精品解析：山东省滨州市邹平市2025-2026学年九年级上学期期中训练数学试题

初中学业水平考试适应性训练数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，只收交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中判断错误的是（ ） A. 对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B. 成中心对称两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C. 若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D. 由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 3. 若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（ ） A. 此方程有两个相等的实数根 B. 此方程有两个不相等的实数根 C. 此方程有两个实数根 D. 此方程无实数根 5. 两年前生产甲种药品的成本是元，生产乙种药品的成本是元．随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，生产乙种药品的成本是元．则下列说法正确的是（ ） A. 甲种药品成本的年平均下降率较大 B. 乙种药品成本的年平均下降率较大 C. 两种药品成本的年平均下降率相等 D. 无法比较 6. 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 度数不确定 8. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点．则下列结论： ①； ②； ③抛物线与轴的另一个交点是； ④方程有两个相等的实数根； ⑤当时，有． 其中错误的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ①②③④⑤ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，满分15分． 11. 若关于的方程无实数根，则的取值范围是_____． 12. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 13. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在_____． 14. 如下图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的5倍． 15. 我们现定义函数在上的最大值和最小值的差为区间极差，比如一次函数在上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数在上的区间极差为．若二次函数在上的区间极差为4，则的取值范围是_____． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 17. 某商品进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：该商品每降价1元，每星期可多卖出20件．如果商家希望每星期售出该商品能获利5000元，那么该商品每件售价应定为多少元？ 18. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，，．现将线段绕点顺时针旋转，若点恰落在以点为顶点的一条抛物线上，求这条抛物线的函数解析式． 19. 如图，在中，，以为直径与交于点，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，在（1）作图基础上连接，求的度数． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标为，经过点的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上一个动点，问点运动到何处时的面积最大？并求出此时的最大面积． 21. 某学校计划在教学楼后面搭建一个矩形自行车车棚（如图间隔成相同的两个矩形），车棚一边是利用教学楼的部分后墙（可利用墙长为），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各留一个距离后墙的出口（不锈钢栅栏形如“山”字），搭建车棚时还要注意在自行车棚后面（边侧）距教学楼后墙处，规划有机动车停车位． （1）若矩形车棚面积为，求车棚的长和宽各是多少m？ （2）问该车棚面积最大可达到多少？并说明理由． 22. 如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）当时，求图中阴影部分的面积． 23. 平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． （1）求抛物线顶点坐标； （2）已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； （3）设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中学业水平考试适应性训练数学试题 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．满分120分，考试用时120分钟．考试结束后，只收交答题卡． 2．答卷前，考生务必用0．5毫米黑色签字笔将自己的学校、班级、姓名、考试号、座号填写在答题卡规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0．5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10个小题，每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故A选项错误； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项错误； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项错误； 故选：B． 2. 