课下培优巩固练（二十三）单调性-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1<x2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为(　　) A．f(x1)<f(x2) B．f(x1)>f(x2) C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定 解析：选D.由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，所以f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定． 2．(多选)下列说法中，正确的有(　　) A．若任意x1，x2∈I，当x1<x2时，>0，则y＝f(x)在I上是增函数 B．函数y＝x2在R上是增函数 C．函数f(x)＝在定义域上是减函数 D．函数y＝的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选AC.当x1<x2时，x1－x2<0， 由>0知f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)<f(x2)，A正确； 作出函数f(x)＝的图象可知其在定义域上是减函数， 所以C正确；B和D错误． 3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　) A．b＝3 B．b≥3 C．b≤3 D．b≠3 解析：选C.函数f(x)＝x2－2bx＋2的图象是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C. 4．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3，1)是其图象上的两点，则－1<f(x)<1的解集是(　　) A.(－3，0) B．(0，3) C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：选B.由已知，得f(0)＝－1，f(3)＝1，∴－1<f(x)<1等价于f(0)<f(x)<f(3).∵f(x)在R上单调递增，∴0<x<3. 5．已知函数f(x)＝ 则f(x)的单调递增区间是________． 解析：根据题意，函数f(x)＝ 则在区间[0，＋∞)上，f(x)＝x2＋1，单调递增，且f(x)≥1，在区间(－∞，0)上，f(x)＝－x2＋1，单调递增，且f(x)＜1，故f(x)在R上为增函数，即其递增区间为(－∞，＋∞). 答案：(－∞，＋∞) 6．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的增函数，且f(x－2)<f(1－x)，则x的取值范围是________． 解析：由题意，得解得1≤x<， 故满足条件的x的取值范围是. 答案： 7．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，且f(m＋2)<f(2)，则实数m的取值范围是________. 解析：∵f(x)在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增， ∴－＝1，∴a＝－2.如图． ∵f(m＋2)<f(2)，f(0)＝f(2)， ∴0<m＋2<2，∴－2<m<0， 则实数m的取值范围为(－2，0). 答案：(－2，0) 8．作出函数f(x)＝的图象，并指出函数f(x)的单调区间． 解：f(x)＝的图象如图所示． 由图可知，函数f(x)＝的单调减区间为(－∞，1]和(1，2)，单调增区间为[2，＋∞). 9．已知函数f(x)＝x＋ . (1)用单调性的定义证明f(x)在[2，＋∞)上单调递增； (2)解不等式f(x2－2x＋4)≤f(7). 解：(1)设x1，x2是[2，＋∞)上任意两个实数，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1＋ －x2－ ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2) ＝ ， 因为2≤x1<x2，所以x1－x2<0，x1x2>4，x1x2－4>0， 所以f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)， 所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增． (2)因为x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3>2， 所以由(1)知x2－2x＋4≤7，即x2－2x－3≤0， 解得－1≤x≤3. 所以不等式的解集为{x|－1≤x≤3}． 【能力提升题组】 10．(多选)关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　) A．单调递减区间为(－∞，－3] B．单调递减区间为(－∞，－1] C．单调递增区间为[1，＋∞) D．单调递增区间为(－3，－1] 解析：选AC.该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数． 11．函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3 解析：选C.y＝＝1＋， 由题意知解得a≤－3. 12．已知函数f(x)＝ 若f(a2－4)＞f(3a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－4，1) B．(－∞，－4)∪(1，＋∞) C．(－1，4) D．(－∞，－1)∪(4，＋∞) 解析：选D.作出f(x)＝的图象如图， 可知f(x)在R上单调递增，若f(a2－4)＞f(3a)， 则a2－4＞3a，解可得a＞4或a＜－1. 13．已知函数f(x)＝若f(x)是R上的增函数，则实数a的取值范围为________． 解析：因为f(x)是R上的增函数， 所以解得4≤a<8. 答案：[4，8) 14．设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，则不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为________． 解析：由条件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1， ∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即为f(－2x)>f(3). ∵f(x)是定义在R上的增函数， ∴－2x>3， 解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集为. 答案： 15．已知函数f(x)＝x2－2x＋b. (1)若b＝1，求函数f(x)的值域； (2)若函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调，求实数b的取值范围． 解：(1)当b＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 所以函数f(x)的值域为[0，＋∞). (2)因为函数f(x)的定义域、值域都为[m，n]，且f(x)在[m，n]上单调， 当m≥1时，函数f(x)在[m，n]上单调递增， 此时即 等价于方程x2－2x＋b＝0在[1，＋∞)上有两个不等实根， 令g(x)＝x2－3x＋b， 则有解得2≤b<； 当n≤1时，函数f(x)在[m，n]上单调递减， 此时即 两式相减得：(m－n)(m＋n－1)＝0， 即m＝n(舍)或m＋n－1＝0，也即m＝1－n， 由m<n可得<n≤1， 将m＝1－n代入n2－2n＋b＝m可得方程n2－n＋b－1＝0在上有解， 即为函数b＝－n2＋n＋1在上的值域问题， 因为b＝－n2＋n＋1＝－＋在上单调递减，所以b∈. 综上所述，b的取值范围是∪. 16．已知函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f＝f(x)－f(y)，f(2)＝1，解不等式f(x)－f≤2. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2， 则x2－x1>0，即f(x2－x1)>1， 所以f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0， 所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)是R上的增函数． (2)因为f＝f(x)－f(y)， 所以f(y)＋f＝f(x). 在上式中取x＝4，y＝2，则有f(2)＋f(2)＝f(4)， 因为f(2)＝1，所以f(4)＝2. 于是不等式f(x)－f≤2等价于f[x(x－3)]≤f(4)(x≠3).又由(1)，知f(x)是R上的增函数， 所以解得－1≤x<3或3<x≤4， 所以原不等式的解集为[－1，3)∪(3，4]. 学科网（北京）股份有限公司 $