课下培优巩固练（二十五）奇偶性的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．给定函数：①y＝x3；②y＝x2－1；③y＝x－；④y＝x.其中奇函数是(　　) A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 解析：选D.①令f＝x3，f＝－x3＝－f，f为奇函数． ②令f＝x2－1，f＝x2－1＝f，f为偶函数． ③令f＝x－，f的定义域为，f＝－x＋＝－f，f为奇函数． ④令f＝x，f＝－x＝－x≠±f，所以f为非奇非偶函数． 所以奇函数是①③. 2．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：选B.∵F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x). 又x∈(－a，a)关于原点对称，∴F(x)是偶函数． 3．设f是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x，则f等于(　　) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选A.∵f是奇函数，当x≤0时，f＝2x2－x， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[2×(－1)2－(－1)]＝－3. 4．函数f(x)＝的图象关于(　　) A．x轴对称 B．y轴对称 C．原点对称 D．y＝x对称 解析：选C.由f(x)＝，则解得－3≤x≤3且x≠0，所以函数的定义域为[－3，0)∪(0，3]，关于原点对称，f(－x)＝＝－＝－f(x)，故函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称． 5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(－2)＝________． 解析：根据题意，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x3＋x2＋1，则f(2)＝8＋4＋1＝13， 又因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－13. 答案：－13 6．奇函数y＝f(x)的局部图象如图所示，则f(2)与f(4)的大小关系为______． 解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以f(2)＝－f(－2)，f(4)＝－f(－4)，由函数图象可知f(－2)＜f(－4)，所以－f(－2)＞－f(－4)，即f(2)＞f(4). 答案：f(2)＞f(4) 7．判断下列函数的奇偶性： (1)f＝2x2＋； (2)f(x)＝|2x＋1|－|2x－1|； (3)f(x)＝ 解：(1)∵函数f的定义域为R， f＝2＋＝2x2＋＝f， ∴f是偶函数． (2)奇函数．定义域为R. 因为f(－x)＝|－2x＋1|－|－2x－1|＝|2x－1|－|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (3)奇函数．画出其图象如图，可见f(x)的定义域为R，且图象关于原点对称，所以f(x)为奇函数． 【能力提升题组】 8．(多选)下列四个选项中不正确的是(　　) A．偶函数的图象一定与y轴相交 B．奇函数的图象在[a，b]，[－b，－a]上的单调性一定相同 C．偶函数的图象关于y轴对称 D．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必过(－a，f(a)) 解析：选AD.偶函数的图象一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)＝x0，其定义域为{x|x≠0}，故其图象与y轴不相交，但f(x)＝x0＝1(x≠0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的． 奇函数的图象关于原点对称，若在[a，b]内单调递增(单调递减)，则在[－b，－a]内也为单调递增(单调递减)，故B正确．若点(a，f(a))在奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象上，则点(－a，－f(a))也在其图象上，故D是错误的． 9．设函数f(x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：选B.法一　f(x－1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项A不符合题意；f(x－1)＋1＝＋1＝，是奇函数，故选项B符合题意；f(x＋1)－1＝－1＝，不是奇函数，故选项C不符合题意；f(x＋1)＋1＝＋1＝，不是奇函数，故选项D不符合题意．故选B. 法二　由f(x)＝＝＝－1＋，画出f(x)的图象(如图).由图可知，f(x)的图象关于点(－1，－1)对称，因而只需将f(x)的图象向右平移1个单位长度得函数y＝f(x－1)的图象，再将所得图象向上平移1个单位长度，即可得奇函数y＝f(x－1)＋1的图象．故选B. 10．已知函数f(x)＝，若f(a)＝，则f(－a)＝________． 解析：根据题意，f(x)＝＝1＋， 而h(x)＝是奇函数， 故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)] ＝2－f(a)＝2－＝. 答案： 11．已知函数f(x)＝ 是奇函数，且f(2)＝ . (1)求p，q的值； (2)判断f(x)在(1，＋∞)上的单调性． 解：(1)由奇函数定义，得f(－x)＝－f(x)， 即 ＝－ . 所以－3x＋q＝－3x－q，所以2q＝0，所以q＝0. 又f(2)＝ ，所以 ＝ ， 解得p＝2，所以p＝2，q＝0. (2)f(x)＝ ＝ . 设1<x1<x2，则Δx＝x1－x2<0， f(x1)－f(x2)＝ (x1＋ －x2－) ＝ ＝ (x1－x2)· . 因为1<x1<x2，所以x1x2>1， 所以 (x1－x2)· <0，即f(x1)<f(x2). 所以f(x)在x∈(1，＋∞)上是增函数． 学科网（北京）股份有限公司 $