下列说法中判断错误的是（ ） A. 对应点与旋转中心所连线段的夹角一定等于旋转角 B. 成中心对称的两个图形，对应点的连线一定经过对称中心 C. 若过菱形对角线交点的一条直线把菱形分成两个梯形，则这两个梯形一定全等 D. 由两个全等的梯形一定能拼成一个菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转、中心对称、菱形和梯形的性质． 选项A和B涉及旋转和中心对称的基本定义，正确；选项C利用菱形的中心对称性，过对角线交点的直线分成的两个图形全等，正确；选项D中，两个全等的梯形不一定能拼成菱形，错误． 【详解】解：选项A：旋转前后，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，这是旋转的基本性质，正确； 选项B：成中心对称的两个图形，对应点的连线必经过对称中心，且被对称中心平分，正确； 选项C：菱形是中心对称图形，对称中心是对角线交点，过对称中心的任意直线将菱形分成两个全等图形，若分成的图形是梯形，则它们全等，正确； 选项D：两个全等的梯形可能拼成平行四边形，但拼成菱形需满足四边相等，这不是必然的，错误； 故选：D． 3. 若二次函数当时，随的增大而增大，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 首先根据二次函数的定义，确定指数必须为2，求出m的可能值；再根据函数在时的增减性条件，判断开口方向，从而确定m的符号，得到m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴指数， 解得， ∴． 又∵当时，y随x的增大而增大， 函数为， 当时，开口向下，在时y随x增大而增大， ∴，故． 故选：C． 4. 关于的一元二次方程中，实数、、满足，则（ ） A. 此方程有两个相等的实数根 B. 此方程有两个不相等的实数根 C. 此方程有两个实数根 D. 此方程无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式． 通过给定条件代入判别式，化简得，因此方程总有实数根． 【详解】解：∵， ∴， 代入判别式：， ∴方程总有实数根， 故选：C． 5. 两年前生产甲种药品的成本是元，生产乙种药品的成本是元．随着生产技术的进步，现在生产甲种药品的成本是元，生产乙种药品的成本是元．则下列说法正确的是（ ） A. 甲种药品成本的年平均下降率较大 B. 乙种药品成本的年平均下降率较大 C. 两种药品成本年平均下降率相等 D. 无法比较 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为，由题意得：，，设而不求即可进行比较． 【详解】解：设甲、乙两种药品成本的年平均下降率分别为， 由题意得：，， 可得：， ∴两种药品成本的年平均下降率相等 故选：C 6. 已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦和与圆心的位置关系． 作于E，延长交于F，连接、，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图， ∵， ， ， ∵的直径为， ∴的半径为， 在中，， ， 在中，， ， 当圆心O在与之间时，， 当圆心O不在与之间时，同理可得， 即和之间的距离为或． 故选：A. 7. 如图，与的边相切于点，与，分别交于点，，点是优弧上一点，若，，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 度数不确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，连接，根据切线的性质得到，根据垂直的定义得到，求出，由得；根据外角的性质得到，由三角形内角和定理得，求出；由点是优弧上一点，可知度数不确定，即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵与相切于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，故选项C正确，不符合题意； 又， ∴， ∴，故选项B错误，符合题意； ∵点是优弧上一点， ∴度数不确定，故选项D正确，不符合题意； 故选：B． 8. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式、圆的切线的性质、正方形的判定，关键是找到弧所对的圆心角及半径； 连接，可得是正方形，进而圆心角，半径为，则弧长可求． 【详解】解：连接，如下图， 由题意得：是的切线， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：B． 9. 如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质得出：，，再根据圆内接四边形的性质得出：，进而可得．由垂径定理的推论和圆周角定理的推论可得，进而求出的长，最后根据扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是等边三角形， ， ， ， ∵点为弧的中点， ， ∴垂直平分线段， ∴经过点O，， ， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，三角形的外接圆与外心，熟练掌握扇形的面积，等边三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质是解题的关键． 10. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点为，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点．则下列结论： ①； ②； ③抛物线与轴的另一个交点是； ④方程有两个相等的实数根； ⑤当时，有． 其中错误的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系等知识，解答关键是数形结合． 根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可． 