课下培优巩固练（十五）一元二次不等式的解法-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．(2025·南通如皋高一上期末)已知集合A＝{x|≤2}，集合B＝{x|x2＋3x－4≤0}．则A∩B＝(　　 ) A．[－4，4] B．[0，1] C．[－4，1] D．(－∞，4] 解析：选B.对于不等式≤2，解得0≤x≤4，所以A＝{x|0≤x≤4}， 对于不等式x2＋3x－4≤0，即(x＋4)(x－1)≤0，解得－4≤x≤1， 所以B＝{x|－4≤x≤1}， 所以A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1]. 2．设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　) A． B．{x|x>a} C． D． 解析：选A.∵a<－1，∴a(x－a)<0⇔(x－a)·>0.又a<－1，∴>a，∴x>或x<a. 3．已知命题p：“∀x∈R，(a＋1)x2－2(a＋1)x＋3≥0”，则实数a的取值范围是(　　) A．－1<a<2 B．a≥1 C．a<－1 D．－1≤a≤2 解析：选D.当a＝－1时，3≥0成立；当a≠－1时，需满足解得－1<a≤2. 综上所述，－1≤a≤2. 4．(多选)(2025·盐城五校联盟高一上期末)集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|x<m}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则m可以是(　　 ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选BCD.A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A是B的真子集，所以m≥3. 5．写出一个解集为(－2，3)的一元二次不等式：______． 解析：由一元二次不等式的解法可知，解集为(－2，3)的一元二次不等式可以是(x＋2)(x－3)<0，即x2－x－6<0. 答案：x2－x－6<0(答案不唯一) 6．已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是________． 解析：因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，y＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4的最大值为4，所以a2－3a≤4，解得－1≤a≤4. 答案：[－1，4] 7．已知关于x的不等式ax2－(3a＋1)x＋3<0. (1)当a＝－2时，解此不等式； (2)当a>0时，解此不等式． 解： (1)当a＝－2时，不等式－2x2＋5x＋3＜0，整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－或x＞3，当a＝－2时，原不等式解集为. (2)当a＞0时，不等式ax2－(3a＋1)x＋3＜0，整理得：(x－3)＜0， 当a＝时，＝3，此时不等式无解； 当0＜a<时，>3，解得3＜x＜； 当a＞时，＜3，解得＜x＜3； 综上：当a＝时，解集为∅； 当0＜a＜时，解集为； 当a＞时，解集为. 8．已知集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|4x＋1≥0}． (1)求(∁RA)∪B； (2)集合C＝{x|(x－a＋1)(x－a2)<0}，若“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件，求a的取值范围． 解：(1)因为A＝{x|x≤－1或x≥2}，B＝ ， 所以∁RA＝{x|－1<x<2}，故(∁RA)∪B＝{x|x>－1}． (2)由a2－a＋1＝＋>0， 即a2>a－1， 所以C＝{x|(x－a＋1)(x－a2)<0}＝(a－1，a2)， 因为“x∈C”是“x∈A”的充分不必要条件，所以C⫋A， 所以a－1≥2或a2≤－1，可得a≥3， 即a的取值范围是[3，＋∞). 9．已知二次函数f(x)＝x2＋2ax＋2. (1)若x∈[1，5]时，不等式f(x)>3ax恒成立，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式(a＋1)x2＋x>f(x)(其中a<0). 解： (1)不等式f(x)>3ax，即为：x2＋2ax＋2>3ax，当x∈[1，5]时，不等式可变形为：a<＝x＋，因为x＋≥2＝2， 当且仅当x＝时取等号，所以＝2，所以实数a的取值范围是a<2； (2)不等式(a＋1)x2＋x>f(x)，即(a＋1)x2＋x>x2＋2ax＋2， 等价于ax2＋(1－2a)x－2>0，转化为(x－2)(ax＋1)>0； 当－<a<0时，因为－>2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为； 当a＝－时，因为－＝2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为∅； 当a<－时，因为－<2，所以不等式(x－2)(ax＋1)>0的解集为. 综上所述，当－<a<0时，不等式的解集为；当a＝－时，不等式的解集为∅； 当a<－时，不等式的解集为. 【能力提升题组】 10．(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数的值可以是(　　　). A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选BC.画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标x的集合，由函数f(x)＝x2＋5x＋m的图象的对称轴为x＝－，所以为使得不等式的解集中有且仅有2个整数，必须且只需使得解得4≤m<6.故选BC. 11．对于实数x，当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，则关于x的不等式4[x]2－36[x]＋45<0的解集为________． 解析：由4[x]2－36[x]＋45<0，得<[x]<，又当且仅当n≤x<n＋1(n∈N*)时，[x]＝n，所以[x]＝2，3，4，5，6，7，所以所求不等式的解集为{x|2≤x<8}． 答案：{x|2≤x<8} 12．在①∃x∈[－2，0]，②∀x∈[－2，0]，这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题．已知函数f(x)＝x2＋2x－a. (1)若命题：“______，f(x)≥0”为真命题，求实数a的取值范围； (2)当a>1时，求关于x的不等式f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1的解集． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 解：(1)由f(x)≥0，得x2＋2x－a≥0，即a≤x2＋2x.设g(x)＝x2＋2x， 则g(x)＝(x＋1)2－1在[－2，0]上的最小值为g(－1)＝－1，最大值为g(－2)＝g(0)＝0. 选择条件①，则a≤x2＋2x在[－2，0]上成立， 所以a≤0，故实数a的取值范围是(－∞，0]. 选择条件②，则a≤x2＋2x在[－2，0]上恒成立， 所以a≤－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1]. (2)由f(x)≥(a＋1)x2＋(1－a)x－a＋1，可得ax2－(a＋1)x＋1≤0，即(ax－1)(x－1)≤0， 因为a>1，所以(x－1)≤0. ∵<1，不等式的解集为. 13．设函数f(x)＝ax2＋2ax＋4，a∈R. (1)若关于x的不等式f(x)>0在实数集R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当a≤0时，解关于x的不等式f(x)>(a＋1)x＋5. 解：(1)由题意可得，关于x的不等式ax2＋2ax＋4>0在实数集R上恒成立， 当a＝0时，4>0，所以恒成立； 当a≠0时，因为不等式ax2＋2ax＋4>0在实数集R上恒成立， 所以解得0<a<4， 综上所述，实数a的取值范围是[0，4). (2)因为f(x)＝ax2＋2ax＋4， 当a≤0时，由f(x)>(a＋1)x＋5，得ax2＋(a－1)x－1>0，所以(ax－1)(x＋1)>0.若a＝0时，则不等式变为x＋1<0，可得x<－1； 若a<0时，则不等式可变为(x＋1)<0； 当a<－1时，即>－1，可得－1<x<； 当a＝－1时，即＝－1，(x＋1)2<0，显然不成立，解集为∅； 当－1<a<0时，即<－1，可得<x<－1. 综上所述： 当a＝0时，解集为{x|x<－1}； 当－1<a<0时，解集为； 当a＝－1时，解集为∅； 当a<－1时，解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $