4.2.1 对数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦对数的概念、性质及与指数的互化，通过指数式与对数式的互逆关系示意图导入，从指数运算自然过渡到对数定义，搭建前后知识联系的学习支架，帮助学生理解概念形成过程。 其亮点是以“自主预习-核心探究-分层练习”为主线，通过指对数互化、取值范围求解等例题解析培养数学思维，用简洁公式和图表强化数学语言表达。学生能循序渐进掌握知识，教师可直接用于课堂教学提升效率。

数学·必修·第一册(苏教) 第4章 指数与对数 4．2　对数 4．2．1　对数的概念 以a为底N的对数 logaN 底数 真数 10 lg N e ln N logaN 0和负数 N>0 0 loga1＝0 1 logaa＝1 N 课下培优巩固练（十八） [课程标准]　理解对数的概念和运算性质 一、对数的概念 1．对数：一般地，如果ab＝N(a>0，且a≠1)，那么b叫做___________________，记作b＝_____________，其中a叫做对数的______ ，N叫做______． 2．常用对数：通常将以______为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为____________. 3．自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.718 28…为底数的对数，以___为底的对数称为自然对数，并且把logeN记为____________. 微点拔：1.对数概念中规定a>0，且a≠1 (1)若a<0，则当N为某些值时，x的值不存在．如：x＝log(－2)8不存在． (2)若a＝0，则①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在； ②当N＝0时，x可以是任意实数，是不唯一的，即log00有无数个值． (3)若a＝1，则①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在； ②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a>0，且a≠1. 2．对数式logaN不是loga与N的乘积，logaN是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是一个实数． 二、对数式与指数式的互化 当a>0且a≠1时，ax＝N⇔x＝____________． 微点拔：指数式与对数式的互化(其中a>0，且a≠1)： 三、对数的性质 1．____________没有对数，即logaN中__________. 2．1的对数等于___，即_________________． 3．底数的对数等于___，即_________________ (a>0，且a≠1). 4．对数恒等式：alogaN＝_______． 【基点小试】 1．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　) A．a> eq \f(1,2) 且a≠1 B．0<a< eq \f(1,2) C．a>0且a≠1 D．a< eq \f(1,2) 解析：由题意知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2a＋1>0，,a>0，,a≠1，)) 解得0<a< eq \f(1,2) . 答案：B 2．(多选)（苏教版必修一P81例1，P82例2改编）下列指数式与对数式互化正确的是(　　) A．e0＝1与ln 1＝0 B．8－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,2) 与log8 eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,3) C．log39＝2与9 eq \s\up6(\f(1,2)) ＝3 D．log77＝1与71＝7 解析： A选项，e0＝1⇔ln 1＝0，正确．B选项，8－ eq \f(1,3) ＝ eq \f(1,2) ⇔log8 eq \f(1,2) ＝－ eq \f(1,3) ，正确．C选项，log39＝2⇔32＝9，C错误．D选项，log77＝1⇔71＝7，正确．故选ABD. 答案：ABD 3．3log32＋log21＋log55＝________． 解析：因为3log32＝2，log21＝0，log55＝1，所以原式＝2＋1＝3. 答案：3 4．求下列各式中x的值． (1)log2(log4x)＝0； (2)log3(lg x)＝1. 解：(1)log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4. (2)由已知lg x＝3，∴x＝103＝1 000. 题型一　对数的概念 角度1　指、对数式的互化 例1. 将下列对(或指)数式化成指(或对)数式： (1)log eq \r(3) x＝3；(2)logx64＝－6； (3)3－2＝ eq \f(1,9) ；(4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x) ＝16. 解：(1)因为log eq \r(3) x＝3，所以( eq \r(3) )3＝x. (2)因为log x64＝－6，所以x－6＝64. (3)因为3－2＝ eq \f(1,9) ，所以log3 eq \f(1,9) ＝－2. (4)因为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4))) eq \s\up12(x) ＝16，所以log eq \s\do9(\f(1,4)) 16＝x. [总结] 　指、对数式互化的注意事项 (1)利用对数与指数间的互化关系时，要注意各字母位置的对应关系，其中两式中的底数是相同的． (2)并非任何指数式都可以直接化为对数式，如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有符合a>0，a≠1且N>0时，才有ax＝N⇔x＝logaN. 角度2　对数的底数、真数概念的理解 例2. 求下列各式中x的取值范围： (1)log2x＋1(x＋2)；　(2) eq \f(lg （2x＋5）,log2x) . 解：(1)由题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2>0，,2x＋1>0，,2x＋1≠1.)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－2，,x>－\f(1,2)，,x≠0.)) 故x>－ eq \f(1,2) 且x≠0. 所以x的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,2)且x≠0)))) . (2)根据题意得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x≠0，,2x＋5>0，,x>0，)) 即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x≠1，,x>－\f(5,2)，,x>0.)) 所以x>0且x≠1. 所以x的取值范围是{x|x>0且x≠1}． [总结] 　对数式中要求真数大于0，底数不但要大于0，而且不能等于1. 【练一练】 1．(2025·宿迁高一期末)若x＝log32，则3x的值为(　　 ) A．2 B．4 C．8 D．9 解析：3x＝3log32＝2. 答案：A 2．求下列各式中x的取值范围： (1)lg (x＋2)2；　(2)log1－2x(3x＋2). 解：(1)由(x＋2)2>0得x≠－2，故x的取值范围是{x|x∈R且x≠－2}． (2)由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2>0，,1－2x>0，,1－2x≠1，)) 知 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>－\f(2,3)，,x<\f(1,2)，,x≠0.)) 故x的取值范围是 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)<x<\f(1,2)且x≠0)))) . 题型二　对数的计算 例3. (苏教版必修一P82例3改编)求下列各式中的x的值： (1)log64x＝－ eq \f(2,3) ； (2)logx8＝6； (3)lg 100＝x; (4)－ln e2＝x. 解：(1)x＝(64)－ eq \f(2,3) ＝(43)－ eq \f(2,3) ＝4－2＝ eq \f(1,16) . (2)x6＝8，所以x＝(x6) eq \s\up16(\f(1,6)) ＝8 eq \s\up16(\f(1,6)) ＝(23) eq \s\up16(\f(1,6)) ＝2 eq \s\up16(\f(1,2)) ＝ eq \r(2) . (3)10x＝100＝102，于是x＝2. (4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.所以x＝－2. [总结] 　利用指数式与对数式的互化求变量值的策略 (1)已知底数与指数，用指数式求幂． (2)已知指数与幂，用指数式求底数． (3)已知底数与幂，利用对数式表示指数． 【练一练】 3．求下列各式中的x值： (1)logx27＝ eq \f(3,2) ； (2)log2x＝－ eq \f(2,3) ； (3)x＝log27 eq \f(1,9) . 解：(1)由logx27＝ eq \f(3,2) ，可得x eq \s\up16(\f(3,2)) ＝27， ∴x＝27 eq \f(2,3) ＝(33) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝32＝9. (2)由log2x＝－ eq \f(2,3) ，可得x＝2－ eq \f(2,3) . ∴x＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) eq \s\up16(\f(2,3)) ＝ eq \r(3,\f(1,4)) ＝ eq \f(\r(3,2),2) . (3)由x＝log27 eq \f(1,9) ，可得27x＝ eq \f(1,9) ， ∴33x＝3－2，∴x＝－ eq \f(2,3) . 题型三　对数性质的应用 例4.求下列各式中x的值： (1)log2(log5x)＝0；(2)log3(lg x)＝1. 解：(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1， ∴x＝51＝5. (2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3， ∴x＝103＝1 000. 【母题探究】　把本例(1)中的“log2(log5x)＝0”改为“log2(log5x)＝1”，求x的值． 解：因为log2(log5x)＝1， 所以log5x＝2，则x＝52＝25. [总结] 　有关“底数”和“1”的对数，可利用对数的性质求出其值“1”和“0”，化成常数，有利于化简和计算．当有多层对数时，应由外往里求解. 【练一练】 4．求下列各式中x的值． (1)log8[log7(log2x)]＝0； (2)log2[log3(log2x)]＝1； (3)log eq \r(2) －1 eq \f(1,\r(3＋2\r(2))) ＝x. 解：(1)由log8[log7(log2x)]＝0，得 log7(log2x)＝1，即log2x＝7，∴x＝27. (2)由log2[log3(log2x)]＝1，得 log3(log2x)＝2，∴log2x＝9，∴x＝29. (3)∵log eq \r(2) －1 eq \f(1,\r(3＋2\r(2))) ＝x， ∴( eq \r(2) －1)x＝ eq \f(1,\r(3＋2\r(2))) ＝ eq \f(1,\r(2)＋1) ＝ eq \r(2) －1. ∴x＝1. 题型四　利用对数的结论及恒等式求值 例5.求值： 解：(1)原式＝＝3×5＝15. (2)原式＝10lg 3·10lg 4＝3×4＝12. (3)原式＝a·c＝ac. [总结] 　对于此类题目，首先要结合对数恒等式将原式化简，化成能利用对数恒等式的形式，然后再进行求值．在化简变形中灵活运用指数幂的运算性质． (1)应用对数恒等式要注意格式： ①它们是同底的； ②指数中含有对数形式； ③其值为对数的真数，且大于0. (2)合理利用对数、指数的运算法则，化为相同底数． 【练一练】 5．求值：(1) ； (2)eln 2＋ln 5； (3) . 解：(1)原式＝23÷＝8÷3＝ eq \f(8,3) . (2)原式＝eln 2×eln 5＝2×5＝10. (3)∵＝＝ eq \f(\r(5),5) ， ∴原式＝ eq \r(5) ＋ eq \f(\r(5),5) ＝ eq \f(6\r(5),5) . $