课下培优巩固练（四十四）正切函数的图象与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．函数y＝2tan (－3x＋)的最小正周期是(　　) A． B． C． D．π 解析：选B.T＝＝. 2．函数y＝ 的定义域为(　　) A．(k∈Z) B．(k∈Z) C．(k∈Z) D．(k∈Z) 解析：选B.由题可得tan x＋1≥0，即tan x≥－1，解得x∈(k∈Z). 3．函数f(x)＝2x－tan x在上的图象大致为(　　) 解析：选D.∵f(x)为奇函数，故排除B、C，当x→时，f(x)→－∞，选D. 4．下列函数中，以π为周期且在内是增函数的为(　　) A．y＝tan B．y＝sin C．y＝cos 2x D．y＝sin 解析：选A.由π为周期，可排除D项；A项，易知y＝tan 在上单调递增，而是的一个子区间，所以y＝tan 在上单调递增；C选项中的函数在上单调递减，故排除C；B项，由x∈得＜2x＋＜，所以y＝sin 在上不单调，排除B，故选A. 5．函数f(x)＝lg (tan x＋)(　　) A．是奇函数 B．既是奇函数又是偶函数 C．是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 解析：选A.∵＞|tan x|≥－tan x， ∴f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＋f(x)＝lg (－tan x＋)＋lg (tan x＋)＝lg 1＝0， ∴f(x)为奇函数，故选A. 6．下列不等式中，成立的是(　　) A．tan ＞tan B．tan ＜tan C．tan ＜tan D．tan ＞tan 解析：选D.tan ＝tan ＜tan ； tan ＝tan ＜tan ； tan ＝tan ，tan ＝tan ， ∵tan ＞tan ， ∴tan ＞tan ； tan ＝tan ＝tan ＝－tan ， tan ＝tan ＝tan ＝－tan ， 又tan ＞tan ，所以tan ＜tan . 7．函数y＝tan ，x∈的值域是________． 解析：由0<x≤得0<≤，从而<＋≤. ∴tan <tan ≤tan ， 即1<tan ≤ . 答案：(1, ] 8．函数y＝tan 的值域是________． 解析：∵－1≤cos x≤1，且函数y＝tan x在[－1，1]上为增函数， ∴tan (－1)≤tan x≤tan 1. 即－tan 1≤tan x≤tan 1. 答案：[－tan 1，tan 1] 9．若tan x＞tan 且x是第三象限角，则x的取值范围是______________________． 解析：∵tan x＞tan ＝tan 且x是第三象限角，∴2kπ＋＜x＜2kπ＋(k∈Z)，即x的取值范围是(k∈Z). 答案：(k∈Z) 10．判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝sin x＋tan x； (2)f(x)＝. 解：(1)f(x)的定义域为{x|x≠kπ＋，k∈Z}，关于原点对称． 因为f(－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)， 所以函数f(x)＝sin x＋tan x是奇函数． (2)由题意，得tan x≠1，且x≠kπ＋，k∈Z， 所以函数f(x)的定义域为，不关于原点对称． 所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． 11．设函数f(x)＝tan (ωx＋φ) ，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称． (1)求f(x)的解析式； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝，即＝. 因为ω＞0，所以ω＝2，所以f(x)＝tan (2x＋φ). 因为函数y＝f(x)的图象关于点M对称， 所以2×＋φ＝，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z. 又0＜φ＜，所以φ＝. 故f(x)＝tan . (2)令－＋kπ＜2x＋＜＋kπ，k∈Z，得－＋kπ＜2x＜kπ＋，k∈Z，即－＋＜x＜＋，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z，无单调递减区间． 【能力提升题组】 12．函数y＝3tan 的图象的一个对称中心是(　　) A． B． C． D．(0，0) 解析：选C.因为y＝tan x的图象的对称中心为，k∈Z.由x＋＝，k∈Z，得x＝kπ－，k∈Z，所以函数y＝3tan 的图象的对称中心是，k∈Z.令k＝0，得. 13．已知函数f(x)＝x＋tan x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝(　　) A．0 B．－1 C．－2 D．3 解析：选A.设g(x)＝x＋tan x，显然g(x)为奇函数． ∵f(a)＝g(a)＋1＝2，∴g(a)＝1，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝0.故选A. 14．(多选)关于函数f(x)＝tan ，下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最小正周期为2π B．f(x)的定义域为 C．f(x)的图象的对称中心为，k∈Z D.f(x)在区间(0，π)上单调递增 解析：选ACD.函数f(x)＝tan ，对于A，函数的最小正周期为＝2π，故A正确； 对于B，令－≠kπ＋，整理得x≠2kπ＋，故函数的定义域为(k∈Z)，故B错误； 对于C，当x＝kπ＋，(k∈Z)时，函数f＝tan ＝0或∞，故函数的对称中心为，k∈Z，故C正确；对于D，由于x∈(0，π)，故－∈，故函数在该区间上单调递增，故D正确．故选ACD. 15．函数y＝tan 满足下列哪些结论________(填序号). ①在上单调递增； ②为奇函数； ③以π为最小正周期； ④定义域为. 解析：令x∈，则∈， 所以y＝tan 在上单调递增正确； tan ＝－tan ，故y＝tan 为奇函数； T＝＝2π，所以③不正确； 由≠＋kπ，k∈Z，得{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，所以④不正确． 答案：①② 16．若直线x＝(|k|≤1)与函数y＝tan 的图象不相交，则k＝________． 解析：直线x＝＋nπ，n∈Z与函数y＝tan x的图象不相交， 由题意可知，2×＋＝＋nπ，n∈Z， 得到k＝n＋，n∈Z，而|k|≤1， 故n＝0或－1， 所以k＝或k＝－. 答案：或－ 17．函数y＝3tan (ω>0)的最小正周期是，则ω＝______，该函数的单调递增区间为________________． 解析：∵函数y＝3tan (ω>0)的最小正周期是＝，则ω＝2， 令kπ－<2x＋<kπ＋，求得－<x<＋， 故函数的增区间为，k∈Z. 答案：2　，k∈Z 18．设函数f(x)＝tan . (1)求函数的定义域； (2)求不等式f(x)≤ 的解集． 解：(1)根据函数f(x)＝tan ，可得－≠kπ＋，k∈Z，得x≠2kπ＋，k∈Z. 故函数的定义域为{x|x≠2kπ＋，k∈Z}． (2)求不等式f(x)≤ ，即tan ≤ ， 所以kπ－<－≤kπ＋，k∈Z， 求得2kπ－<x≤2kπ＋，k∈Z， 故不等式的解集为，k∈Z. 学科网（北京）股份有限公司 $