课下培优巩固练（九）全称量词命题与存在量词命题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．下列四个命题中，是真命题的为(　　) A．任意x∈R，有x2＋3<0 B．任意x∈N，有x2>1 C．存在x∈Z，使x5<1 D．存在x∈Q，使x2＝3 解析：选C.由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，故A为假命题； 由于0∈N，当x＝0时，x2>1不成立，故B为假命题； 由于－1∈Z，当x＝－1时，x5<1，故C为真命题； 由于使x2＝3成立的数只有±，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题． 2．(多选)下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．奇数都不能被2整除 B．有的实数是无限不循环小数 C．角平分线上的任意一点到这个角的两边的距离相等 D.对任意实数x，方程x2＋1＝0都有解 解析：选AC.选项A与C既是全称量词命题又是真命题，B项是存在量词命题，D项是假命题． 3．以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选B.锐角三角形的内角都是锐角，A是假命题； x＝0时，x2≤0，所以B选项中的命题既是存在性命题又是真命题； ＋＝0，所以C选项中的命题是假命题； x<0时，<0<2，所以D选项中的命题是假命题． 4．(多选)设p：x>x2，则以下说法正确的有(　　) A．“∀x∈R，p”是假命题 B．p是假命题 C．“∃x∈R，p”是假命题 D．p是假命题 解析：选ABD.对于A，当x＝0时，x＝x2，故正确；对于B，当x＝3时，3<32，故正确； 对于C，当x＝时，>，是真命题，故错误；对于D, 当x＝1时，1＝12，故正确． 5．(多选)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈Z，x2的个位数字不等于3 B．∀x∈{y是无理数}，x3是无理数 C．∃x∈N, ∈N D．∃x∈Z，x2＋1是4的倍数 解析：选AC.对于A选项，∀x∈Z，其个位数为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，平方后个位数字为0，1，4，5，6，9，不能为3，故正确； 对于B选项，令y＝，则y3＝＝3是有理数，故错误； 对于C选项，令x＝0，则＝1∈N，故正确； 对于D选项，当x是奇数时，不妨设x＝2k＋1，k∈Z，则x2＋1＝4k2＋4k＋2＝4，由于k∈Z，故k2＋k＋∉Z，故x2＋1＝4k2＋4k＋2＝4不是4的倍数，当x是偶数时，x2＋1是奇数，不是4的倍数，故错误． 6．设非空集合P，Q满足P∪Q＝Q，则下列命题正确的是(　　) A．∀x∈P，x∈Q B．∃x∈Q，x∉P C．∃x∈P，x∉Q D．∀x∈Q，x∉P 解析：选A.因为非空集合P，Q满足P∪Q＝Q，所以P⊆Q. 对于AC，由子集的定义知P中任意一个元素都是Q中的元素，即∀x∈P，x∈Q，故A正确，C错误； 对于BD，由P⊆Q，分类讨论：若P是Q的真子集，则∃x∈Q，x∉P；若P＝Q，则∀x∈Q，x∈P.故 BD错误． 7．选择适当的符号“∀”“∃”表示下列命题：有一个实数x，使x2＋2x＋3＝0：___________． 解析：“有一个”是存在量词，所以是存在量词命题．即：∃x∈R，有x2＋2x＋3＝0. 答案：∃x∈R，有x2＋2x＋3＝0 8．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假： (1)有的偶数是3的倍数； (2)矩形的对角线相等； (3)有的平行四边形的四个角都相等； (4)平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线． 解：(1)命题为存在量词命题，且为真命题； (2)命题为全称量词命题，且为真命题； (3)命题为存在量词命题，且为真命题； (4)命题为全称量词命题，且为真命题． 【能力提升题组】 9．若命题“∀x∈，x2－a≤0”为真命题，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为命题“∀x∈，x2－a≤0”为真命题，则对∀x∈，a≥恒成立，又当x＝－2时，＝4，所以实数a的取值范围是. 10．(多选)已知全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则下列关系一定正确的是(　　) A．∃x∈U，x∉A且x∈B B．∀x∈A，x∉B C．∀x∈U，x∈A或x∈B D．∃x∈U，x∈A且x∈B 解析：选AB.全集为U，A，B是U的非空子集且A⊆∁UB，则A，B，U的关系用Venn图表示如图所示， 观察图形知，∃x∈U，x∉A且x∈B，A正确； 因A∩B＝∅，必有∀x∈A，x∉B，B正确； 若A⫋∁UB，则(∁UA)∩(∁UB)≠∅，此时∃x∈U，x∈[(∁UA)∩(∁UB)]，即x∉A且x∉B，C不正确； 因A∩B＝∅，则不存在x∈U满足x∈A且x∈B，D不正确． 11．命题“＝”是全称量词命题吗？如果是，请给予证明；如果不是，请补充必要的条件，使之成为全称量词命题． 解：存在1＋b<0使得命题“＝”不成立． 故不是全称量词命题，增加“对∀a，b∈R，且满足1＋b>0，a＋b≥0”，得到命题是全称量词命题． 12．从两个符号“∀”“∃”中任选一个填写到①的位置，并完成下面的问题． 已知集合A＝{x|5≤x≤6}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若命题：①x∈A，则x∈B是真命题，求m的取值范围． 解：由已知集合A＝{x|5≤x≤6}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若选∀，则“∀x∈A，则x∈B”是真命题，则A⊆B， 所以解得≤m≤4； 若选∃，则p：“∃x∈A，满足x∈B”是真命题， 若¬p即“∀x∈A，则x∉B”为真命题，则m＋1>2m－1或 或 解得m<3或m>5，故若p为真，只需3≤m≤5. 学科网（北京）股份有限公司 $