精品解析：广东省惠州市正弘实验学校2025-2026学年高二上学期期中检测数学试题

惠州市正弘实验学校2025-2026学年第一学期 高二期中检测 数 学 一．单选题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知点，点，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角（ ） A. 0 B. C. D. 3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 5. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 8. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二. 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）. 9. 已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. 椭圆的短轴长为4 D. 的面积的最大值是4 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B. 直线过定点 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 三. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为_______________ 13. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E为AD的中点，则______. 14. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 四. 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 求适合下列条件的曲线方程 （1）已知点，，求以线段为直径的圆的一般方程； （2）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求椭圆的标准方程． 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 17. 如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，. （1）求的长度； （2）求证：平面. 18. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）设线段AB的端点B在圆C上运动， （i）求线段AB的中点M的轨迹方程； （ii）已知点，直线l与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当的面积取得最大值时，求直线l的斜率. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州市正弘实验学校2025-2026学年第一学期 高二期中检测 数 学 一．单选题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）. 1. 已知点，点，则线段中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由中点坐标公式直接求解即可. 【详解】，，根据中点坐标公式可得：线段中点坐标为. 故选：B. 2. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用方向向量求出直线斜率即可求出倾斜角. 【详解】由题意，因为直线l的一个方向向量为，所以l的斜率， 又,所以，因为,所以． 故选：B． 3. 已知椭圆的一个焦点为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点坐标可直接构造方程组求得结果. 【详解】由题意知：，解得：. 故选：D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. 0 B. 或0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件列方程求得的值，然后检验，排除两直线重合的情况. 【详解】由题意得,即,解得或. 当时，两直线方程都为，两直线重合，不合题意，舍去； 当时，两直线方程分别为和，此时两直线平行，符合题意. 故选：C. 5. 已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量.若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得，再根据空间向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量. 又因为，所以， 则，解得. 故选：A. 6. 已知向量，，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 7. 在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出将军出发点关于河岸所在直线的对称点，再连接交河岸所在直线于点，则由对称性可知为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图， 设关于河岸线所在直线的对称点为， 根据题意，设军营所在区域为以圆心为，半径的圆上和圆内所有点，为最短距离，先求出的坐标， 的中点为，，直线的斜率为1， 则，解得，，，又， 所以， 故选：C． 8. 若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为1的点有且仅有2个， 所以，则，解得， 即r的取值范围是. 故选：B. 二. 多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分）. 9. 已知M是椭圆上一点，，是其左右焦点，则下列选项中正确的是（ ） A. 椭圆的焦距为2 B. 椭圆的离心率 C. 椭圆的短轴长为4 D. 的面积的最大值是4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得，即可判断A，B，C；当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，面积最大，求出面积的最大值即可判断. 【详解】解：因椭圆方程为， 所以， 所以椭圆的焦距为，离心率，短轴长为， 故A错误，B,C正确； 对于D，当M为椭圆短轴的一个顶点时，以为底时的高最大，为2, 此时的面积取最大为,故正确. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B. 直线过定点 C. 过点且斜率为的直线的点斜式方程为 D. 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线方程的斜截式、点斜式，以及直线过定点问题进行逐个选项判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以直线的斜率，截距. 故点在第二象限，所以A中说法错误. 由整理得. 所以无论取何值，都满足方程.所以B中说法正确. 由点斜式方程可知， 过点且斜率为的直线的方程为. 所以C中说法正确. 由斜截式方程可知， 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为. 所以D中说法错误. 故选：BC 11. 如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ） A. ，，，四点共面 B. 与所成角的大小为 C. 在线段上存在点，使得平面 D. 在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明平面，即可判断D选项. 【详解】在棱长为的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，即， 则，解得，即共面， 又为公共始点，因此,,,四点共面，A正确； ，则，， 因此与所成角的余弦值为，与所成角的大小为，B正确； 对于C，假设在线段上存在，可设 ，， 则， 由，得，由，得， 即与垂直和与垂直不能同时成立，因此与平面不垂直，C错误； ，则，，又，则， 又平面，平面，因此平面， 点到平面的距离即为点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，则三棱锥的体积为定值，D正确. 故选：ABD 三. 填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）. 12. 直线l经过原点，且经过两条直线的交点，则直线l的方程为_______________ 【答案】 【解析】 【分析】思路一：求出交点坐标得直线斜率即可求解；思路二：设所求直线l的方程为，将原点坐标代入求得的值即可. 【详解】方法1：联立，解得，所以两直线的交点为， 所以直线l的斜率为，则直线l的方程为； 方法2：设所求直线l的方程为， 因为直线l经过原点，所以，解得； 所以直线l的方程为. 故答案为：. 13. 在棱长为1的正四面体ABCD中，E为AD的中点，则______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】将转化成，再结合正四面体性质和数量积的定义计算即可. 【详解】， . 故答案为：. 14. 正方形的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先画出图象，确定点的坐标，根据已知条件列出不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】如图，根据椭圆的对称性知点在直线上，可得， 因为焦点在正方形的内部，所以， 即， 即，可得， 又，所以， 所以， 又，解得． 故答案为：. 四. 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）. 15. 求适合下列条件的曲线方程 （1）已知点，，求以线段为直径的圆的一般方程； （2）已知椭圆的两个焦点坐标分别是，并且经过点，求椭圆的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意计算出圆心与半径，根据圆的标准方程可得答案； （2）利用椭圆的定义可计算出的值，由焦点坐标可计算出的值，进而可求出，根据椭圆的标准方程可得答案. 【小问1详解】 因为点，，所以圆心为， 半径， 所以圆的标准方程为， 所以圆的一般方程为. 【小问2详解】 由于椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义知， ，所以， 所以 所以所求椭圆的标准方程为. 16. 已知空间中三点，，，设，. （1）求与的值； （2）已知向量与互相垂直，求k的值. 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】（1）由向量夹角公式即可求解； （2）由向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 因为，，， 所以，， 所以，， . 【小问2详解】 ， 因为向量与互相垂直， 所以， 解得．所以的值是5. 17. 如图，平行六面体的底面是边长为的菱形，. （1）求的长度； （2）求证：平面. 【答案】（1）； （2）证明如下： 因为， 所以， 所以， 因为，计算： ， 所以， 又因为，、平面． 所以平面. 【解析】 【分析】（1）利用基底表示向量，再根据数量积公式，即可求解； （2）根据线面垂直的判定定理转化为证明线线垂直，再根据向量数量积公式，即可证明. 【小问1详解】 设，，， 由于四边形为菱形，则，即， 所以，同理可得， 由题意可得， 所以； 【小问2详解】 略 18. 已知圆，直线l过点. （1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程； （2）设线段AB的端点B在圆C上运动， （i）求线段AB的中点M的轨迹方程； （ii）已知点，直线l与M的轨迹图形相交于P、Q两点，当的面积取得最大值时，求直线l的斜率. 【答案】（1）或. （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论，利用点到直线的距离公式列方程求出斜率，然后可得切线的方程； （2）（i）设点，可得，利用点B在圆C上运动，可求点M的轨迹方程. （ii）由题意N到直线l的距离，利用，结合基本不等式可求得最大值，根据取等条件构造方程求得. 【小问1详解】 已知圆C的圆心是，半径是2， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 即， 则圆心O到直线l的距离为=2，解得， 故直线l的方程为. 综上，直线l的方程为或. 【小问2详解】 （i）设点，则由点M是线段AB的中点得， 所以①， 因为点B在圆C上运动，所以②，将①代入②得， 化简得点M的轨迹方程是. （ii）由（i）知为圆M的圆心，所以N到直线l的距离， 的面积， 当且仅当时等号成立， 此时，两边同时平方得， 解得. 19. 如图1，在平行四边形中，，E为的中点．将沿折起，连接与，如图2． （1）当为何值时，平面平面? （2）设，当时，是否存在实数，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． （3）当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】（1） （2）存在， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，然后计算，最后再证明面面垂直即可； （2）通过参数来表示空间向量的坐标，再利用空间向量法来求线面角，即可得到参数方程求值； （3）先利用几何法找到体积最大值，再利用等体积法来求内切球半径即可. 【小问1详解】 连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 若平面平面， 由平面平面，平面，， 则平面，平面，则， 所以. 下面证明当时，平面平面. 证明：由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， 故当时，平面平面； 【小问2详解】 由（1）知，，则平面平面. 在平面内过作， 由平面平面，平面， 则平面，平面，则. 如图，以点为坐标原点，以所在直线分别为轴， 过垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 由， ， 因为轴垂直平面，故可取平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，或-4（舍）故当时，存在， 使直线与平面所成角的正弦值为； 【小问3详解】 设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大值， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $