6.3 第一课时 对数函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数函数概念，从指数函数与对数函数互为反函数切入，通过自主预习、微点拨（强调形式、定义域、底数限制）及基点小试搭建学习支架，帮助学生从具体实例抽象出定义，衔接前后知识脉络。 其亮点在于紧扣课标要求，通过概念辨析（如总结判断对数函数的三条件）、实际应用例题（如牛顿冷却定律问题）培养数学思维与应用意识，总结方法清晰。学生能夯实基础提升解题能力，教师可直接用于教学提高效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.3　对数函数 第一课时　对数函数的概念 logax(a>0，且a≠1) x (0，＋∞) 课下培优巩固练（三十一） [课程标准]　1.通过具体实例，了解对数函数的概念．　2.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)互为反函数．　3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象．　4.探索并了解对数函数的单调性与特殊点． 一般地，函数y＝__________________叫做对数函数，其中___是自变量，函数的定义域是_____________. 微点拨：对数函数概念的注意点 (1)形式：对数函数的概念与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数．如y＝2log2x，y＝log5 eq \f(x,5) 都不是对数函数，可称其为对数型函数． (2)定义域：由指数式与对数式的关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是(0，＋∞). (3)底数：对数函数对底数的限制：a>0，且a≠1. 【基点小试】 1．下列函数是对数函数的是(　　) A．y＝ln x B．y＝ln (x＋1) C．y＝logxe D．y＝logxx 答案：A 解析：A是对数函数，B中真数是x＋1，不是x，不是对数函数，C中底数不是常数，不是对数函数，D中底数不是常数，不是对数函数．故选A. 2．函数f(x)＝ eq \f(\r(x－4),lg x－1) 的定义域是(　　) A．[4，＋∞) B．(10，＋∞) C．(4，10)∪(10，＋∞) D．[4，10)∪(10，＋∞) 解析：由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－4≥0，,lg x≠1，)) 得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≥4，,x≠10，)) ∴x≥4且x≠10，故选D. 答案：D 3．(2025·苏州高一上期末)下列函数中，定义域为[1，＋∞)的是(　　 ) A．f(x)＝|x|＋1 B．f(x)＝ eq \r(2x－1) C．f(x)＝ln (x－1) D．f(x)＝ eq \f(\r(x－1),x＋1) 解析：选D.选项A，函数f(x)＝|x|＋1的定义为R，故A错误； 选项B，由2x－1≥0得x≥0，故f(x)＝ eq \r(2x－1)的定义域为[0，＋∞)，故B错误； 选项C，由x－1>0得x>1，故f(x)＝ln (x－1)的定义域为(1，＋∞)，故C错误； 选项D，由 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x＋1≠0，))得x≥1，故f(x)＝ eq \f(\r(x－1),x＋1)的定义域为[1，＋∞)，故D正确． 题型一　对数函数的概念 例1.(多选)下列函数为对数函数的是(　　) A．y＝logax＋1(a＞0且a≠1) B．y＝loga eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x)) (a＞0且a≠1) C．y＝loga－1x(a＞1且a≠2) D．y＝logax(a＞0且a≠1) 解析：由对数函数定义可知CD为对数函数，故选CD. 答案：CD [总结] 　判断对数函数的方法 判断一个函数是否是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a>0且a≠1)的形式，即满足以下条件： (1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数． (3)真数仅有自变量x. 【练一练】 1．给出下列函数： (1)y＝logπx；(2)y＝logex；(3)y＝log10x；(4)y＝e·logax；(5)y＝log2x2；(6)y＝log2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) .其中是对数函数的是______．(将符合的序号全填上) 解析：(4)的系数不是1，(5)的真数不是x，(6)的真数不是x. 答案：(1)(2)(3) 题型二　对数函数式与求值 例2. (1)已知函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≤0，,1＋log2x，x>0，)) 则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))))) ＝(　　) A．0 B．1 C．2 D． eq \f(1,2) 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋log2\f(1,4))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2)) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1)) ＝2－1＋1＝1，故选B. 答案：B (2)已知f(x)为对数函数，f( eq \f(1,2) )＝－2，则f( eq \r(3,4) )＝________ . 解析：设f(x)＝logax(a>0，且a≠1)， 则loga eq \f(1,2) ＝－2， ∴ eq \f(1,a2) ＝ eq \f(1,2) ，即a＝ eq \r(2) ，∴f(x)＝log eq \r(2) x， ∴f( eq \r(3,4) )＝log eq \r(2) eq \r(3,4) ＝log2( eq \r(3,4) )2＝log22 eq \s\up16(\f(4,3)) ＝ eq \f(4,3) . 答案： eq \f(4,3) [总结] 　求对数函数函数值与解析式的方法 (1)求函数值：设出对数函数解析式，代入已知点求解． (2)求解析式：利用已知条件如函数经过的点或单调性求解． 【练一练】 2．已知g eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－2，x<4，,log5（x－1），x≥4，,)) 则f(f(26))等于(　　) A． eq \f(1,5) B． eq \f(1,e) C．1 D．2 解析：∵26 > 4， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(26)) ＝log5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(26－1)) ＝2，又2<4， ∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(26)))) ＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2)) ＝e2－2＝1.故选C. 答案：C 题型三　对数函数的定义域 例3.(2025·盐城五校联盟高一上期末)函数f(x)＝ eq \f(\r(2－x),lg x)的定义域是________． 解析：因为f(x)＝ eq \f(\r(2－x),lg x)，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2－x≥0，,x>0，,lg x≠0，))解得0<x<1或1<x≤2，即函数的定义域为(0，1)∪(1，2]. 答案：(0，1)∪(1，2] [总结] 　求对数型函数定义域的原则 (1)分母不能为0. (2)根指数为偶数时，被开方数非负． (3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1. 【练一练】 3．已知函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤1)) ，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x)) 的定义域为(　　) A． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，e)) B． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，e)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，10)) D． eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，e)) 解析：函数y＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的定义域为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≤1)) ，所以ln x≤1，所以0<x≤e 故选B. 答案：B 题型四　对数函数在实际问题中的应用 例4. 牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为T0，则经过一定时间t后的温度T将满足T－Ta＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(t,h)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(T0－Ta)) ，其中Ta是环境温度，h称为半衰期．现有一杯85 ℃的热茶，放置在25 ℃的房间中，如果热茶降温到55 ℃，需要10分钟，则欲降温到35 ℃，大约需要(　　)(参考数据lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1) A．16分钟 B．20分钟 C．24分钟 D．26分钟 解析：根据题意可得55－25＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(10,h)) (85－25)，解得h＝10，所以35－25＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(t,10)) (85－25)，即6＝2 eq \s\up16(\f(t,10)) ，所以 eq \f(t,10) ＝log26，故t＝10×(log23＋log22)＝10× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg 3,lg 2)＋1)) ＝10×( eq \f(0.477 1,0.301 0) ＋1)≈25.85，故大约需要26分钟，故选D. 答案：D [总结] 　利用指数、对数函数解决应用问题 (1)列出指数关系式x＝ay，并根据实际问题确定变量的范围； (2)利用指、对互化转化为对数函数y＝logax； (3)代入自变量的值后，利用对数的运算性质、换底公式计算． 【练一练】 4．某化工厂生产一种溶液，初时含杂质1，每过滤一次可使杂质含量减少 eq \f(1,4) ，要使产品达到市场要求，杂质含量不能超过 eq \f(1,20) ，则至少应过滤的次数为(已知：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.477 1)(　　) A．8 B．9 C．10 D．11 解析：设至少需要过滤n次，则 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4))) eq \s\up12(n) ＝ eq \f(1,20) .所以n lg eq \f(3,4) ≤－lg 20.即n≥ eq \f(lg 20,lg 4－lg 3) ≈ eq \f(1＋0.301 0,2×0.301 0－0.477 1) ≈10.42. 又n∈N，所以n≥11. 答案：D $