精品解析：山东省聊城市东阿县2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年第一学期期中调研 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效。 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项符合题目要求） 1. 在中，，如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 2. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 4. 能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ） A. 6 B. C. D. 7. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A. 20m B. C. D. 10m 8. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是（水面是时的深度），开口宽为，则这个水容器截面的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果） 11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则cosB=____. 12. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，M为上一点，且．则点M的坐标为_______． 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 15. 在矩形中，，点在对角线上，的半径为，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段的取值范围是_______． 三、解答题（本题9个小题，共75分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 18. 如图所示，在中，，，求的长．（结果保留根号） 19. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为位似中心，在x轴下方画出与位似的，使它与的相似比为； （2）点为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为_______； （3）外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 21. 如图，和中，，，直线与交于点M，与交于点N，试确定与的数量关系和位置关系，并说明理由． 22. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 23. 如图， 在中， 以为直径作， 交于点 P， 是的切线， 且，垂足为点 D． （1）求证： ； （2）若， 求的半径． 24. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G． （1）求证：； （2）设，的角平分线交于点I，，． ①分别求点G和点I到的距离； ②作直线分别交，于E，F两点，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期期中调研 九年级数学试题 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡规定的位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效。 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效。 一、选择题（本题10个小题，每小题3分，共30分。每小题只有一项符合题目要求） 1. 在中，，如果，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正切，熟练掌握正切等于对边与邻边的比是解题的关键； 如图，根据代入求值即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故选：A． 2. 已知矩形中，，，下列四个矩形中与矩形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的判定．熟记定理内容即可． 验证对应边是否成比例即可判断． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：，符合题意； D：，不符合题意； 故选：C 3. 圆心角为，半径为3的扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键；直接使用扇形弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意得：扇形弧长为， 故选B． 4. 能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，熟悉判定定理是解题的关键． 根据三角形相似的判定定理（两边对应成比例且夹角相等）进行分析即可． 【详解】解：∵，且． ∴． 故选：D． 5. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 6. 如图，是的外接圆，，若的半径为6，则弦的长为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，勾股定理，首先根据圆周角定理得到，然后利用勾股定理求解即可．解题的关键是熟练掌握圆周角定理（同弧所对的圆心角是圆周角的两倍）和勾股定理（若直角三角形的两条直角边为a和b，斜边为c，则）． 【详解】∵ ∴ ∵的半径为6， ∴ ∴． 故选：B． 7. 如图，当太阳光线与地面成的角时，测得空中热气球在地面上的影长是10m，则热气球的直径是（ ） A. 20m B. C. D. 10m 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，圆的切线性质，理解题意是解题的关键．根据题意画出图形，解即可． 【详解】解：如图，记直径为，过点作于点， 由题意得，，，，与圆相切于点N， ∴， ∴， ， ， 故选：C． 8. 如图，D，E分别是的边，上的点，且，连接，相交于点F，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方可得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 9. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．测量得这个水容器所能装满水的最大深度是（水面是时的深度），开口宽为，则这个水容器截面的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，设，再根据勾股定理即可得出半径，即可求解． 【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示： ∵， ∴， 由题意得：设， ∵这个水容器所能装水的最大深度是， ∴ 在中，，即 解得：， 故选：B． 10. 如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质得到，勾股定理求得，即当最小时，有最小值，当时，最小，求出即得的最小值． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， 即当最小时，有最小值， ∵等边三角形的边长为，为边上一动点， ∴当时，最小，此时， ∴，即的最小值为3， 故选：D． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握切线的性质定理及勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分，只要求写出最后结果） 11. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，则cosB=____. 【答案】 【解析】 【分析】设AC=2x，根据sinB=可得出AB=3x.根据勾股定理表示BC，则可根据余弦求得cosB. 【详解】解：如下图，∵sinB= ∴设AC=2x,则AB=3x. 根据勾股定理. ∴.故填. 【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理.在直角三角形中sinB=∠B的对边/斜边，cosB=∠B的临边/斜边.能通过正弦设出AC和AB并借助勾股定理表示出BC是解决此题的关键. 12. 如图，正五边形内接于，连接，则的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆与正多边形，正多边形的内角问题，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 先根据正五边形的内角公式求出，再由等边对等角结合三角形内角和定理求出，最后由即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，M为上一点，且．则点M的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；设点，则有，由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：设点，则有， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 故答案为：． 14. 如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为1.5米，车头近似看成一个矩形，且满足，若盲区的长度是9米，则车宽的长度为________米． 【答案】1.8 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，过点作于点，交于点H．依题意可得，米，，设米，米，证明，由相似三角形的性质计算即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点H． 依题意可得，米，， ， ∴设米，米， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 米， 故答案为：． 15. 在矩形中，，点在对角线上，的半径为，如果与矩形的各边都没有公共点，那么线段的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出矩形对角线的长度，再分别确定与矩形各边相切时的临界值，从而得到与各边无公共点时的范围． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 当与、相切时（靠近点的临界）， 过点作于，于， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， 当与相切时，，则，得； 当与相切时，，由，得； ∴靠近点时，需（取较大的临界值）． 当与、相切时（靠近点的临界）， 设，过作于，于， 同理，， ∴，， 当与相切时，，则，得； 当与相切时，，由，得； ∴靠近点时，需（取较大的临界值）． ∴，即． 综上，． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、直线与圆的位置关系，熟练掌握相似三角形的性质确定圆与矩形边相切时的临界位置是解题的关键． 三、解答题（本题9个小题，共75分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键； （1）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解； （2）先求出特殊三角函数值，再算乘法，最后算加减可进行求解． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 17. 如图，四边形内接于是的直径，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由圆周角定理得出，再根据圆内接四边形的性质求出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 又∵， ∴， 在中， ． 18. 如图所示，在中，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作于点E，根据等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值解答即可． 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，特殊角三角函数的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． 【详解】解：过点C作于点E， ∵，， ∴，, ∴， ∴． 19. 如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：． 【答案】 证明：∵ ∴∠C=∠BEC， ∵∠BEC=∠AED， ∴∠AED=∠C， ∵AD⊥BD， ∴∠D=90°， ∵， ∴∠D=∠ABC， ∴． 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，． （1）以点O为位似中心，在x轴下方画出与位似的，使它与的相似比为； （2）点为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为_______； （3）外接圆的圆心坐标为_______，外接圆的半径是_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查位似、勾股定理及三角形外接圆，熟练掌握位似、勾股定理及三角形外接圆是解题的关键； （1）根据位似变换的性质作图； （2）根据与的相似比为即可求解； （3）分别作，的垂直平分线相交于点D，则点D即为所求，写出点D的坐标，连接，根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为内的一点，则点P在内部的对应点的坐标为； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示， 点D即为的圆心，坐标为，外接圆的半径； 故答案为：，． 21. 如图，和中，，，直线与交于点M，与交于点N，试确定与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】 解：数量关系：，位置关系：， 理由如下：∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 即． 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据相似三角形的性质可进行求证． 【详解】略 22. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 23. 如图， 在中， 以为直径作， 交于点 P， 是的切线， 且，垂足为点 D． （1）求证： ； （2）若， 求的半径． 【答案】（1） 证明：连接，如图， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论； （2）连接，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明，则利用相似三角形对应边成比例可计算出，然后利用得到，从而得到的半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图， 在中， ，则， ， 为直径， ， ，， ， ， ∴，即， 解得， ， ， 的半径为5． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题； 24. 如图，矩形中，对角线，相交于点O，M是的中点，交于点G． （1）求证：； （2）设，的角平分线交于点I，，． ①分别求点G和点I到的距离； ②作直线分别交，于E，F两点，求的值． 【答案】（1） 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 是的中点， ， ， ， ∴； （2）①点G和点I到的距离都为2；② 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，求得，于是得到结论； （2）①在中，根据勾股定理得到，求得，如图，过点作，垂足为，设，根据三角形的面积公式得到点到的距离为2；过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解； ②如图，作，垂足为，由①可得，然后根据相似三角形的性质与判定得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①在中，，， ∴， ∴， ∵，的角平分线交于点I， ∴点I是的内心， 过点作，垂足为，则即为内切圆的半径，设，根据三角形的内心的性质可知： ， ， 即， ∴点到的距离为2； 过点G作，垂足为点P，由（1）可知：，则有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即点G到的距离为2； ②如图，作，垂足为，作，垂足为， 由①可知：， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， 即， ∴， ∴， ． 【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $