4.5.1函数的零点与方程的根说课课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦“函数的零点与方程的根”，通过“设疑自探”环节以具体实例（如1/x、函数零点定义）引导学生自主发现函数零点、方程实数解、函数图象与x轴交点横坐标的等价关系，搭建起从方程求解到函数性质研究的学习支架，为后续函数应用奠定基础。 其亮点在于以核心素养为导向，设疑自探中用双向绿色箭头直观呈现三者等价关系，培养学生用数学眼光观察数学对象间的联系，解疑合探通过含参数二次函数（a∈R）的分类讨论（a=0时一次函数、a≠0时因式分解求根及重根分析），发展数学思维中的推理与运算能力，同时用符号语言精确表达解题过程。这既帮助学生深化理解知识本质，又为教师提供结构化探究式教学流程，提升教学效果。

4.5.1 函数的零点与方程的根 重点难点 01 04 学情分析 设疑自探 05 质疑再探 07 02 03 教材分析 学习目标 解疑合探 06 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 教材分析 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 学情分析 02 学情分析 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 学情分析 02 03 学习目标 学习目标 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 重点难点 04 学情分析 02 03 学习目标 重点难点 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 重点难点 04 学情分析 02 03 学习目标 设疑自探 05 设疑自探 设疑自探 设疑自探 对应方程的实数解 函数的零点 函数的图象与轴的 公共点横坐标值 设疑自探 设疑自探 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 重点难点 04 学情分析 02 03 学习目标 设疑自探 05 解疑合探 06 解疑合探 教材分析 01 4.5.1 函数的零点与方程的根 重点难点 04 学情分析 02 03 学习目标 设疑自探 05 解疑合探 06 质疑再探 07 质疑再探 质疑再探 质疑再探 质疑再探 质疑再探 跟踪练习 跟踪练习 本节选自人教 A 版(2019)必修一第四章第5节第一课时,是函数与方程的核心衔接内容。教材通过类比二次函数零点与一元二次方程根的关系,抽象出一般函数零点的定义,进而探究零点存在性定理,为后续二分法求方程近似解奠定理论基础。内容编排遵循 “特殊到一般”“数形结合” 的认知规律,既强化了函数与方程的转化思想,又渗透了数学抽象、逻辑推理等核心素养,是连接代数运算与几何直观的重要纽带。 学生已在第二章学习二次函数的零点与一元二次方程根的关系,具备初步的数形结合思想和方程求解能力,但对 “零点” 的本质定义缺乏抽象概括能力。在定理探究中,对 “连续不断的曲线”“f (a) f (b)<0” 等条件的必要性理解存在困难,容易忽略特殊情况(如不连续函数、多重零点)。同时,学生对高次方程、指数对数方程与对应函数的关联认知不足,需要通过具象实例和探究活动突破思维障碍。 理解函数零点的定义,明确方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴交点横坐标的等价关系。 掌握函数零点存在定理的条件与结论,能运用定理判断函数在给定区间内零点的存在性。会求简单函数的零点,能结合函数单调性、奇偶性判断零点个数,体会数形结合与转化思想。 提升数学抽象与逻辑推理素养,能辨析定理应用中的易错点,形成严谨的数学思维。 重点:函数零点的定义;零点与方程根、函数图象的关系;零点存在性定理的理解与应用。 难点:零点存在性定理中 “连续不断”“f (a) f (b)<0” 条件的必要性辨析;结合函数性质判断零点个数。 自探问题 1、什么是函数的零点?函数的零点是点吗?请举例说明。 2、方程f (x)=0的实数根、函数y=f (x)的零点、函数y=f (x)的图象与 x 轴交点的横坐标,三者之间有怎样的关系?用符号表示其等价性。 3、函数零点存在定理的内容是什么?定理的两个核心条件(图象连续不断、f (a) f (b)<0)能否缺少一个?请各举反例说明。 4、求函数f (x)=x -3x+2的零点,并说明对应的方程根和函数图象与 x 轴交点坐标。 自探解答 1、什么是函数的零点?函数的零点是点吗?请举例说明。 解析:函数的零点是使 f (x)=0 的实数x,不是点(是横坐标)。 例如:函数 f (x)=2x-1 的零点是 ,而非 ( , 0)。 自探解答 2、方程f (x)=0的实数根、函数y=f (x)的零点、函数y=f (x)的图象与 x 轴交点的横坐标,三者之间有怎样的关系?用符号表示其等价性。 解析:三者等价,即:方程 f (x)=0 有实数根 函数 y=f (x) 有零点 函数 y=f (x) 的图象与 x 轴有公共点,且公共点横坐标为方程的根(函数的零点)。 自探解答 3、函数零点存在定理的内容是什么?定理的两个核心条件(图象连续不断、f (a) f (b)<0)能否缺少一个?请各举反例说明。 解析:零点存在定理:若函数 y=f (x) 在区间[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且 f (a) f (b)<0,则函数在(a,b)内至少有一个零点。 缺少 “连续不断”:f (x)= 在(-1,1)上满足 f (-1) f (1)<0,但图象不连续,无零点; 缺少 “f (a) f (b)<0”:f (x)=x +1 在 (-1,1) 上图象连续,但 f (-1) f (1)=1>0,仍有零点 x=0。 自探解答 4、求函数f (x)=x -3x+2的零点,并说明对应的方程根和函数图象与 x 轴交点坐标。 解析:令 f (x)=x -3x+2=0,解得x=1或 x=2,故函数零点为1和2;对应方程的根为1和2;函数图象与 x 轴交点坐标为 (1,0) 和 (2,0)。 合探问题 1、已知函数,求其零点个数,并说明理由。 解析:当 时,,令得 ,故有 1 个零点; 当 时,解方程,即,解得 或 : 若 (即 ),则方程有两个相等实根 ,函数有 1 个零点(二重零点); 若 (即 ),则方程有两个不相等实根,函数有2个零点。 综上: 或 时,1个零点; 且 时,2个零点。 探究问题 若函数y=f (x)在(a,b)内有零点,则一定有f (a) f (b)<0 吗?请举例说明定理的条件是充分条件还是必要条件。 2、函数y=f (x)的图象与x轴有交点,则该交点坐标就是函数的零点吗?为什么? 3、单调函数的零点个数最多有几个?如何判断单调函数是否存在零点? 4、如果函数y=f(x)在区间[a,b]上有f(a) f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内是否一定有零点? 探究问题 若函数y=f (x)在(a,b)内有零点,则一定有f (a) f (b)<0 吗?请举例说明定理的条件是充分条件还是必要条件。 解析:不一定。 例如:f (x)=x 在 (-1,1) 内有零点 x=0,但 f (-1) f (1)=1 1=1>0。零点存在定理的条件是 “存在零点” 的充分非必要条件。 解析:不是。 函数的零点是交点的横坐标(实数),而交点坐标是有序实数对 (x,0),二者概念不同。例:f (x)=x-1 与 x 轴交点为 (1,0),零点是 1 而非 (1,0)。 2、函数y=f (x)的图象与x轴有交点,则该交点坐标就是函数的零点吗?为什么? 解析:单调函数最多有 1 个零点。 判断方法:若单调函数 y=f (x) 在区间 [a,b] 上图象连续,且 f (a) f (b)<0,则有唯一零点;若 f (a) f (b)≥0,则无零点。 探究问题 3、单调函数的零点个数最多有几个?如何判断单调函数是否存在零点? 探究问题 4、如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上有 f(a) f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间 (a,b) 内是否一定有零点? 1、(多选题)关于函数 y=f (x) 的零点,下列说法正确的是( ) A. 函数的零点是方程 f (x)=0 的实数根 B. 函数的零点是函数图象与 x 轴的交点 C. 若 f (x) 是连续函数,且 f (1) f (3)<0,则 f (x) 在 (1,3) 内至少有一个零点 D. 若 f (x) 有零点,则 f (x) 的图象一定与 x 轴有交点 答案:ACD 解析:B 错误,零点是交点横坐标而非交点;A 正确,符合零点定义;C 正确,满足零点存在定理条件;D 正确,零点本质是图象与 x 轴交点的横坐标,故有零点必相交。 2、(多选题)已知函数 f (x)=- 2,则下列结论正确的是( ) A. 函数的零点为 (2,0)和(-2,0) B. 方程f (x)=0的根为2和- 2 C. 函数图象与x轴交点坐标为(2,0)和(-2,0) D. 函数在(-∞,0)上有1个零点 答案:ABC 解析:令f (x)=x=0,得 x= 2,故零点为 2,方程根为 2, 图象与x轴交点为 ( 2,0),故A错误,B、C、 D 正确。 $