课下培优巩固练（五十）函数的实际应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．心理学家有时使用函数L(t)＝A(1－e－kt)来测定在时间t(min)内能够记忆的量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率．假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在5 min内该学生记忆20个单词．则记忆率所在区间为 (　　) A． B． C． D． 解析：选A. 将A＝200，t＝5，L＝20代入L(t)＝A(1－e－kt)，解得：e－5k＝，其中y＝e－5x单调递减，而＝e，＝<e，而y＝x－4在(0，＋∞)上单调递减，所以e－5×＝e－<，结合单调性可知e－<e－<e－<，即e－5×<e－5×<e－5×<，而e－5×0＝e0＝1>，其中y＝e－5x为连续函数，故记忆率k所在区间为. 2．火箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈时的声强级约为50 dB，那么火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为(　　) A．109 B．1010 C．1011 D．1012 解析：选A. 由题意，d(x)＝10lg ， 则x＝10－12 火箭发射时的声强级约为140 dB，人交谈时的声强级约为50 dB， 则火箭发射时的声强约为102，人交谈时的声强约为10－7， 所以火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109. 3．某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入．若该政府2020年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长12%，则该政府全年投入的资金翻一番(2020年的两倍)的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 2≈0.30)(　　) A．2027年 B．2026年 C．2025年 D．2024年 解析：选B.设第n(n∈N*)年该政府全年投入的资金翻一番，依题意得：120(1＋12%)n－1＝240，则lg [120(1＋12%)n－1]＝lg 240，lg 120＋(n－1)lg 1.12＝lg 240，(n－1)lg 1.12＝lg 2，n＝＋1＝7，即该政府全年投入的资金翻一番的年份是2026年． 4．已知一等腰三角形的周长为12 cm，则将该三角形的底边长y(单位：cm)表示为腰长x(单位：cm)的函数解析式为___________．(请注明函数的定义域) 解析：根据题意得y＋2x＝12， 由三角形两边之和大于第三边得2x>y， 所以4x>y＋2x＝12，即x>3， 又因为y＝12－2x>0，解得x<6 所以该三角形的底边长y(单位：cm)表示为腰长x(单位：cm)的函数解析式为y＝－2x＋12，x∈(3，6). 答案：y＝－2x＋12，x∈(3，6) 5．某地为践行“绿水青山就是金山银山”的环保理念，大力展开植树造林．假设一片森林原来的面积为a亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的2倍时，所用时间是10年．为使森林面积至少达到6a亩，至少需要植树造林______年(精确到整数).(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1) 解析：设年增长率为x，所求年数为n， 根据已知：a(1＋x)10＝2a，解得lg (1＋x)＝， 又a(1＋x)n＝6a，所以n＝＝≈25.85， 至少需要植树造林26年． 答案：26 6．为了符合国家制定的工业废气排放标准，某工厂在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，对其排放的废气中的二氧化硫转化为一种可利用的化工产品．已知该工厂每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－100x＋120 000，且每处理一吨二氧化硫得到可利用的化工产品价值为200元． (1)该工厂每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ (2)该工厂每月能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则国家每月至少应补贴多少元才能使工厂不亏损？ 解：(1)设该工厂每吨平均处理成本为z， z＝＝，x∈[300，600]， z＝＋－100≥2－100＝300， 当且仅当＝，即x＝600时取等号， 当x＝600时，每吨平均处理成本最低． (2)设该工厂每月的利润为P(x)， 则P(x)＝200x－(x2－100x＋120 000)，300≤x≤600， P(x)＝－x2＋300x－120 000＝－(x－450)2－52 500， 当x＝450时，P(x)max＝－52 500<0， 所以该工厂不获利，且需要国家每月至少补贴52 500元才能使工厂不亏损． 【能力提升题组】 7．(多选)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费(单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月存货物费y2(单位：万元)与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是(　　) A．y2＝0.4x B．y1＝ C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值 解析：选ACD.设y1＝，(k1≠0，x>0) 由题意知：函数过点(10，1)， 即k1＝10，所以y1＝，(x>0)故，B错误； 对选项A，y2＝k2x，(k2≠0，x>0)， 由题意得：函数过点(10，4)，即4＝10k2， 解得：k2＝0.4，y2＝0.4x(x>0)，故A正确； 对C，y1＋y2＝＋0.4x≥2＝4， 当且仅当＝0.4x，即x＝5时等号成立，故C正确； 对D，由y1－y2＝－0.4x在(0，＋∞)上单调递减， 故y1－y2无最小值，故D正确． 故选ACD. 8．边际函数是经济学中一个基本概念，在诸多领域应用广泛．在函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)＝f(x＋1)－f(x).某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产x台(x∈N*)的收入函数R(x)＝3 000x－20x2(单位：元)，其成本函数为C(x)＝500x＋4 000(单位：元)，利润是收入与成本之差，设利润函数为P(x)，则以下说法正确的是(　　) A．P(x)取得最大值时每月产量为63台 B．边际利润函数的表达式为MP(x)＝2 480－40x(x∈N*) C．利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)不具有相同的最大值 D．边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 解析：选BCD.对于A选项，P(x)＝R(x)－C(x)＝－20x2＋2 500x－4 000， 二次函数P(x)的图象开口向下，对称轴为直线x＝＝62.5， 因为x∈N*，所以P(x)取得最大值时每月产量为63台或62台，A错； 对于B选项， MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝[－20(x＋1)2＋2 500(x＋1)－4 000]－(－20x2＋2 500x－4 000)＝2 480－40x(x∈N*)，B对； 对于C选项，P(x)max＝P(62)＝P(63)＝74 120，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，则MP(x)max＝MP(1)＝2 440，C对； 对于D选项，因为函数MP(x)＝2 480－40x为减函数，所以边际利润函数MP(x)说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对． 9．某化工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间(单位：小时)之间的函数关系为P＝p0·et ln k(其中e是自然对数的底数，k为常数，p0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了96%，则k＝___________；要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为___________(参考数据：log52≈0.43). 解析：显然，当t＝0时，P＝p0，当t＝4时，P＝4%p0，则有：p0＝p0·e4ln k， 于是得k4＝，而k>0，解得k＝， 设经过m小时后能够按规定排放废气，则有p0·em ln k≤0.25%p0⇔km≤， 即≤⇔5m≥400⇔m≥log5400⇔m≥4＋8log52≈4＋8×0.43＝7.44， 于是得还需要过滤时间n＝m－4≥3.44，则正整数n的最小值为4. 所以k＝，正整数n的最小值为4. 答案：　4 10．在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长．某地区2019年底新能源汽车保有量为1 500辆，2020年底新能源汽车保有量为2 250辆，2021年底新能源汽车保有量为3 375辆． (1)根据以上数据，试从y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，y＝a·logbx(a>0，b>0且b≠1)，y＝ax＋b(a>0)三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势(不必说明理由)，设从2019年底起经过x年后新能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽车保有量y关于x的函数关系式； (2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50 000辆，预计到2024年底传统能源汽车保有量将下降10%.试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) 解：(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)， 由题意得 解得所以y＝1 500·. (2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r， 依题意得，50 000(1－r)5＝50 000(1－10%)，解得1－r＝0.9， 设从2019年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为y辆， 则有y＝50 000(1－r)x＝50 000， 设从2019年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，则有1 500·>50 000 化简得3·>100，所以lg 3＋x(lg 3－lg 2)>2＋(21g 3－1)， 解得x>≈8.09， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车． 学科网（北京）股份有限公司 $