课下培优巩固练（十六）一元二次不等式的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．某小型服装厂生产一种风衣，日销售量x(件)与单价P(元)之间的关系为P＝160－2x，生产x件所需成本为C(元)，其中C＝500＋30x，若要求每天获利不少于1 300元，则日销量x的取值范围是(　　) A．20≤x≤30，x∈N* B．20≤x≤45，x∈N* C．15≤x≤30，x∈N* D．15≤x≤45，x∈N* 解析：选B.由题意知每天的获利为Px－C＝(160－2x)x－(500＋30x)＝－2x2＋130x－500，令－2x2＋130x－500≥1 300，解得20≤x≤45，x∈N*. 2．已知b，c∈R，关于x的不等式x2＋bx＋c<0的解集为(－2，1)，则关于x的不等式cx2＋bx＋1>0的解集为(　　) A． B． C．∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪ 解析：选A.因为不等式x2＋bx＋c<0的解集为(－2，1)， 所以即 不等式cx2＋bx＋1>0等价于－2x2＋x＋1>0，解得－<x<1. 3．以每秒a m的速度从地面垂直向上发射子弹，t s后的高度x m可由x＝at－4.9t2确定，已知5 s后子弹高245 m，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为(　　) A．4 s B．5 s C．6 s D．7 s 解析：选B.因为5 s后子弹高245 m，所以有245＝a·5－4.9×52⇒a＝73.5， 即x＝73.5t－4.9t2， 由题意可知x＝73.5t－4.9t2≥245，解得5≤t≤10，子弹保持在245 m以上(含245 m)高度的时间为10－5＝5 s. 4．(多选)某城市对一种每件售价为160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若年销售量为万件，要使附加税不少于128万元，则R的值可以是(　　) A．3 B．4 C．7 D．8 解析：选BCD.根据题意，要使附加税不少于128万元，需×160×R%≥128， 整理得R2－12R＋32≤0，解得4≤R≤8， 所以R的值可以是4，7，8. 5．若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a<0)的两个零点为－1和3，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集是________________． 解析：由题意知二次函数的图象与x轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，且开口向下，所以不等式的解集为{x|x>3或x<－1}. 答案：{x|x>3或x<－1} 6．已知不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<7}，则实数a的值为______，函数y＝x2＋bx＋a的所有零点之和等于______． 解析：由题设，易知－2，7是ax2＋bx＋1＝0的两个根，则所以 对于y＝x2＋bx＋a，其所有零点之和为－b＝－. 答案：－　－ 7．某杂志以每册12元的价格可发行12万册，设定价每提高(降低)1元，发行量减少(增加)4万册．若要使总收入不低于200万元，则该杂志的最高定价是________． 解析：设杂志的定价为x元，根据题意得x＝－40 000x2＋600 000x≥2 000 000，解得5≤x≤10，所以该杂志的最高定价是10元． 答案：10元 8．某企业用1 960万元购得一块空地，计划在该空地建造一栋x(x≥8，x∈N)层，每层2 800平方米的楼房．经测算，该楼房每平方米的平均建筑费用为565＋70x(单位：元). (1)当该楼房建多少层时，每平方米的平均综合费用最少？最少为多少元？ (2)若该楼房每平方米的平均综合费用不超过2 000元，则该楼房最多建多少层？(注：综合费用＝建筑费用＋购地费用) 解：(1)设该楼房每平方米的平均综合费用为y元， 则y＝＋565＋70x＝＋70x＋565， 因为＋70x≥2×700＝1 400，当且仅当＝70x，即x＝10时，等号成立， 所以当该楼房建10层时，每平方米的平均综合费用最少，且最小值为700＋700＋565＝1 965元． (2)由(1)可知该楼房每平方米的平均综合费用y＝＋70x＋565， 则＋70x＋565≤2 000，即2x2－41x＋200≤0，即(2x－25)(x－8)≤0，解得8≤x≤12.5. 因为x∈N，所以该楼房最多建12层． 9．已知函数f(x)＝x2－ax＋2. (1)若f(x)≤－4的解集为{x|2≤x≤b}，求实数a，b的值； (2)当时，若关于x的不等式f(x)≥1－x2恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若f(x)≤－4的解集为{x|2≤x≤b}，则x2－ax＋6≤0的解集为{x|2≤x≤b}， 所以解得a＝5，b＝3. (2)由f(x)≥1－x2得2x2－ax＋1≥0对x≥恒成立， 即a≤2x＋在上恒成立，所以a≤，x∈， 又2x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，取等号， 所以＝2，即a≤2，故实数a的取值范围为{a|a≤2}． 【能力提升题组】 10．关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|m<x<n}(m<n)，有下列四个结论： 甲：m＝－3 乙：n＝－1 丙：m＋n＝－2 丁：ac<0 如果只有一个假命题，则假命题是(　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 解析：选B.假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有乙是假命题，m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，∴ac<0， 符合题意；假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意； 假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意． 11．一般地，把b－a称为集合{x|a<x<b}的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范围为________． 解析：不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k>8或k<0， 设x2－kx＋2k＝0的两根为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k， 由题意得：x2－x1＝＝≤3，解得：－1≤k≤9，结合k>8或k<0，所以实数k的取值范围为{k|－1≤k<0或8<k≤9}． 答案：{k|－1≤k<0或8<k≤9} 12．某建筑队在一块长AM＝30 m，宽AN＝20 m的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如图中矩形ABCD的学生公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB的长度为x m， (1)要使矩形学生公寓ABCD的面积不小于144 m2，AB的长度应该在什么范围？ (2)长度AB和宽度AD分别为多少米时，矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m2? 解：(1)依题意知△NDC∽△NAM， ∴＝， 即＝，则AD＝20－x. 故矩形ABCD的面积S＝20x－x2(0<x<30). 要使学生公寓ABCD的面积不小于144平方米， 即S＝20x－x2≥144，化简得x2－30x＋216≤0， 解得12≤x≤18，故AB的长度范围应在12≤x≤18内． (2)S＝20x－x2＝x(30－x)≤2＝150， 当且仅当x＝30－x，即x＝15时等号成立．此时AD＝20－x＝10. 故AB＝15 m，AD＝10 m时，学生公寓ABCD的面积最大，最大值是150 m2. 13．考虑到高速公路行车安全需要，一般要求高速公路的车速v(公里/小时)控制在60≤v≤120范围内．已知汽车以v公里/小时的速度在高速公路上匀速行驶时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为升，其中k为常数，不同型号汽车k值不同，且满足60≤k≤120. (1)若某型号汽车以120公里/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使这种型号的汽车每小时的油耗不超过9升，求车速v的取值范围； (2)求不同型号汽车行驶100千米的油耗的最小值． 解：(1)由题意可知，当v＝120时，＝11.5，解得k＝100， 由≤9，即v2－145v＋4 500≤0，解得：45≤v≤100， 因为要求高速公路的车速v(公里/小时)控制在60≤v≤120范围内， 所以60≤v≤100， 故汽车每小时的油耗不超过9升，车速v的取值范围为{v|60≤v≤100}． (2)设该汽车行驶100千米的油耗为y升， 则y＝·＝20－＋(60≤v≤120)， 令t＝，则≤t≤， 所以y＝90 000t2－20kt＋20＝9 0002＋20－，≤t≤， 可得对称轴为t＝，由60≤k≤120，可得<<， 当≤≤时，即75≤k≤120时， 则当t＝时，ymin＝20－； 当≤<，即60≤k<75时， 则当t＝时，ymin＝90 000×－20k×＋20＝－； 综上所述，当75≤k≤120时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为20－升； 当60≤k<75时，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为－升． 学科网（北京）股份有限公司 $