第五章三角函数单元检测-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第五章三角函数单元检测 一、单选题 1．已知圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．设，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知角的终边与半径为10的圆交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．若函数有个零点，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知为锐角，，且，，则（   ） A．7 B．1 C． D． 6．函数的图像如图所示，则（    ）    A． B． C． D． 7．筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为3米的筒车按逆时针方向做每6分钟转一圈的匀速圆周运动，筒车的轴心距离水面的高度为米，设筒车上的某个盛水筒的初始位置为点（水面与筒车右侧的交点），从此处开始计时，下列结论错误的是（    ）      A．分钟时，以射线为始边，为终边的角为 B．分钟时，该盛水筒距水面距离为米 C．1分钟时该盛水筒距水面距离与3分钟时该盛水筒距水面距离相等 D．1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米 8．已知将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（   ） A．函数图象关于对称 B．函数图象在内有3个极值点 C．函数在上单调递增 D．函数图象关于中心对称 二、多选题 9．函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 10．先将函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把图象向右平移个单位长度，最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到函数的图象，则关于函数，下列说法正确的是（    ） A．最小正周期为 B．在上单调递减 C．时， D．其图象关于点对称 11．下列判断正确的是（    ） A．若，则 B．在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 12．已知，则 ． 13． . 14．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 四、解答题 15．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，为角α终边上一点， (1)求tanα； (2)求的值； (3)求的值. 16．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调递增区间； (3)当时，求函数的最大值，以及相应x的值． 18．已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)把的图象向右平移个单位长度，得到函数，求使成立的的取值集合． 19．已知函数． (1)求的最小正周期和对称中心： (2)求在区间内的单调递增区间； (3)当时，求的最大及最小值． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】由扇形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】圆心角，由弧长，得， 所以该扇形的面积为． 故选：C. 2．D 【分析】首先将条件平方求的值，再将正切转化为正弦和余弦，即可求解. 【详解】由条件可知，，可得， . 故选：D 3．B 【分析】根据三角函数的定义求得，，判断AB；结合诱导公式求解判断CD. 【详解】由图可知且，则， 所以，， 所以，． 故选：B 4．A 【分析】利用零点存在性定理求出函数的零点个数，再由正弦函数的图象性质及零点个数求出范围. 【详解】函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 而，则，使得，函数在上有个零点， 由函数有个零点，得函数有个零点， 由，得，需使，解得， 所以正数的取值范围是. 故选：A. 5．B 【分析】利用诱导公式化简，结合同角三角函数的关系及差角的正切公式求解. 【详解】由，得，则， 由，，得，而， 则，，， 所以. 故选：B 6．C 【分析】由图象的最值得到的值，由两个零点求出，最后代入特殊点求得，即可得到函数解析式. 【详解】观察图象可得函数的最大值为，最小值为，又， 所以， 又∵，∴，∴， 因为时函数取最大值， 所以，，又， ∴， ∴. 故选：C. 7．B 【分析】建立平面直角坐标系，设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为，结合图象求出函数解析式可得选项A正确，选项B错误；求出和时的函数值可得选项C正确；根据可得一个周期内有分钟符合题意，由此可得选项D正确. 【详解】    如图，以为原点，以射线方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 设盛水筒距水面距离与时间的函数关系式为， 由题意得， ∴，解得，故， 设函数的最小正周期为，则，故， ∴， ∵盛水筒的初始位置为点， ∴当时，，即，故， 由点在第四象限可得初相，∴， ∴， ∴分钟时，以射线为始边，为终边的角为，该盛水筒距水面距离为米，故选项A正确，选项B错误. 当时，，当时，，故C正确. 由得， 当时，，故，解得，有分钟， ∵1个小时有个周期， ∴1个小时内有分钟该盛水筒距水面距离不小于3米，故D正确. 故选：B. 8．C 【分析】本题考查三角函数的图象变换、性质，解题的关键在于先对函数进行化简，再根据图象平移规律得到的表达式，最后逐一分析选项. 【详解】由题意可得 因为将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象， 所以； 当时，或0， 所以不是对称轴，选项A错误； 令,解得， 当时， ；当时， ； 所以函数图象在内有2个极值点，选项B错误； 当时，，在内单调递增，选项C正确； 当时，， 所以是对称中心,图象关于中心对称，选项D错误. 故选：C 9．ABD 【分析】本题考查三角函数的图象与性质，可先根据函数图象求出函数的表达式，再根据三角函数的性质逐一分析选项即可。 【详解】由图象知，，则，根据周期公式，可得. 又因为函数的最大值为3，最小值为，所以 当时，取得最小值，即，解得. . A：根据余弦函数的对称中心公式，令可得的对称中心为， 当时，对称中心为，所以的图象关于点对称，故A正确。 B：因为是的两个零点，令，则， 所以或，解得，或， 根据题意，取，，所以， 当时，，故其相邻零点的最小间距为，故B正确. C：当取最小值时，， 不妨设，所以，则= 所以的最大值为，故C错误.     D：令，则， 所以或，解得，或， 所以在上的10个零点依次为：，，，，. 由在区间上至少有10个零点，则 故的最小值为，故D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 的解析式的确定： （1）由最值确定； （2）由周期确定； （3）由图象上的特殊点确定. 提醒：根据“五点法”中的零点求时，一般先根据图象的升降分清零点的类型. 10．AC 【分析】利用给定变换求出函数的解析式，根据可判断A；利用整体代换的方法，根据的范围，求出的范围，再利用正弦函数的图象和性质可判断B和C；根据关于点对称，的图象向上平移后对称中心也向上平移一个单位，可判断D. 【详解】将图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，得到， 再把图象向右平移个单位长度，得到， 最后把所得图象向上平移一个单位长度，得到. 对于A，，故A正确； 对于B，因为在单调递增， 当时，， 所以在上单调递增，故B错误； 对于C，当时，，， 所以，故C正确； 对于D，当时，函数满足， 所以函数关于点对称， 所以关于点对称，故D错误. 故选：AC 11．BD 【分析】利用同角的正余弦的平方关系求解可判断A；利用正弦定义计算可判断B；利用诱导公式计算可判断CD. 【详解】对A，因为，所以的终边在一，二象限， 当的终边在一象限时，， 当的终边在二象限时，，故A错误； 对B，点，即，则故B正确； 对C，，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：BD. 12．1 【分析】根据同角三角函数关系，求出角的正弦，再对目标代数式进行化简，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则，因为，解得， 则， 故答案为：. 13． 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式，准确运算，即可求解. 【详解】由三角函数的诱导公式，可得： . 故答案为：. 14． 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)2 (2) (3) 【分析】（1）根据任意角三角函数的定义可得. （2）根据诱导公式及同角三角函数关系式化简，然后代入的值可求得的值；或利用诱导公式化简后，直接由定义求得，代入求值即可. （3）利用，构建同角正、余弦的齐次分式，化简后代入的值可求得的值；或直接由定义求得，代入求值即可. 【详解】（1）根据任意角三角函数的定义可得 （2）由（1）知. 因为，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 根据任意角三角函数的定义可得. 所以. 所以的值为. （3）由（1）知. 因为，，且， 所以. 所以的值为. 方法二： 由（2）知，. 所以. 所以的值为. 16．(1) (2). 【分析】（1）通过图像可以得到和之间的距离为周期的一半，利用周期公式得到的值，又图像过点，代入求解即可； （2）根据平移求出，由，求出的范围，再结合余弦函数的图像得到最大值和最小值，从而得到的值域. 【详解】（1）由图可知的最小正周期，则. 因为的图象经过点，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 故. （2）由（1）可得，则. 因为，所以. 当，即时，取得最小值，， 当，即时，取得最大值，， 则，即在上的值域是. 17．(1) (2) (3)最大值为2，此时. 【分析】（1）利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期； （2）整体代入求出正弦函数的递增区间即可； （3）时，，整体法求出函数的最大值及相应的的值. 【详解】（1）， 所以最小正周期； （2）令， 所以函数的单调递增区间. （3）因为，所以，则， 的最大值为2，此时，即. 18．(1) (2) 【分析】（1）首先根据恒等变换公式化简函数解析式，再通过函数过点求出的值，进而求解出函数解析式； （2）通过三角函数图像变化求解的解析式，再通过整体代换的方法求解三角函数不等式即可. 【详解】（1）， 由图知，过点，即，则， 由图得，，解得． 所以． （2）由题得，， 由，得，则， 所以， 解得， 因此，使成立的的取值集合是． 19．(1)最小正周期为；对称中心为 (2) (3)最大值为，最小值为. 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数最小正周期的计算公式，求得函数的最小正周期，令，进而得到函数的对称中心； （2）根据题意，求得，结合正弦函数的单调性，进而求得的单调递增区间； （3）根据题意，求得，结合正弦函数的性质，即可求得函数的最值. 【详解】（1）解：由函数，可得函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的对称中心为. （2）解：由，可得， 令，可得；令，可得， 所以函数的单调递增区间为. （3）解：由，可得， 当时，即时，函数取得最小值，最小值为； 当时，即时，函数取得最大值，最大值为， 所以函数在上的最大值为，最小值为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $