1.2.1命题与量词课件-2025-2026学年高一上学期人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦命题的定义、分类及全称量词、存在量词，通过“2是素数”“今天是晴天吗？”等问题导入，引导学生从语句真假判断和范围词汇识别入手，构建“陈述句→命题→量词”的认知脉络，为后续学习提供清晰的学习支架。 其亮点在于以问题驱动激发数学眼光，通过“尝试与发现”让学生自主总结命题真假判断方法，培养数学思维中的推理意识。采用符号语言（如∀x∈N，x∈Z）强化数学表达，结合分层练习和课堂小结，帮助学生提升逻辑推理与符号表达能力，教师可借助完整教学流程和多样化练习高效开展教学。

第1章 集合与常用逻辑用语 1.2.1 命题与量词 《人教B版2019高中数学必修第一册》 学习目标 1.理解命题的定义,能准确判断语句是否为命题及命题的真假 2.掌握全称量词(∀)与存在量词(∃)的含义,熟记其对应符号 3.识别全称命题与存在性命题,会用符号表示并判断其真假 4.用数学符号描述命题(将量词与命题建立练习) 2 导入新课 (1)2 是素数 (2)今天是晴天吗? (3)x+1=2 (4)对所有实数 x,x ≥0 这些语句中,哪些能确定真假? 哪些语句含有表示 “范围” 的词汇? 能判断真假的陈述句就 是我们今天要学的命题 而表示范围的词汇对应 着量词,量词为命题的符号表示服务 (1)为真 (2)疑问句不具备判断真假的属性,同时”今天的具体 时间、晴天的具体气象标准”存在指代模糊性 (3)x的值不定,不能确定真假 (4)为真 只有(4)中含有表示范围的词汇“所有” 3 新知 1——命题的定义与分类 命题:可以判断真假的陈述句叫做命题 真命题:判断为真的命题 假命题:判断为假的命题 实例辨析 语句 是否为 命题 真假性 理由 若 a∥b,b∥c,则 a∥c 3>5 请打开课本 x =1 是 真 平行线传递性 是 假 明显数值大小关系 否 - 不是陈述句 否 - 无法确定 x 取值,不能判断真假 4 为了方便叙述,命题可以用小写英文字母表示,如若记 p:A⊆(A∪B), 则可知 p 是一个真命题. 把命题用数学符号表示,核心是为了让命题更简洁、严谨,同时方便逻辑推理和运算 新知 1——命题的定义与分类 5 新知2 —— 全称量词与全称命题 (1)全称量词 一般地,“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体,称为全称量词,用符号“∀”(all中a的倒写)表示 . (2)全称命题 含有全称量词的命题称为全称量词命题.因此,全称量词命题就是形如:“对集合 M 中所有元素 x,r(x)”的命题,可简记为: 用符号语言表示命题: 任意自然数都是整数 ∀x∈N,x∈Z ∀x∈M,r(x) 例如 “任意给定实数 x,x2≥0 ”是一个全称量词命题,可简记为 ∀x∈R,x2≥0 6 新知 3——存在量词与存在性命题 (1)存在量词 “存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词,用符号“∃”(exist中e的翻写)表示. (2)存在命题 含有存在量词的命题,称为存在量词命题,因此,存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为 用符号语言表示命题:存在整数x,使x3<1 ∃x∈Z,x3<1 ∃x∈M,s(x) 例如“存在有理数 x,使得 3x-2=0”是一个存在量词命题,可简记为 ∃x∈Q, 3x-2=0. 7 尝试与发现 如果记 p(x):x2-1=0,q(x):5x-1是整数,则通过指定x所在的集合和添加量词,就可以构成命题,例如: (1)上述4个命题p1 ,q1 ,p2 ,q2中,真命题是 ; q1 ,p2 ,q2 (2)你能总结出判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法吗? p1 : x∈Z,p(x); q1 : x∈Z,q(x); p2 : ヨx∈Z,p(x); q2 : ヨx∈Z,q(x). 8 尝试与发现 全称量词命题(∀x∈M,r(x))真假判断: 事实上,要判定全称量词命题x∈M,r(x)是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x,验证r(x)成立; 但要判定其是假命题,却只需举出集合M中的一个元素x0,使得r(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”) 例如 “∀x∈R,x2≥0”,所有实数的平方都≥0,命题为真; “∀x∈R,x>0”,存在x=−1不满足,命题为假。 9 尝试与发现 存在量词命题(ヨx∈M,s(x))真假判断: 要判定存在量词命题ヨx∈M,s(x)是真命题,只要在限定集合M中找到一个元素x0,使得s(x0)成立即可(这就是通常所说的“举例说明”); 但要判定其是假命题,却需要说明集合M中每一个,都使得s(x)不成立. 例如 “ヨx∈R,x2 = 1”,存在x = 1或x = -1满足,命题为真; “ヨx∈R,x2 = -1”,没有实数满足,命题为假 10 学以致用 小组讨论 任务:结合数学知识点(函数 / 几何),各小组举 1 个全称命 题和 1 个存在性命题,派代表分享并判断真假。 