课下培优巩固练（四十七）函数的零点-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．函数f(x)＝x3＋ln x－2的零点所在的区间为(　　) A． B． C． D． 解析：选C.∵f(x)＝x3＋ln x－2在(0，＋∞)上单调递增，又因为f(1)＝－1<0，f＝＋ln >0， 所以f(x)的零点所在的区间为. 2．(多选)下列图象表示的函数中有两个零点的有(　　) 解析：选CD.有两个零点就是函数图象与x轴有两个交点，故选CD. 3．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－loga8有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(　　) A．f(x) B．(2，8) C．(2，＋∞) D．(2，8] 解析：选D.∵函数g(x)＝f(x)－loga8有两个不同的零点， ∴函数y＝f(x)的图象与直线y＝loga8有两个交点， 作出函数y＝f(x)与直线y＝loga8的图象，如图 则1≤loga8<3，即logaa≤loga8<logaa3， ∴2<a≤8. 4．(多选)已知函数f(x)＝令h(x)＝f(x)－k，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞) B．当k∈(－4，－3]时，h(x)有3个零点 C．当k＝－2时，h(x)的所有零点之和为－1 D.当k∈(－∞，－4)时，h(x)有1个零点 解析：选BD.f(x)的图象如下： 由图象可知，f(x)的增区间为(－1，0)，(0，＋∞)，故A错误； 当k∈(－4，－3)时，y＝f(x)与y＝k有3个交点，即h(x)有3个零点，故B正确； 当k＝－2时，由x2＋2x－3＝－2可得x＝－1±，由－2＋ln x＝－2可得x＝1 所以h(x)的所有零点之和为－1－＋1＝－，故C错误； 当k∈(－∞，－4)时，y＝f(x)与y＝k有1个交点，即h(x)有1个零点，故D正确； 5．(多选)已知函数f(x)＝ 若函数g(x)＝f(x)－a恰有2个零点，则实数a可以是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选AD.当x∈(－∞，0)时，单调递增，且f(x)＝2x－2值域为(0，＋∞)；当x∈(0，1)时，f(x)＝ln x单调递增，所以f(x)＝ln x<0，即值域为(－∞，0)，当x∈[1，－∞)，f(x)＝－x2＋4x－2＝－(x－2)2＋2，当x＝2时，取得最大值2，故值域为(－∞，2]且f(1)＝1，画出函数图象如图： 要想g(x)＝f(x)－a有两个交点，则a<0或0<a<1或a＝2，故AD正确． 6．若函数f(x)是定义域为R的奇函数．当x>0时，f(x)＝x3－2.则函数f(x＋2)的所有零点之和为______． 解析：当x>0时，易知函数只有一个零点为，而奇函数满足f(0)＝0，结合函数的对称性可知函数有3个零点，设它们分别为x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝0，当把函数f(x)的图象向左平移2个单位之后得到函数f(x＋2)的图象，所以函数f(x＋2)的零点之和为x1－2＋x2－2＋x3－2＝x1＋x2＋x3－6＝－6. 答案：－6 7．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的有　________ . ①若f(a)·f(b)＞0，不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ②若f(a)·f(b)＜0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ③若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0； ④若f(a)·f(b)＜0，有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0. 解析：根据函数零点存在定理可判断，若f(a)·f(b)＜0，则一定存在实数c∈(a，b)，使f(c)＝0，但c的个数不确定，故②④错．若f(a)·f(b)＞0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0，如f(x)＝x2－1，f(－2)·f(2)＞0，但f(x)＝x2－1在(－2，2)内有两个零点，故①错，③正确． 答案：③ 8．已知函数f(x)＝则f(f(2))＝________；若函数y＝f(x)－t有3个零点，则实数t的取值范围为________． 解析：∵f(x)＝ ∴f(2)＝22＝4， ∴f(f(2))＝f(4)＝24＝16， 作函数f(x)＝的图象可得 ∵函数y＝f(x)－t有3个零点， ∴函数f(x)的图象与直线y＝t有三个交点， 由图象观察可得，8<t≤9， ∴实数t的取值范围为(8，9]. 答案：16　(8，9] 9．若函数f(x)＝ax－b(b≠0)有一个零点3，求函数g(x)＝bx2＋3ax的零点． 解：∵函数f(x)＝ax－b的一个零点是3， ∴x＝3是方程ax－b＝0的根， ∴b＝3a. 于是函数g(x)＝bx2＋3ax＝bx2＋bx＝bx(x＋1)， 令g(x)＝0，得x＝0或x＝－1， ∴函数g(x)的零点是x＝0或x＝－1. 10．已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4，在下列条件下，求实数a的取值范围． (1)零点均大于1； (2)一个零点大于1，一个零点小于1； (3)一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内． 解：(1)由题意得 解得2≤a＜. (2)由题意得f(1)＝5－2a＜0，解得a＞. (3)由题意知 解得＜a＜. 【能力提升题组】 11．(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)<0，f(1)>0，f(2)>0，则下列说法错误的有(　　) A．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B．f(x)在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C．f(x)在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D．f(x)在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点 解析：选ABD.由题知f(0)·f(1)<0，所以根据函数零点存在定理可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点，又f(1)·f(2)>0，因此无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点． 12．设f(x)与g(x)是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f(x)＝x2－3x＋4与g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“关联函数”，则实数m的取值范围为(　　) A．(－，－2] B．[－1，0] C．(－∞，－2] D．(－，＋∞) 解析：选A.令h(x)＝f(x)－g(x)，由h(x)＝x2－5x＋4－m.由题意，可知h(x)在[0，3]上有两个不同的零点，故有即 解得－＜m≤－2，故选A. 13．已知函数f(x)＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝_________，b＝________ . 解析：∵函数f(x)＝3x＋x－5，∴f(1)＝31＋1－5＝－1<0，f(2)＝32＋2－5＝6>0，∴f(1)f(2)<0，且函数f(x)在R上单调递增，∴f(x)的零点x0在区间(1，2)内．∴a＝1，b＝2. 答案：1　2 14．已知函数f(x)＝则： (1)f(5)＝___________； (2)函数y＝f(x)－k在区间(－∞，4)上有四个不同的零点，则实数k的取值范围是___________． 解析：(1)∵f(x)＝ ∴f(5)＝f(3)＝＝f(1)＝f(－1)＝e|－1＋1|＝. (2)当x≤0时，f(x)＝e|x＋1|；当x>0时，f(x)＝f(x－2)； 当x∈(0，2]时，x－2∈(－2，0]，f(x)＝f(x－2)＝e|x－2＋1|＝e|x－1| 当x∈(2，4)时，x－2∈(0，2)，f(x)＝f(x－2)＝e|x－2－1|＝e|x－3| 函数y＝f(x)－k在区间(－∞，4)上有四个不同的零点，即y＝f(x)与y＝k有四个交点，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示： 由图可知，实数k的取值范围是∪. 答案：　∪ 15．已知loga2＝m，an＝3(a>0且a≠1). (1)求am－n的值； (2)若m＋n<0，函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(0，3)上有且仅有一个零点，求a的取值范围． 解：(1)由loga2＝m，得am＝2，则am－n＝＝； (2)∵an＝3，∴loga3＝n，∴m＋n＝loga2＋loga3＝loga6<0，所以0<a<1， 则f(x)＝ax2－2x＋1是开口向上，对称轴为x＝>1的抛物线， 令ax2－2x＋1＝0，∵0<a<1 ∴Δ＝4－4a＝4(1－a)>0且f(0)＝1>0 所以，由零点存在定理，当f(3)＝9a－5<0，即0<a<时， 函数f(x)＝ax2－2x＋1在区间(0，3)上有且仅有一个零点， 当f(3)＝9a－5＝0，即a＝时，解得x＝或x＝3，符合题意． 综上可知，a的取值范围为. 16．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x. (1)写出函数y＝f(x)的解析式； (2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围． 解：(1)当x∈(－∞，0)时，－x∈(0，＋∞)， ∵y＝f(x)是奇函数， ∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x， ∴f(x)＝ (2)当x∈[0，＋∞)，f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，最小值为 －1； ∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x2－2x＝1－(x＋1)2，最大值为1. ∴据此可作出函数y＝f(x)的图象，如图所示， 根据图象得，若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，则a的取值范围是(－1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $