2.2基本不等式（复习课）课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学基本不等式复习课件系统梳理了重要不等式、基本不等式及变形公式、最值定理等核心知识，通过“回顾旧知—函数求最值（直接用、凑项、凑系数、分离换元）—条件求最值（常数代换）”的逻辑脉络，构建从概念到应用的完整知识网络。 其亮点在于采用分层递进的例题设计与多样方法训练，如例2通过凑项转化为基本不等式结构，例5用常数代换法解决条件最值问题，培养学生的抽象能力和推理意识。这种设计帮助学生巩固知识，教师也能精准实施分层教学，提升复习效率。

2.2 基本不等式（一） 课 型：复习课 【回顾旧知】 重要不等式 基本不等式 等号成立的条件 当且仅当a=b 时，等号成立 变形公式 【回顾旧知】 最值定理：和定积最大，积定和最小 求最值时注意把握 “一正，二定，三相等” 直接用基本不等式、单调性 例１．已知 ，求的最小值和此时x的取值． 思考1：把改为成立吗？ 思考2：把改为成立吗？ 【一、函数求最值】 思考：已知,求函数 的最小值，并说明此时x的值. 例2.若 x>3 ，求函数 y=的最小值. 变形用基本不等式求最值——凑项 思考：若 ，求函数 y=的最小值. 分析: 不是常数，但是常数 解: ∵x>3 ,∴>0 ∴y = = 当且仅当时，即时等号成立，y=取得最小值5 分析: y= == 【一、函数求最值】 例3.若 0<x< ，求函数 y=x(1-2x) 的最大值. 变形用基本不等式求最值——凑系数 分析: x+(1-2x) 不是 常数. 2 配凑系数 解: ∵0<x< ，∴1-2x>0. 1 2 ∴y=x(1-2x)= ∙2x∙(1-2x) 1 2 ≤ ∙[ ]2 2x+(1-2x) 2 1 2 1 8 = . 当且仅当 时，取“=”号. 2x=(1-2x)， 即 x= 1 4 ∴当 x = 时， 函数 y=x(1-2x) 的最大值是 . 1 4 1 8 【一、函数求最值】 例4.已知 ，求的最小值 变形用基本不等式求最值——分离法、换元法 解：（一：分离法）因为 ,所以,所以 当且仅当,即时等号成立，取得最小值1 （二：换元法） 因为因为 ,所以,记，则t>0, 所以, 当且仅当(即时等号成立，取得最小值1 【一、函数求最值】 例5.（1） 已知x>0，y>0，且，求的最小值. 常数代换法 【二、条件求最值】 解：∵x>0,y>0, ∴ =()·()= 1+9++ ≥ 10+2, 当且仅当 ,即 时取等号，取得最小值16. 思考：若将改为，怎么求？ 分析：·()=1 例5.（2） 已知实数>0,b>0,2+b=2,则的+最小值是 　　 解：∵>0,b>0,2+b=2 ∴ 当且仅当,即=,b=时取等号,+取得最小值. 常数代换法 【二、条件求最值】 【思考与练习】 1、已知实数>0,b>0,+=1,则+2b的最小值是 (　　) A.3 B.2 C.3 D.2 2、已知>0,b>-1,且+b=1,则+的最小值为　　　　. 1、已知实数>0,b>0,+=1,则+2b的最小值是 (　　) A.3 B.2 C.3 D.2 解：∵>0,b>0,+=1, ∴+2b=(+1)+2(b+1)-3 =[(+1)+2(b+1)]· + -3 = 1+2++ -3 ≥ 3+2-3=2, 当且仅当 = ,即=,b=时取等号,故选B. 【思考与练习】 2、已知>0,b>-1,且+b=1,则+的最小值为　　　　. 【思考与练习】 解：∵>0,b>0,+b=1,记,则 ∴ 当且仅当即,时取等号,故+的最小值为2+. 谢谢！ $