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设原一元二次方程为，由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ；由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即，则原方程为，即，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原一元二次方程为， 由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ； 由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即， 因此原方程为， 所以， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作，，连接，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，进而得到当点在线段上时，的值最小为的长，作于点，作交的延长线于点，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：作，，连接，则：四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴当点在线段上时，的值最小为的长， 作于点，作交的延长线于点， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，进行等线段转化，是解题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（）；（）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，因式分解法解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （）分别计算算术平方根，零指数幂，负整数指数幂，最后进行加减运算即可； （）用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（） ； （）， ， ， ， ， ∴． 18. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 （1）请补全条形统计图． （2）填空：______，______，_______． （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 【答案】（1） 补全条形图如图： （2）92，95，90 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图，求中位数，众数和平均数，列表法求概率，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据收集的数据，补全条形图即可； （2）根据平均数，中位数和众数的计算方法进行求解即可； （3）用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由收集的数据可知，85分的学生有2个，95分的学生有4个 【小问2详解】 ； 九（1）班的数据排序后，第5个和第6个数据均为95，故； 九（3）班的数据中出现次数最多的是90，故； 【小问3详解】 用表示九（1）班的两个100分的学生，用表示九（3）班的两个100分的学生，列表如下： 共12种等可能的结果，其中所抽取的2名学生恰好在同一个班的结果有4种， 故． 19. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案． （1）猜想：______度． （2）请证明你的猜想． 【答案】（1） （2） 证明：∵四边形和四边形是全等的矩形， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，1 ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定. 解题的关键是根据已知条件证出是等腰直角三角形． 根据矩形的性质得出，，，根据可证出，由全等的性质可得出∠，，进而证出是等腰直角三角形，即可得出答案． 【小问1详解】 猜想：． 故答案为． 【小问2详解】 略 20. 《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为 （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 【答案】（1） （2） 小杰的想法不能实现， 理由：两个正方形配件面积之和等于， 可得：， 整理得： ， ∵ ∴方程无实数解， 两个正方形配件面积之和不能等于， 小杰的想法不能实现． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． 用铁丝的总长度减去即可得到另一个正方形配件的周长； 根据两个正方形配件面积之和等于，可列方程，一元二次方程的解不符合实际情况，所以小杰的想法不能实现． 【小问1详解】 解：铁丝的总长度为，正方形配件的周长为， 另一个正方形配件的周长为； 故答案为：； 【小问2详解】 略 21. 如图，一次函数和的图象交于点． （1）求出______；______． （2）求方程组的解． （3）请直接写出的解集． 【答案】（1），3 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； 【小问2详解】 ∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； 【小问3详解】 由图象可知：的解集为． 22. 新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 （1）下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ① ② ③ （2）假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 【答案】（1）①③ （2）①；②，和 【解析】 【分析】该题考查了智谋数对”的定义，因式分解的应用等知识点． （1）根据“智谋数对”的定义分别判断即可． （2）①根据题意可得，左边先因式分解，再化简即可；②当时，则，同①化简整理得，再根据题意代值即可解答． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； ②∵，， ∴， ∴关于3不构成“智谋数对”； ③∵，， ∴， ∴关于3构成“智谋数对”； 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：①根据题意可得， 则， ∴， ∴； ②当时，则，即， 整理得， 则， ∵a和b是两个不相等的正整数，， 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 取，则，满足条件，“智谋数对”是； 综上，满足条件的两个“智谋数对”可以是和． 23. 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． （2）在图1中，试判断与的关系，并说明理由． （3）如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】（1）平行四边形 （2）， 理由如下： 如图，作于点，交于点，设交分别于点， 由（1）可知：四边形是平行四边形，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 取的中点，连接，则， ∴， ∴重合， ∴， ∴， 同理：， ∴，即：； （3）四边形是菱形， 理由如下： 如图2，连接， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点E，F，G分别为边的中点， ∴， 由（1）得：四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）连接，根据三角形中位线定理可得，据此可得，即可得证； （2）作于点，交于点，设交分别于点，推出四边形为平行四边形，取的中点，连接，证明重合，得到，根据三角形和平行四边形的面积公式得到，同理得到，即可得出结论； （3）连接，证得，由知，结合四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 证明：如图1，连接， ∵点E、H分别为边的中点， ∴， ∵点F、G、分别为的中点， ∴， ∴， ∴中点四边形是平行四边形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，与三角形的中位线有关的证明等知识，学会添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24. 绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 【答案】（1），或；（2）当时，的值最小，最小值为5；（3）12 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的几何意义以及化简绝对值： （1）直接利用距离公式列方程求解； （2）利用数轴上两点距离和的最小值原理，当点位于两点之间时和最小； （3）通过绝对值的几何意义得出当时，最小，当时，最小，再分别求解之后比较即可． 【详解】解：（1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为， ∴或， ∴或， 故答案为：，或；． （2）表示点到的距离，表示点到的距离． ∴表示点到和的距离之和． 当点在和之间时，距离之和最小，最小值为到的距离，即． ∴当时，的值最小，最小值为． （3）， 当时，取最小值， 当时，取最小值， 所以，当时，取最小值为． 25. 某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】 （1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】 （2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】 （3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形和旋转的性质，得到，利用等边三角形的判定即可得出结论； （2）连接，根据菱形的性质证明，得到，，根据旋转的性质得到，则有，再结合（1）中的结论，利用角的和差即可求出的度数； （3）作于点，于点，连接，利用菱形的性质证明是等边三角形，进而得到，，通过证明，推出，设等边的边长为，表示出，分析可知当取得最小值时，即最小时，面积有最大值，据此即可解答． 【详解】解：（1）∵菱形， ∴， ∵绕点A逆时针旋转到达的位置， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 故答案为：等边三角形； （2）如图，连接， ∵菱形， ∴，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 由旋转的性质得，， ∴， ∴， 由（1）得，是等边三角形， ∴， 设， ∴， ， ∴， ∴； （3）作于点，于点，连接，如图， ∵菱形， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 由（2）得，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 即， 设等边的边长为， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴， ∴， ∴所覆盖区域面积的最大值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、等边三角形的性质与判定、勾股定理、全等三角形的性质与判定、二次根式的应用、三角形面积公式，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期中摸底测试试题卷 九年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（每题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 从古至今，中国人一直追求着造物里的对称美，在中国文化国粹中，我们能看到对称元素的摄入．请从下列古典文化图案中选出轴对称图形（ ） A. B. C. D. 3. 花江峡谷大桥是世界第一高桥，位于贵州省安顺市关岭县与黔西南州贞丰县交界处，主体工程投资约亿元．将数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，从左面看到的形状图是（ ） A. B. C. D. 7. 老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（ ） A. 只有甲 B. 甲和乙 C. 甲和丙 D. 丙和丁 8. 数学课堂小测后，两位同学的对话如下，萱萱说：“我们组成绩的平均分是92”．小杰说：“我们组95分的同学最多”．上面两位同学的对话分别反映的统计量是（ ） A. 平均数和中位数 B. 中位数和众数 C. 平均数和众数 D. 方差和众数 9. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是（ ） A. B. C. D. 3 10. 如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点E，F；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G，则的长是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 11. 周末，小刚去正在装修的房屋查看进度，放在地上的一块地板砖吸引了他的注意，于是他找来卷尺进行如下操作：①测量地板砖的两组对边长度是否分别相等；②测量地板砖的两条对角线是否相等，以此判断地板砖的表面是否为矩形．小刚的判断依据是（ ） A. 对角线相等的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 12. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共16分） 13. 计算：______． 14. 国际数学节，又称“日”，定于每年3月14日，其由来与圆周率的发现及数学在人类文明中的重要地位密切相关．某校在2025年国际数学节策划了“玩转幻方”“数学艺术欢乐坊”“策略游戏”“数学科普”四个挑战活动，萱萱随机选择一个活动参加，那么她恰好选中“策略游戏”的概率为______． 15. 萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是______． 16. 如图，正方形的边长为5，点E，F在对角线上（点E在点F的左侧），且．则的最小值为______． 三、解答题（本大题共9题，共计98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （1）计算：； （2）解方程：． 18. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛．该校从九（1）班和九（3）班中，各随机抽取了10名学生成绩进行整理，绘制了如下不完整的条形统计图及分析表． 【收集数据】 九（1）班10名学生成绩：90，95，85，100，80，95，100，85，95，95． 九（3）班10名学生成绩：90，80，100，85，80，90，95，90，85，100． 【描述数据】 九（1）班和九（3）班10名学生成绩分析表 统计量班级 平均数 中位数 众数 九（1）班 a b 95 九（3）班 89.5 90 c 【分析数据】 （1）请补全条形统计图． （2）填空：______，______，_______． （3）从上面4名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班的概率． 19. 如图，把两个全等的矩形和矩形拼成如图所示的图案． （1）猜想：______度． （2）请证明你的猜想． 20. 《义务教育课程方案和课程标准（年版）》优化了课程内容结构，设立跨学科主题学习活动，以强化实践性要求．在一堂数学、美术的融合课中，每个同学桌上都有一段长的铁丝，需要将铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个配件． （1）小杰想做两个正方形配件，若设其中一个正方形配件的周长为，则另一个正方形配件的周长为 （请用含的代数式表示）； （2）在（1）的基础上，若小杰想让做成的两个正方形配件满足面积之和等于，请问小杰的想法能否实现？为什么？ 21. 如图，一次函数和的图象交于点． （1）求出______；______． （2）求方程组的解． （3）请直接写出的解集． 22. 新定义：若两个不相等的正整数a和b（）满足它们的平方差等于这两个数和的平方除以k（k为非零常数），则称数对关于k构成一个“智谋数对”，记作，用式子表示为：． 例如：数对关于3构成一个“智谋数对” ∵， ∴ ∴成立 （1）下列数对是关于3构成“智谋数对”的是______． ① ② ③ （2）假设a和b（）是关于k的“智谋数对” ①用含a，b的代数式表示k； ②当时，求出智谋数对中a与b的数量关系，并写出满足条件的两个智谋数对． 23. 定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）如图1，在任意四边形中，点E，F，G，H分别为边，，，的中点，则中点四边形的形状是______． （2）在图1中，试判断与的关系，并说明理由． （3）如图2，点P是四边形内一点，且满足，，，点E，F，G，H分别为边，，，的中点．猜想中点四边形的形状，并证明你的猜想． 24. 绝对值的几何意义；在数轴上，表示数a的点到原点的距离可表示为，即．类似地，表示数a的点到表示数3的点的距离可表示为． 【类比探究】 （1）表示数x的点到表示数的点的距离为7．可记为______，那么______． 【解决问题】 （2）当x满足什么条件时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【拓展迁移】 （3）直接写出的最小值． 25. 某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】 （1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】 （2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】 （3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $