课下培优巩固练（二十七）幂函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．若幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则α的值为(　　) A．2 B．－2 C． D．－ 解析：选C.由已知可得f＝3α＝＝3，解得α＝. 2．下列函数既是幂函数又是偶函数的是(　　) A．f(x)＝3x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝x－3 解析：选C.函数的图象都经过点(1，1)，排除A； f(x)＝与f(x)＝x－3不是偶函数，排除B，D. 3．函数y＝x－1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 解析：选B.y＝x的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x－1的图象可看作是由y＝x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，则y＝x－1的图象关于x轴对称的图象即为选项B. 4．已知幂函数f(x)＝x，若f<f(3－2a)，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：选B.因为幂函数f(x)＝x是增函数，且定义域为， 由f<f得解得－1≤a<. 所以实数a的取值范围是 5．已知a∈，若幂函数f(x)＝bxa在上单调递减，则a＋b＝________． 解析：由题意得，b＝1，a＝－1，故a＋b＝0. 答案：0 6．已知幂函数f(x)的图象如图所示，则f(x)＝______．(写出一个正确结果即可) 解析：由幂函数图象知，函数f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)单调递减，于是得幂函数的幂指数为负数，而函数f(x)的图象关于y轴对称，即幂函数f(x)是偶函数，则幂函数f(x)的幂指数为偶数，综上得：f(x)＝x－2. 答案：x－2(答案不唯一) 7．比较下列各组数的大小． (1)3－和3.2－； (2)和； (3)4.1和3.8－. 解：(1)函数y＝x－在(0，＋∞)上为减函数，又3＜3.2，所以3－＞3.2－. (2)＝，＝，函数y＝x在(0，＋∞)上为增函数，而＞， 所以＞. (3)4.1＞1＝1，0＜3.8－＜1－＝1，所以4.1＞3.8－. 【能力提升题组】 8．(多选)已知幂函数f(x)＝xα图象过点(4，2)，则下列命题中正确的有(　　) A．α＝ B．函数f(x)的定义域为(0，＋∞) C．函数f(x)为偶函数 D．若x>1，则f(x)>1 解析：选AD.∵幂函数f(x)＝xα图象过点(4，2)，∴4α＝2，即α＝， ∴f(x)＝x，故A正确； 又函数的定义域为[0，＋∞)，故B错误； 函数为非奇非偶函数，故C错误； 当x>1时，f(x)＝x>1，故D正确． 9．给出幂函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝；⑤f(x)＝.其中满足条件f>(x1>x2>0)的函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选A.①函数f(x)＝x的图象是一条直线，故当x1>x2>0时，f() ＝； ②函数f(x)＝x2的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()<； ③在第一象限，函数f(x)＝x3的图象是下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f() <； ④函数f(x)＝的图象是上凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()>； ⑤在第一象限，函数f(x)＝的图象是一条下凸形曲线，故当x1>x2>0时，f()<. 故仅有函数f(x)＝满足当x1>x2>0时，f>. 10．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴和y轴没有交点，且关于y轴对称，则m等于________． 解析：∵幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称， ∴m2－2m－3≤0，且m2－2m－3(m∈Z)为偶数， 由m2－2m－3≤0，得－1≤m≤3，又m∈Z，∴m＝－1，0，1，2，3. 当m＝－1时，m2－2m－3＝1＋2－3＝0，为偶数，符合题意； 当m＝0时，m2－2m－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝1时，m2－2m－3＝1－2－3＝－4，为偶数，符合题意； 当m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3，为奇数，不符合题意； 当m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0，为偶数，符合题意． 综上所述，m＝－1，1，3. 答案：－1，1，3 11．已知幂函数f(x)＝ (－2<m<2，m∈Z)满足： (1)在区间上为增函数， (2)对任意的x∈R，都有f－f(x)＝0， 求同时满足(1)(2)的幂函数f(x)的解析式，并求当x∈时，f(x)的值域． 解：因为函数在上递增， 所以－m2－2m＋3>0，解得－3<m<1， 因为－2<m<2，m∈Z，所以，m＝－1，或m＝0. 又因为f＝f(x)，所以f(x)是偶函数， 所以－m2－2m＋3为偶数． 当m＝－1时，－m2－2m＋3＝4满足题意； 当m＝0时，－m2－2m＋3＝3不满足题意， 所以f(x)＝x4， 又因为f(x)＝x4在上递增． 所以f(x)min＝f＝0，f(x)max＝f＝256， 故函数的值域是. 学科网（北京）股份有限公司 $