精品解析：黑龙江省牡丹江市第二高级中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

牡丹江二中2025-2026学年度第一学期12月月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解对数不等式把集合具体化，再利用集合的运算法则计算即可. 【详解】因为，， 所以． 故选：A 2. 把表示成的形式，且使，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由即可得到答案. 【详解】因为，， 所以的值为， 故选：C 3. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的性质，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由指数函数与对数函数的性质，可得，所以. 故选：A. 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 【答案】C 【解析】 【分析】利用换底公式转化，进行求解即可. 【详解】， 所以，则，解得. 故选：C. 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式，代入即可求解. 【详解】因为，则， 故选：B. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简条件可得，再结合诱导公式求结论. 【详解】因，， 所以 所以， 故选：B 7. 函数的零点所在的区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定函数，构造函数并确定单调性，利用零点存在性定理推理判断. 【详解】函数的定义域为，而， 当时，，令函数， 函数在上单调递增，则函数在上单调递增， 又， 因此函数的零点在上，所以函数的零点在上. 故选：C 8. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断的奇偶性，再计算即可判断. 【详解】由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC； 又，故排除B， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则为第四象限角 B. 函数的零点是 C. 的图象过定点，则的值为2 D. 定义在的函数满足，则可以是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数值的符号确定角所在的象限判断A，由函数零点的定义判断B，由对数函数的性质确定函数的定点求参数判断C，由对数的运算性质判断D. 【详解】A：由，则为第四象限角，对； B：函数在定义域上单调递增且，函数的零点为，错； C：因为，所以函数的图象恒过定点， 令，解得，当时， 所以函数的图象过定点，即，所以，对； D：由对数的运算法则知，则满足，对. 故选：ACD 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 值域为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对数型函数的定义域、复合函数的单调性、值域等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，由题可得，解得，所以函数定义域为，故A错. 对于B，因为， 设， 因函数在定义域内为增函数， 函数在上单调递增且大于零， 根据复合函数单调性可得在上单调递增，故B正确； 对于C，根据B选项的分析可知，在上单调递增，在上单调递减， 故函数在上不单调，C错误； 对于D，当时，， 所以的值域为，即，故D正确． 故选：BD． 11. 已知实数，满足等式，则下列式子可以成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出和两个函数的图象，结合图象求解即可． 【详解】实数，满足等式， 即在处的函数值和在处的函数值相等， 做出和两个函数的图象， 当时，，此时C选项成立； 做出直线，此时，可得，， 满足， 由图象知，时，都有，由此知B选项成立； 作出直线，此时，可得，，满足， 由图象知，时，都有，由此知D选项成立. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用扇形面积公式，结合二次函数求出最大值，即可求解半径. 【详解】设扇形所在圆的半径为，弧长为，可得， 所以扇形的面积为， 于是，当时，扇形的面积最大． 故答案为：2 13. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且．则不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果. 【详解】已知函数是定义在上的偶函数， 又，则不等式等价于， 函数在区间上单调递增，则， 所以，或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14. 已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围___________． 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，结合与有两个交点求得的取值范围. 【详解】函数有且仅有2个零点，则与有2个交点， 当时，单调递增，； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 且，最小值为， 可得函数的图象，如图所示： 利用的图象知的取值范围是． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据已知条件，求解下列各值 （1）已知，，且，求实数的值． （2）求值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由指对数关系及对数运算性质有，结合已知求参数值； （2）由对数的运算性质化简求值. 【小问1详解】 由，则，故，故； 小问2详解】 . 16. 解答下列各题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数的商式整理方程解得正切值，再利用同角三角函数的平方式与商式，可得答案； （2）由同角正弦与余弦和差与乘积的等量关系，明确角的取值范围，利用完全平方公式，可得答案. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，即，所以. 又，所以，于是 因为，所以. 以. 17. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. （1）当圆心角所对的弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当，点的纵坐标为时，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心角，应用扇形面积公式计算求解即可； （2）先由已知得进而得出，，最后应用诱导公式计算求解即可. 【小问1详解】 设圆心角为，弧长为l，弓形的面积为S． 因为，圆O的半径为，所以， 所以，， 所以． 【小问2详解】 设，由题知， 于是，， ． 即． 18. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； 【小问1详解】 当时，， 对任意的恒成立，所以函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故． 【小问2详解】 令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得． 因此，实数的取值范围是． 19. 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 【答案】（1）0；2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合奇函数的性质，即可求得答案； （2）判断函数的单调性，根据函数的奇偶性以及单调性，将原不等式转化为关于t的不等式，即可求解. 【小问1详解】 由题意知函数是定义在上的奇函数， 故，且， 则， 即得，则，故， 则，（舍）； 【小问2详解】 由（1）可得， 函数上单调递减， 时，函数在上单调递增， 故在上单调递减， 由可得，即， 则，即，解得， 即实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 牡丹江二中2025-2026学年度第一学期12月月考试题 数学 考生注意 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 把表示成的形式，且使，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则的大小顺序为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. 3 B. 9 C. 27 D. 81 5. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A B. C. D. 7. 函数的零点所在的区间（ ） A. B. C. D. 8. 函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的有（ ） A. 若，则为第四象限角 B. 函数的零点是 C. 的图象过定点，则的值为2 D. 定义在的函数满足，则可以是 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 的值域为 11. 已知实数，满足等式，则下列式子可以成立是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为___________． 13. 已知函数是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且．则不等式的解集为___________． 14. 已知函数，若函数有且仅有2个零点，则的取值范围___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 根据已知条件，求解下列各值 （1）已知，，且，求实数的值． （2）求值． 16. 解答下列各题： （1）已知，求的值； （2）已知，且，求的值. 17. 如图，单位圆与轴正半轴的交点为点，点在圆上，且点在第一象限，点在第二象限. （1）当圆心角所对弧长为，求图中阴影部分的面积； （2）设，当，点的纵坐标为时，求的值. 18 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若在上单调递增，求的取值范围． 19. 已知函数是定义在上奇函数. （1）求和实数的值； （2）当时，若满足，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $