课下培优巩固练（四十九）几个函数模型的比较-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．下列函数中，增长速度越来越慢的是(　　) A．y＝6x B．y＝log6x C．y＝x6 D．y＝6x 解析：选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意． 2．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(　　) A．y＝100x B．y＝ C．y＝log2x D．y＝x100 解析：选B.因为指数函数y＝是几何级数增长，当x越来越大时，增长速度最快．故选B. 3．如图，记录了一种叫朱瑾的植物生长时间t(t≥1)年与树高y(米)之间的散点图．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型可能是(　　) A.y＝t B．y＝2t C．y＝t2 D．y＝log2t＋0.2 解析：选D.由图象增长特征可知，函数模型应该是缓慢增长的，故BC不符合题意； 选项A中，函数y＝t过点，而散点图显然不过该点，且即使是直线模型斜率也小于1，故A不符合题意；选项D中，对数型函数增长缓慢，过点，符合题意．故选D. 4．有一组实验数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 y 1.5 5.9 13.4 24.1 37 下列所给函数模型较适合的是(　　) A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1) C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1) 解析：选C.通过所给数据可知y随x增大而增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数增长速度保持不变．选C. 5．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，某地根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL，那么，此人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时). 解析：设经过x小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，所以≤0.3，当x＝1，2，3，4时，＞0.3，而当x＝5时，＜0.3，所以x最小应取5，即此人至少经过5小时才能开车． 答案：5 6．某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励，且奖金y随利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中符合该商场的要求的模型是________． 解：在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象如图所示： 观察图象可知，在区间[5，100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方， 只有函数y＝log5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方， 这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合商场的要求． 答案：y＝log5x 【能力提升题组】 7．三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1 715 3 645 6 655 y2 5 29 245 2 189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.985 7.2 7.4 则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数变化的变量依次为(　　) A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3 C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2 解析：选C.通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y1随x的变化符合此规律，故选C. 8．(多选)下面对函数f(x)＝logx与g(x)＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中错误的有(　　) A．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越快 B．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越慢 C．f(x)的衰减速度越来越慢，g(x)的衰减速度越来越慢 D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快 解析：选ABD.结合指数函数y＝和对数函数y＝logx的图象易得C正确，ABD错误． 9．如图，已知点A，B是函数f(x)＝log216x图象上的两点，点C是函数g(x)＝log2x图象上的一点，且直线BC垂直于x轴，若△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，则点A的横坐标为________，点B的横坐标为________ . 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则y1＝log216x1，y2＝log216x2，y3＝log2x3，x2＝x3. 因为△ABC是等腰直角三角形(其中A为直角顶点)，所以y2－y3＝log216＝4，y2＋y3＝2y1， 即log216x2－log2x3＝2(x2－x1)， log216x2＋log2x3＝2log216x1， 化简可得x2－x1＝2，log2x2＝2＋log2x1， 解得x1＝，x2＝. 答案：　 10．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2015年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(万件)之间的关系如下表所示： x 1 2 3 4 f(x) 4.00 5.58 7.00 8.44 若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)＝ax＋b，f(x)＝2x＋a，f(x)＝logx＋a. (1)找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2015年和2017年的数据求出相应的解析式； (2)因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2021年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2021年的年产量． 解：(1)符合条件的是f(x)＝ax＋b， 若模型为f(x)＝2x＋a， 则由f(1)＝21＋a＝4，得a＝2， 即f(x)＝2x＋2， 此时f(2)＝6，f(3)＝10，f(4)＝18，与已知相差太大，不符合． 若模型为f(x)＝logx＋a， 则f(x)是减函数，与已知不符合． 由已知得解得 所以f(x)＝x＋，x∈N. (2)2021年预计年产量为f(7)＝×7＋＝13，2021年实际年产量为13×(1－30%)＝9.1. 2021年的年产量为9.1万件． 学科网（北京）股份有限公司 $