课下培优巩固练（二十四）函数的最值-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．函数y＝f(x)(－2≤x≤2)的图象如图所示，则函数的最大值、最小值分别为(　　) A．f(2)，f(－2) B．f，f(－1) C．f，f D．f，f(0) 解析：选C.根据函数最值定义，结合函数图象可知，当x＝－时，有最小值f；当x＝时，有最大值f. 2．函数f(x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　) A．[0，3] B．[1，4] C．[0，6] D．[0，4] 解析：选C.∵函数y＝x＋在区间[0，4]上单调递增， 所以f(x)∈[f(0)，f(4)]＝[0，6]. 3．若函数f(x)＝x2＋(m＋1)x＋3在区间(3，5)内存在最小值，则m的取值范围是(　　) A．(5，9) B．(－11，－7) C．[5，9] D．[－11，－7] 解析：选B.由题意可得3<－<5，解得－11<m<－7.故选B. 4．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选C.因为f(x)＝－(x2－4x＋4)＋a＋4 ＝－(x－2)2＋4＋a， 所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝2. 所以f(x)在[0，1]上单调递增． 又因为f(x)min＝－2，所以f(0)＝－2，即a＝－2. 所以f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1. 5．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a<b<3)上有最大值9，最小值－7，则a＝______，b＝______． 解析：y＝－(x－3)2＋18，∵a<b<3， ∴f(x)在区间[a，b]上单调递增，即－b2＋6b＋9＝9， 得b＝0，－a2＋6a＋9＝－7，得a＝－2. 答案：－2　0 6．若x∈[0，1]，则函数f(x)＝－的最大值为______，最小值为______． 解析：因为y＝在[0，1]上单调递增，y＝在[0，1]上单调递减，所以f(x)＝－在[0，1]上单调递增．当x＝1时，f(x)取得最大值2；当x＝0时，f(x)取得最小值－1. 答案：2　－1 7．已知函数f(x)＝则f(x)的最大值为________． 解析：f(x)的图象如图，则f(x)的最大值为f(2)＝2. 答案：2 8．已知函数f(x)＝(x>0). (1)求证：f(x)在(0，1]上单调递增； (2)求函数f(x)的最大值和最小值． 解：(1)证明：设x1，x2是区间(0，＋∞)上的任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝ ＝. 当0<x1<x2≤1时，x2－x1>0，x1x2－1<0， ∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在(0，1]上单调递增． (2)当1≤x1<x2时，x2－x1>0，x1x2－1>0， f(x1)－f(x2)>0，f(x1)>f(x2)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递减． ∴结合(1)(2)可知，f(x)max＝f(1)＝，无最小值． 9．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝2. (1)求f(x)的解析式； (2)若在区间[－1，1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝2，∴c＝2，∴f(x)＝ax2＋bx＋2. ∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴2ax＋a＋b＝2x， ∴解得 ∴f(x)＝x2－x＋2. (2)由题意知x2－x＋2>2x＋m在[－1，1]上恒成立， 即x2－3x＋2－m>0在[－1，1]上恒成立． 令g(x)＝x2－3x＋2－m＝－－m(x∈[－1，1])， 则g(x)在区间[－1，1]上是减函数， ∴g(x)min＝g(1)＝1－3＋2－m>0， ∴m<0， 即实数m的取值范围为(－∞，0). 【能力提升题组】 10．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：选A.由题意，当x>0时，f(x)的最小值为f(1)＝2，当x≤0时，f(x)的最小值为f(0)＝a.若f(0)是f(x)的最小值，则a≤2. 11．(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])，下列结论正确的是(　　) A．∀x∈[－2，2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3 B．∃x∈[－2，2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3 C．∃x∈[0，3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3 D．∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t) 解析：选AC.在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2，2])是单调递减函数，所以当x＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1，3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2，2]，∃t∈[0，3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3，5]，g(t)的值域是[－1，3]，D错误． 12．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2，10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________． 解析：在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图象． 根据min{x＋2，10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图象应为图中的实线部分． 解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图象的交点为(4，6). 所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6. 答案：6 13．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则实数a的取值范围为________________． 解析：当x>0时， f(x)＝x＋＋a≥2·＋a＝2＋a， 当且仅当x＝，即x＝1时，等号成立，此时f(x)有最小值2＋a. 因为f(0)是f(x)的最小值， 所以当x≤0时， f(x)＝(x－a)2单调递减，故a≥0， 此时最小值f(0)＝a2， 故2＋a≥a2，解得－1≤a≤2， 又a≥0，所以0≤a≤2. 故实数a的取值范围为[0，2]. 答案：[0，2] 14．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x(不低于进价，单位：元)与日销售量y(单位：件)之间有如下关系： x 45 50 y 27 12 (1)确定x与y的一个一次函数关系式y＝f(x)(注明函数定义域). (2)若日销售利润为P元，根据(1)中的关系式写出P关于x的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？ 解：(1)因为f(x)是一次函数，设f(x)＝ax＋b (a≠0)，由表格得方程组解得 所以y＝f(x)＝－3x＋162. 又y≥0，所以30≤x≤54， 故所求函数关系式为y＝－3x＋162，x∈[30，54]. (2)由题意得， P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x) ＝－3x2＋252x－4 860 ＝－3(x－42)2＋432，x∈[30，54]. 当x＝42时，最大的日销售利润P＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润． 15．定义在实数集R上的函数f(x)，如果存在函数g(x)＝Ax＋B(A，B为常数)，使得f(x)≥g(x)对一切实数x都成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个承托函数． (1)判断函数g(x)＝x是不是函数f(x)＝2x2的一个承托函数，并说明理由； (2)请写出函数f(x)＝|x|的一个承托函数； (3)若函数g(x)＝2x－a为函数f(x)＝ax2的一个承托函数，求实数a的取值范围． 解：(1)函数g(x)＝x不是函数f(x)＝2x2的一个承托函数， 当x＝时，g(x)＝， f(x)＝，此时f(x)<g(x)，不满足承托函数的定义， 故函数g(x)＝x不是函数f(x)＝2x2的承托函数． (2)根据承托函数的定义可得函数f(x)＝|x|的一个承托函数是g(x)＝x.(答案不唯一) (3)若函数g(x)＝2x－a为函数f(x)＝ax2的一个承托函数， 则ax2≥2x－a对一切实数x都成立， 即ax2－2x＋a≥0对一切实数x都成立， 当a＝0时，g(x)＝2x, f(x)＝0，此时g(x)不是f(x)的承托函数， 当a≠0时，要满足题意，则有解得a≥1， 故实数a的取值范围为[1，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $