课下培优巩固练（四十八）用二分法求方程的近似解-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是(　　) 解析：选A.由图象可知A中图象在与x轴的交点附近连续，且零点左右两侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点． 2．用二分法求函数f(x)＝x＋lg x－2的零点，可以取的初始区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选B.因为y＝x，y＝lg x是单调增函数，故f(x)是单调增函数，其零点至多有一个； 又f(1)＝－1，f(2)＝lg 2>0，故用二分法求其零点，可以取的初始区间是(1，2). 3．若函数f(x)＝x2－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算，列表如下： x 1 1.5 1.25 1.375 1.3125 f(x) －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0.1)可以为(　　) A．1.3 B．1.32 C．1.437 5 D．1.25 解析：选B.由f(1.312 5)<0，f(1.375)>0，且f(x)为连续函数，由零点存在性定理知：区间(1.312 5，1.375)内存在零点，故方程x3－x－1＝0的一个近似根可以为1.32，B选项正确，其他选项均不可． 4．在用二分法求方程3x＋2x－10＝0在(1，2)上的近似解时，构造函数f(x)＝3x＋2x－10，依次计算得f(1)＝－5<0，f(2)＝3>0，f(1.5)<0，f(1.75)>0，f(1.625)<0，则该近似解所在的区间是(　　) A．(1，1.5) B．(1.5，1.625) C．(1.625，1.75) D．(1.75，2) 解析：选C.根据已知f(1)＝－5<0，f(1.5)<0，f(1.625)<0，f(1.75)>0，f(2)＝3>0，根据二分法可知该近似解所在的区间是(1.625，1.75). 5．已知函数的—个零点附近的函数值的参考数据如表： x 0 0.5 0.531 25 0.562 5 0.625 0.75 1 f(x) －1.307 －0.084 －0.009 0.066 0.215 0.512 1.099 由二分法求得方程ln (x＋1)＋2x－m＝0的近似解(精确度为0.05)可能是(　　) A．0.625 B．－0.009 C．0.5625 D．0.066 解析：选C.设方程ln (x＋1)＋2x－m＝0的近似解为x0， 因为f(0.531 25)<0，f(0.562 5)>0，所以x0∈(0.531 25，0.562 5)， 因为0.562 5－0.531 25＝0.031 25<0.05， 所以方程的近似解可取为0.562 5. 6．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈________，第二次应计算________． 解析：二分法要不断地取区间的中点值进行计算．由f(0)＜0，f(0.5)＞0，知x0∈(0，0.5).再计算0与0.5的中点0.25的函数值，以判断x0更准确的位置． 答案：(0，0.5)　f(0.25) 7．用“二分法”求函数y＝f(x)零点的近似值时，若第一次所取的区间是[0，m]，则第三次所取的区间可能是__________．(只需写出满足条件的一个区间即可) 解析：由第一次所取的区间是[0，m]，取该区间的中点，所以第二次所取的区间或， 区间的中点，区间的中点， 所以第三次所取的区间可能是或或或. 答案：或或或(写一个即可) 8．用二分法研究函数f(x)＝lg x－的零点时，第一次经计算可知f(8)f(12)<0，说明该函数在区间(8，12)存在零点x0，那么经过下一次计算可知x0∈________(填区间). 解析：f(8)＝lg 8－<0，f(12)＝lg 12－>0， 而f(10)＝lg 10－＝1－<0，则f(10)·f(12)<0， 答案：(10，12) 9．用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤． 解：先根据f(a)f(b)<0，确定f(x)＝0的近似解在区间(a，b)内，再计算f，若f(a)f<0， 则确定f(x)＝0的近似解在区间内，若f＝0，则解为，否则在区间，重复取中点，进行上述运算，直到b－a小于或等于要求的精确度，再取作为方程的近似解． 10．利用计算器，求方程x3＋3x－1＝0在区间(0，1)上的近似解(精确到0.1). 解：设f(x)＝x3＋3x－1， f(0)＝－1<0，f(1)＝3>0，x∈(0，1)， f(0.5)≈0.63>0，x∈(0，0.5)， f(0.25)≈－0.23<0，x∈(0.25，0.5)， f(0.375)≈0.18>0，x∈(0.25，0.375)，0.375－0.25＝0.125>0.1， f(0.312 5)≈－0.032<0，x∈(0.312 5，0.375)，0.375－0.312 5＝0.062 5<0.1， 在区间(0.312 5，0.375)上取近似值为x≈0.3. 【能力提升题组】 11．(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x2－2x＋1 C．f(x)＝log4x D．f(x)＝ex－2 解析：选ACD.f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选A、C、D. 12．(2025·南通如皋高一上期末)函数f(2x)＝x＋2x－5，则f(x)的零点所在的区间为(　　 ) A．(4，5) B．(5，6) C．(2，3) D．(3，4) 解析：选D.令2x＝t，∴x＝log2t，则f(2x)＝x＋2x－5化为f(t)＝log2t＋t－5，t>0， 即f(x)＝log2x＋x－5，x>0，该函数在(0，＋∞)上单调递增， f(2)＝3－5＝－2<0，f(3)＝log23－2<0，f(4)＝6－5＝1>0，即f(3)f(4)<0， 故f(x)的零点所在的区间为(3，4). 13．(多选)已知函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，在用二分法求零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法不正确的是(　　) A．函数f(x)在区间内一定有零点 B．函数f(x)在区间或内有零点或零点是 C．函数f(x)在内无零点 D．函数f(x)在区间或内有零点 解析：选ACD.依题意，函数f(x)在区间(0，a)(a>0)上有唯一的零点，且零点在区间内，区间的中点为， 若f＝0，则f(x)的零点是，若f≠0，则f(x)的零点在区间或内， 于是得选项A不正确，选项B正确，选项C不正确，选项D不正确． 14．从上海到旧金山的海底电缆有15个接点，现发现某处接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，一般最多需要检查接点的个数是________． 解析：先检查中间的1个接点，若正常，则可断定故障在其另一侧的7个接点中；然后检查这一段中间的1个接点，若仍正常，则可断定故障在其另一侧的3个接点中；最后只需检查这3个接点中间的1个，即可找出故障所在．故一般最多只需检查3个接点． 答案：3 15．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________． 解析：∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴有且仅有一个交点．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b. 答案：a2＝4b 16．已知函数f(x)＝ax＋(a＞1). (1)求证：f(x)在(－1，＋∞)上为增函数； (2)若a＝3，求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01). 解：(1)证明：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1(a>1)，且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0(a>1)，∵x1＋1>0，x2＋1>0， ∴－＝>0， 于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0.故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数． (2)由(1)知当a＝3时，f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个． ∵f(0)＝－1＜0，f(1)＝＞0，∴方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点值 中点函数近似值 (0，1) 0.5 0.732 (0，0.5) 0.25 －0.084 (0.25，0.5) 0.375 0.328 (0.25，0.375) 0.312 5 0.124 (0.25，0.312 5) 0.281 25 0.021 (0.25，0.281 25) 0.265 625 －0.032 (0.265 625，0.281 25) 0.273 437 5 －0.005 43 (0.273 437 5，0.281 25) 因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5＜0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5. 17．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)＞0，f(1)＞0. (1)证明：a＞0； (2)利用二分法证明方程f(x)＝0在[0，1]上有两个实根． 证明：(1)∵f(1)＞0， ∴3a＋2b＋c＞0，即3(a＋b＋c)－b－2c＞0. 又a＋b＋c＝0，∴－b－2c＞0，则－b－c＞c，a＝－b－c＞c. 又f(0)＞0，∴c＞0，∴a＞0. (2)在[0，1]内选取二等分点， 则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a＜0. ∵f(0)＞0，f(1)＞0， ∴f(x)在区间和内至少各有一个零点． 又f(x)最多有两个零点，∴方程f(x)＝0在[0，1]上有两个实根． 学科网（北京）股份有限公司 $