【详解】解：抛物线对称轴为直线， ， ，故②错误； 抛物线开口向下，与轴相交于正半轴， ，， ， ，故①错误； 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点， 另一个交点坐标为，故③错误； 从图象可以知道，抛物线顶点为， 抛物线与直线有且只有一个交点， 方程有两个相等的实数根，故④正确； 由图象可知，当时，，故⑤正确； 综上所述，错误的有①②③， 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，满分15分． 11. 若关于的方程无实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式． 根据一元二次方程无实数根的条件计算即可． 【详解】解：方程的判别式为． 由于方程无实数根， 故， 即， 解得． 故答案为：． 12. 1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为_____． 【答案】x（x﹣12）＝864． 【解析】 【分析】由长和宽之间的关系可得出宽为（x-12）步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长为x步，宽比长少12步， ∴宽为（x﹣12）步． 依题意，得：x（x﹣12）＝864． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 13. 如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是点在_____． 【答案】外 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，点与圆的位置关系，锐角三角函数，掌握圆的相关性质是解题关键．由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再结合特殊角的正弦值，求出的半径，即可得到答案． 【详解】解：如图，令与的交点为， 为半径，为弦，且， ， ， 在中，，，， ， ，即的半径为4， ， 点在外， 故答案为：外． 14. 如下图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”． 按此规律继续摆下去，第_____个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的5倍． 【答案】20 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； …， 所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：； 由题知， 解得， 又n为正整数，则，即第20个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的5倍． 故答案为：20． 15. 我们现定义函数在上的最大值和最小值的差为区间极差，比如一次函数在上的最大值为3，最小值为1，所以一次函数在上的区间极差为．若二次函数在上的区间极差为4，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义“区间极差”、二次函数的图像与性质等知识，正确解得二次函数在时的最大值与最小值是解题关键． 根据二次函数的性质，确定函数在上的最大值和最小值，令其差为4，解出的范围． 【详解】二次函数化为顶点式为，顶点 ，开口向下，且都在该二次函数的图像上，且两点关于对称轴对称， ①当时，函数在上随增大，也增大， 当时，最小值， 当时，最大值， 区间极差为， 令区间极差等于4，得，即，解得； ②当 时，当时，最大值， 当时，取得最小值， 此时，区间极差为，符合题意 ③当时，当时，最大值， 最小值为， 区间极差为， 令区间极差等于4，得，解得或，均不满足，无解； 综上，当时，区间极差为4． 故答案为：． 三、解答题：本大题共8个小题，满分75分．解答时请写出必要的演推过程． 16. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）原方程移项后运用因式分解法解答即可； （2）原方程运用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， 解得，． 【小问2详解】 解：， ，，， ， ， 解得，． 17. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：该商品每降价1元，每星期可多卖出20件．如果商家希望每星期售出该商品能获利5000元，那么该商品每件售价应定为多少元？ 【答案】每件售价50元时，每星期售出商品能获利5000元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程应用，找等量关系正确列出方程是解题的关键．设每件降价元时每星期售出商品获利5000元，根据该商品每降价１元，每星期可多卖出20件，可知每件降价元，每周多卖出件，实际每周卖出件，实际每件的利润为元．根据每星期商品利润5000元列方程求解． 【详解】解：设每件降价元时每星期售出商品获利5000元， 则， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当每件降价10元，即该商品每件售价50元时每星期售出商品能获利5000元． 18. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为，，．现将线段绕点顺时针旋转，若点恰落在以点为顶点的一条抛物线上，求这条抛物线的函数解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题重点考查了旋转的性质，用待定系数法可求出二次函数的解析式，包括一般式，顶点式和交点式等方法，同时还考查了勾股定理求解直角三角形，直角三角形正弦值的计算，掌握相关的性质和二次函数解析式的求解方法是解题的关键． 过点作轴于，先利用旋转的性质得到，，进而得到，并利用直角三角形正弦的计算得到的值，通过勾股定理得到的值，进而得到的坐标，抛物线经过和两点，利用顶点式即可得到解析式． 【详解】解：线段绕点顺时针旋转后如图所示，过点作轴于， 由旋转的性质得，，， ， ， ， ， ， 由勾股定理得，， 点的坐标为， 设以点为顶点的这一条抛物线的解析式为． 根据题意点在此抛物线上， ，解得， 所求函数解析式为． 19. 如图，在中，，以为直径的与交于点，连接． （1）尺规作图：作劣弧的中点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若与相切，在（1）作图基础上连接，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）作出的垂线与劣弧相交，即为点，根据垂径定理即可说理； （2）由圆的切线结合已知可得，由得到，再由圆周角定理得到，然后根据互余关系求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求； 【小问2详解】 解：如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ． 为的直径， ， ， ， ， ． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点，且点的坐标为，经过点的直线交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式和直线的解析式； （2）点为直线上方抛物线上的一个动点，问点运动到何处时的面积最大？并求出此时的最大面积． 【答案】（1）； （2）点坐标为时，面积最大，最大面积为． 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了待定系数法求函数解析式和二次函数的性质． （1）把B点和D点代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组确定抛物线解析式；再解方程得，然后利用待定系数法求直线的解析式； （2）过M点作轴交于C，如图，设，则，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题． 【小问1详解】 解：把，代入得 ， 解得， 抛物线解析式为； 当时，， 解得，， 则， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为． 【小问2详解】 解：如图，作轴交于． 设（），则， ， ， ， 当，即点坐标为时，的面积最大，最大面积为． 21. 某学校计划在教学楼后面搭建一个矩形自行车车棚（如图间隔成相同的两个矩形），车棚一边是利用教学楼的部分后墙（可利用墙长为），其他的边用总长为的不锈钢栅栏围成，左右两侧各留一个距离后墙的出口（不锈钢栅栏形如“山”字），搭建车棚时还要注意在自行车棚后面（边侧）距教学楼后墙处，规划有机动车停车位． （1）若矩形车棚面积为，求车棚的长和宽各是多少m？ （2）问该车棚面积最大可达到多少？并说明理由． 【答案】（1）自行车车棚的长为，宽为． （2）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次根式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）正确列出函数关系式． （1）设车棚宽是，则，根据矩形车棚的面积为，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值（即的长），再将其代入中，即可求出的长； （2）设车棚宽度为时，自行车车棚面积为，由题得，根据二次函数性质可得结论． 【小问1详解】 解：设车棚宽是，依题意，得 ，整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ． 答：自行车车棚的长为，宽为． 【小问2详解】 解：设车棚宽度为时，自行车车棚面积为，由题得 ， 依题意，得解得． 中，，， 当时，有最大值为． 答：自行车车棚面积最大可达到． 22. 如图，以等腰的一腰为直径作，交底边于点，交腰于点，过点作腰的垂线，垂足为． （1）求证：是的切线； （2）当时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的有关性质，切线的判定与性质等，解题关键是能够根据题意作出适当的辅助线． （1）连接，证，即可得到结论； （2）连接，，．证明是等边三角形，得，，，；证明，根据求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，连接． 是直径， ，即， 又， ， 又， ， 又， ， 是圆的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：，， 是等边三角形，，， 又， ， 又， 在中，， 由勾股定理得， 中，，； 如图，连接，，． 直径， ，， 又， ，， ，， ，， ． 23. 平移抛物线后，得到的抛物线经过点和点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）已知抛物线上有两点和，其中，且，求证：； （3）设直线与抛物线交于点，与抛物线交于点（与点不重合），记点在平移后的抛物线上的对应点为点，求取何值时？ 【答案】（1） （2）见解析 （3）当时． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，二次函数抛物线性质，平移性质．解题的关键是掌握二次函数抛物线性质． （1）设抛物线的函数解析式为，把点和点代入可得顶点坐标； （2）由函数性质得出点在对称轴右侧，到对称轴的距离为；点在对称轴左侧，到对称轴的距离为，得出点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离即可； （3）设抛物线，的顶点分别，，则由平移的性质可知，得直线解析式为，结合二次函数解析式得点的横坐标为或，由点是直线与抛物线的交点，且与点不重合，的． 【小问1详解】 解：由题意设抛物线的函数解析式为，将点和点代入，得 解得 ， 所求顶点为； 【小问2详解】 证明：， 抛物线的开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点到对称轴的距离越小则纵坐标越大； ， 点在对称轴右侧，到对称轴的距离为； 点在对称轴左侧，到对称轴的距离为； ， ． ． 点到对称轴距离小于点到对称轴的距离． ； 小问3详解】 解：设抛物线，的顶点分别，，则由平移的性质可知； 由，得直线解析式为， 即时，直线解析式可设为， ， ，解得； 解 得点的横坐标为或， 点是直线与抛物线的交点，且与点不重合， 当时． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $