6.1幂函数（教学课件）数学苏教版2019必修第一册

第四章 指数与对数 6.1 幂函数 苏教版2019必修第一册·高一 学习目标 教学重点：掌握幂函数的图象、单调性和对称性；比较指数式值的大小 教学难点：了解并归纳常见幂函数的特点与变化情况并提炼幂函数的性质 了解幂函数的概念，会画出常见的典型幂函数的图象，根据图象的特点提取幂函数变化特点与性质； 掌握幂函数的单调性与对称性，会用其单调性比较指数式值的大小； 在图象中体会数形结合的思想. 教学目标 学科素养 直观想象：借助幂函数的图象理解幂函数的变化特点与性质； 数学抽象：借助幂函数的图象提炼幂函数的性质； 数学建模：通过实际情境经历幂函数概念形成过程；运用幂函数解决问题，进行比较大小运算. 新知引入 函数 值域 定义域 奇偶性 R 问题1：在我们学习过的内容中，哪些可以用来描述函数？ 图象 单调性 问题2：尝试描述函数 y = x2. (-∞,0]减 (0,+∞)增 偶函数 [0,+∞) （1）如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p = w元，这里p是w的函数； （2）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积，这里S是a的函数； （3）如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积，这里V是b的函数； （4）如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； （5）如果某人t s内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 km/s，即，这里v是t的函数． 新知引入 情境1：写出下列示例中的函数关系，思考这些函数有什么共同特点？ 新知呈现 我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，是常数. 例1：判断下列函数是否为幂函数. （1）； （2）； （3）； （4） 总结：1.幂的底数是自变量𝑥,幂的指数是常数𝛼； 2. 前的系数为1，且后面无常数项. “幂”原指覆盖食器的布巾，数学中“幂”是乘方/指数运算的结果，而乘方的表示是在一个数字上加上标，就像在一个数上“盖上了一头巾”. 新知呈现 我们把形如的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，是常数. 例2：你还能再举出一些幂函数的例子吗？ （1）； （2）； （3） ； （4） 注：幂的指数除了可以取整数之外,还可以取其他实数,当它们取其他实数时幂也有各自的含义. 问题探究 问题3：在已有的学习函数的经验中，我们如何去研究一类函数？说说你的想法. 从现实背景中抽象出函数概念 描点法做出函数图象 通过图象分析函数性质 进行函数的实际应用 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x2 R [0,+∞) 偶函数 (-∞,0]递减，(0,+∞)递增 问题探究 问题4：画出函数， ，的图象. 问题4.1：画图时采用了什么方法？取了哪些点？ 问题4.2：用什么方法可以让所画图象趋势更准确一点？ 问题4.3：能否少取一些点？ 选点注意代表性！ 问题5：根据图象说明其定义域，值域，奇偶性，单调性. 幂函数 定义域 R 值域 [0,+∞) 奇偶性 偶函数 单调性 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 图象 [0,+∞) R R [0,+∞) 奇函数 非奇非偶 R上递增 [0,+∞)递增 问题6：你能说说它们有什么共同的特点吗？ 问题探究 （1）函数的图象都过点(0, 0)和(1, 1)； （2）在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而上升，函数在区间上单调递增. 问题6：一般地，对于，当时，上面的性质也满足吗？ 问题探究 问题7：在同一坐标轴中画出函数， ，的图象.并根据图象说明其定义域，值域，奇偶性，单调性. 问题8：你能说说它们有什么共同的特点吗？ 幂函数 定义域 {x|x≠0} 值域 奇偶性 奇函数 单调性 (-∞,0)递减 (0,+∞)递减 (0,+∞) (0,+∞) 奇函数 非奇非偶 (-∞,0)递减 (0,+∞)递减 (0,+∞)递减 {x|x≠0} 问题探究 （1）函数的图象都过点(1, 1)； （2）在第一象限内，函数的图象随 x 的增大而下降，函数在区间上单调递减. 问题6：一般地，对于，当时，上面的性质也满足吗？ 问题探究 幂函数 定义域 R R [0,+∞) {x|x≠0} {x|x≠0} (0,+∞) 值域 [0,+∞) R [0,+∞) {y|y≠0} {y|y≠0} (0,+∞) 奇偶性 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 奇函数 非奇非偶 单调性 (-∞,0]递减 (0,+∞)递增 R上递增 [0,+∞)递增 (-∞,0)递减 (0,+∞)递减 (-∞,0)递减 (0,+∞)递减 (0,+∞)递减 问题7：对于奇偶性，你有什么发现？ （1）当是奇数时，幂函数是奇函数； （2）当是偶数时，幂函数是偶函数； 问题探究 新知呈现 问题8：当时，图象如何？有什么性质？ 定义域 值域 奇偶性 单调性 y=x0=1 R {1} 既奇又偶 无单调性 总结： 时： （1）公共点：(0, 0)和(1, 1)； （2）在区间上单调递增. 时： （1）公共点：(1, 1) ； （2）在区间上单调递减. （1）当是奇数时，幂函数是奇函数； （2）当是偶数时，幂函数是偶函数； 典例精讲 例1：判断下列函数是否为幂函数，并指出它们的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4) 注意前的系数为1，且后面无常数项. 解： (1) 是奇函数； (3)既不是奇函数，也不是偶函数； (4)是偶函数. 典例精讲 变式训练 解:设 变式1：已知幂函数𝑓(𝑥)的图象过点(2, ),求𝑓(𝑥)的解析式. 牢记幂函数的一般形式：. 典例精讲 变式训练 变式2：若是幂函数,且𝑥>0时𝑓(𝑥)是增函数,求𝑓(𝑥). 解:由−𝑚−1=1得𝑚=2或𝑚=−1. 𝑚=2时,,符合题意. 𝑚=−1时,,不符合题意. 不符合增函数！ 幂函数系数为1！ 典例精讲 变式训练 变式3：若幂函数是偶函数,且在上是减函数,则𝑛=_____. 解:∵ ,即, 𝑛=−3时,,在上为增函数,不合题意; 𝑛=1时,,符合题意. 典例精讲 例3： 试比较下列各组数的大小： （1）； （2）； （3）. 解 ：（1）因为函数 在区间 上单调递增，又 1.1 > 0.89，所以. （2）因为函数 在区间上单调递增，又2.1 > 2 > 1.8 ，所以 . （3）因为函数 在区间上单调递增，又，，所以 . 因为函数在区间上单调递增，又 ，3 > 1，所以.于是 . 典例精讲 变式训练 变式1：若,则实数𝑎的取值范围是__________. 𝛼>0，在区间[0,+∞)上单调递增. 注意分数指数幂是否有意义！ 典例精讲 变式训练 变式2：试通过代数运算和函数图象比较与的大小. 反思总结 问题9：本节课主要研究了哪些内容?是如何研究的？ 幂函数的共同特点 定义域，值域，奇偶性，单调性······ 课后思考：本节如果对指数进行更细的分类，对于幂函数的性质能有更详细、更科学的总结吗？ 感谢聆听 数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种比任何国家的语言都要完善的语言．通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演． ——狄尔曼 $$