课下培优巩固练（二十六）奇偶性的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（苏教版）

【基础巩固题组】 1．(2023·江苏常州高一期末)若函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x3＋3x＋1，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝2x3＋3x－1 B．f(x)＝2x3－3x－1 C．f(x)＝2x3－3x＋1 D．f(x)＝－2x3－3x＋1 解析：选A.∵函数f(x)是奇函数， ∴－f(x)＝f， ∵x>0时，f(x)＝2x3＋3x＋1， 设x<0时，则－x>0，∴f＝－2x3－3x＋1，∴f(x)＝2x3＋3x－1， 即x<0时，f(x)＝2x3＋3x－1. 2．(多选)已知奇函数f(x)在上是减函数，且在区间上的值域为，则在区间上(　　) A．有最大值4 B．有最小值－4 C．有最大值3 D．有最小值－3 解析：选BC.f(x)是奇函数，因此f(x)在[－b，－a]上仍然是减函数，且值域为[－4，3]，最小值是－4，最大值是3. 3．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) 解析：选B.∵f(x)为偶函数， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(2)＝f(－2). 又f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1， ∴f(2)＝f(－2)<f<f(－1). 4．已知函数f(x)为定义在上的偶函数，在上单调递减，并且f(－m－)<f，则实数m的取值范围是(　　) A． B．∪ C．∪ D．∪ 解析：选D.由题得1－a＝－4，∴a＝5. 因为在上单调递减，并且f(－m－1)<f(2)， 所以所以1<m≤3或－5≤m<－3. 5．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是______________． 解析：∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立， 即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立， ∴m＝0，即f(x)＝－x2＋2. ∵f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f(2)<f(1)<f(0)，即f(－2)<f(1)<f(0). 答案：f(－2)<f(1)<f(0) 6．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3，则f(－1)＝__________，函数f(x)的解析式是__________． 解析：由已知f(－1)＝－f＝－ ＝－2， 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[x2－2(－x)＋3]＝－x2－2x－3， 又f＝0， 所以f(x)＝ 答案：－2　f(x)＝ 7．已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f＝. (1)求a，b的值； (2)用定义证明f(x)在(－1，1)上是增函数； (3)解不等式：f(t－1)＋f(t)<0. 解：(1)因数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(0)＝0. 解得b＝0，即有f(x)＝，f＝＝＝，解得a＝1， 所以a＝1，b＝0. (2)由(1)知，f(x)＝， ∀x1，x2∈(－1，1)，x1<x2， f(x1)－f(x2)＝－＝＝ 因－1<x1<x2<1，则x1－x2<0，1－x1x2>0，而(1＋x)(1＋x)>0，因此，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以函数f(x)在(－1，1)上是增函数． (3)由已知及(1)(2)得：f(t－1)＋f(t)<0⇔f(t－1)<f(－t)⇔－1<t－1<－t<1，解得0<t<， 所以不等式f(t－1)＋f(t)<0的解集为. 【能力提升题组】 8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意非负数x1，x2恒有>0，若对于任意m∈R，f≤f(m2－2m＋2)恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，1] B．[－2，2] C．(0，2] D．[2，＋∞) 解析：选B.因为函数f(x)是定义在R上的偶函数， 所以对任意m∈R，f≤f(m2－2m＋2)恒成立等价于对m∈R，f≤f恒成立， 又因为对于任意非负数x1，x2恒有>0， 所以f(x)在[0，＋∞)上递增， 所以对m∈R，<恒成立， 令t＝＝≥1， 则≤1，解得－2≤a≤2. 9．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x<0时，f(x)>0，则f(x)满足(　　) A．f(0)＝0 B．y＝f(x)是奇函数 C．f(x)在[m，n]上有最大值f(n) D．f(x－1)>0的解集为(－∞，1) 解析：选ABD.定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0得：f(0)＝f(0)＋f(0)，解得：f(0)＝0，A正确； 令y＝－x得：f(0)＝f(x)＋f(－x)，因为f(0)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝0， 故y＝f(x)是奇函数，B正确； 任取x1，x2∈R，且x1<x2，则令x＝x1，y＝－x2，代入得：f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1)－f(x2)， 因为当x<0时，f(x)>0，而x1－x2<0，所以f(x1－x2)>0， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，从而y＝f(x)在R上单调递减， f(x)在[m，n]上有最大值为f(m)，C错误； 由A选项得到f(x－1)>0＝f，而y＝f(x)在R上单调递减，故x－1<0，解得x<1，解集为(－∞，1)，D正确． 10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－2.则当x<0时，f(x)＝______，若f<f，则实数m的取值范围是______． 解析：因函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x－2， 则当x<0时，－x>0，f(x)＝f(－x)＝－x(－x＋1)－2＝x2－x－2， 所以当x<0时，f(x)＝x2－x－2； 依题意，f(x)＝x2＋x－2在[0，＋∞)上单调递增， 则f<f⇔f<f⇔|m＋1|<|m－2|，解得m<， 所以实数m的取值范围是(－∞，). 答案：x2－x－2　(－∞，) 11．已知定义在R上的函数f(x)满足：对任意的实数x，y均有f＝f(x)f，且f＝－1，当0<x<1且f(x)∈. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)判断f(x)在上的单调性，并证明； (3)若对任意x1，x2∈，a∈，总有2≤m2－2am＋1恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)根据题意，令y＝－1，得f＝f(x)f，因为f＝－1，所以f＝－f(x)，故结合定义域可知，f(x)为奇函数． (2)f(x)在上单调递增． 证明：由题意，可知f＝f(x·x)＝f(x)·f(x)＝f2(x)≥0， 假设∃x∈，使得f(x)＝0，则f＝f(x)f＝0， 而当0<xy<1时，由题意知0<f<1，因此矛盾，故∀x∈，f(x)>0恒成立． 设∀x1，x2∈，且x1>x2，则0<<1， 因此f－f＝f－f(x1·)＝f－ff ＝f， 因为0<<1，且当0<x<1时，f(x)∈，所以1－f>0， 又因为f>0，所以f(x1)(1－f())>0，即f>f， 又因为x1>x2>0，所以f(x)在上单调递增． (3)根据题意，结合(1)(2)可知，f(x)在上单调递增， 因此f(x)max＝f＝－f＝1，f(x)min＝f＝－1， 故∀x1，x2∈，2|f(x1)－f(x2)|≤2|f(x)max－f(x)min|＝4， 因为∀x1，x2∈，2|f(x1)－f(x2)|≤m2－2am＋1恒成立， 所以4≤m2－2am＋1恒成立，即－2ma＋m2－3≥0恒成立， 令g＝－2ma＋m2－3，则∀a∈，g≥0恒成立， 故解得m≤－3或m≥3. 学科网（北京）股份有限公司 $