示例参考: 全称命题(函数):∀x∈R,y=2x+1 是一次函数(真) 存在性命题(几何):∃三角形,是直角三角形(真) 11 巩固练习 —— 基础题 判断语句“∀x∈R,x +1>0” 是全称命题还是存在性命题?并判断真假 用量词符号表示“每一个等腰三角形的两个底角相等” 全称命题,真命题(x ≥0,故 x +1≥1>0) 2.∀x∈{等腰三角形},x 的两个底角相等 12 巩固练习 —— 命题判断 判断下列语句是否为命题,若是请判断真假 (1) 空集是任何集合的子集; (2) 请不要在课堂上喧哗; (3) 若 x 是有理数,则 x 是实数; (4) 3x+2=0。 (3) 是命题,真命题; (1) 是命题,真命题; (2) 不是命题(非陈述句); (4) 不是命题(无法确定真假) 13 巩固练习 —— 量词识别 指出命题类型并用量词符号改写 (1) 每一个偶数都能被 2 整除; (2) 有些实数是无限不循环小数; (3) 所有的矩形都是平行四边形; (4) 存在一个三角形,其内角和不等于 180 。 (4)存在性命题,∃x∈{三角形},x 的内角和≠180 (1)全称命题,∀x∈{偶数},x 能被 2 整除; (2)存在性命题,∃x∈R,x 是无限不循环小数; (3)全称命题,∀x∈{矩形},x 是平行四边形; 14 巩固练习 —— 能力提升 已知命题 p:“∀x∈R,x +ax+1≥0” 是真命题,求实数 a 的取值范围 由 =a -4≤0,得 - 2≤a≤2 [-2,2] 已知命题 q:“∃x∈R,x -2x+m=0” 是真命题,求实数 m 的取值范围 由 =4-4m≥0,得 m≤1 (-∞,1] 15 巩固练习 —— 能力提升 已知命题“∀1≤x≤2,x2-m≥0”为真命题,求实数m的取值范围 解 ∵“∀1≤x≤2,x2-m≥0”成立, ∴x2-m≥0对1≤x≤2恒成立. 又y=x2在1≤x≤2上y随x增大而增大, ∴y=x2-m的最小值为1-m. ∴1-m≥0.解得m≤1. ∴实数m的取值范围是{m|m≤1}. 16 课堂小结 命题:能判断真假的陈述句,分真假命题 量词:全称量词(∀)、存在量词(∃) 含量词命题: 全称命题:∀x∈M,p (x)(一假则假) 存在性命题:∃x∈M,p (x)(一真则真) 17 课堂练习A 1.判断下列命题的真假 (1)2+2是有理数; (2)1+1>2; (3)奇数的平方仍是奇数; (4)两个集合的交集还是一个集合; (5)每一个素数都是奇数; (6)方程2x2+1=0有实数根; (7)sin45 =(8)如果x>2,那么x>3. 2.将下列命题用量词等符号表示,并判断命题的真假 (1)所有实数的平方都是正数; (2)任何一个实数除以1,仍等于这个实数 假 假 真 真 假 假 真 假 x∈R,x2>0 x∈R,x/1=x 假 真 18 3.判断下列命题的真假: (1)x∈R,x2-3x-2=0; (2)x∈R,x2+1=0; (3)ヨx∈Q,|x|+x≥0; (4)x∈R,4x2>2x-1+3x2; (5)x∈(-7,3),x∈[-7,3); (6)ヨx∈(一∞,2],x2=1. 真 假 假 假 真 真 课堂练习A 19 课堂练习B 1.判断下列命题的真假: (1)存在两个无理数,它们的乘积是有理数; (2)如果实数集的非空子集A是有限集,则A中的元素一定有最大值; (3)没有一个无理数不是实数; (4)如果一个四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形; (5)集合A是集合AUB的子集; (6)集合A∩B是集合A的子集, 2.真 1.真 3.真 4.假 5.真 6.真 20 课堂练习B 2.判断下列命题的真假: (1)ヨx∈R,x2+1<0; (2)x∈[0,+∞),=+1; (3)ヨx∈R,x2≤0; (4)x∈R,是有理数; (5)ヨx∈[0,+∞),=+1. 假,因为x2≥0 假,当x=1时,≠2 假,当x= 时,不成立 真,当x=0时成立 真,当x=0时成立 21 课堂练习B 3.判断下列命题的真假 (1)ヨx,y∈Z,3x-2y=10; (2)ヨa,b∈R,(a-b)2=a2-b2; (3)a,b∈R, a3 -b3=(a-b)(a +ab+b ). 真,当x=4,y=1时成立 真,当a=1,b=0时成立 真,立方差公式 (1)∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,又∵原命题为真命题,∴a∈[1,+∞) (2)∵x2=1,即x= 1,又∵原命题为假命题,∴a∈(-∞,-1) 22 课堂练习B (1)∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,又∵原命题为真命题,∴a∈[1,+∞) (2)∵x2=1,即x= 1,又∵原命题为假命题,∴a∈(-∞,-1) 4.分别求满足下列条件的实数a的取值范围 (1)“x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题; (2)“ヨx∈(-∞,a],x2=1”是假命题. 23 $