2.3.1 全称量词命题与存在量词命题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“全称量词命题与存在量词命题”，涵盖概念、判断、否定及真假判断等核心内容。通过“自主预习”感知概念，“基点小试”用典型例题巩固基础，再经“互动探究”分题型深化，形成从概念到应用的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于紧扣新课标核心素养，以“数学眼光”引导学生从实例抽象量词概念，如将“x²+y²≥2xy”改写为全称命题。“数学思维”体现在逻辑推理训练，通过反例判断全称命题假，实例验证存在命题真。“数学语言”强化符号表达，用量词符号∀、∃表述命题。采用“预习-小试-探究-总结”四步教学法，例题解析详细，总结方法清晰，帮助学生提升逻辑推理与符号意识，教师可直接利用结构化内容高效备课。

数学·必修·第一册(苏教) 第2章 常用逻辑用语 2．3　全称量词命题与存在量词命题 2．3．1　全称量词命题与存在量词命题 全称量词 ∀x 全称量词 ∀x∈M，p(x) 存在量词 ∃x 存在量词 ∃x∈M，p(x) 课下培优巩固练（九） [课程标准]　1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．　2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定．　3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定． 一、 全称量词与全称量词命题 (1)“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为____________，通常用符号“________”表示“对任意x”． (2)含有____________的命题称为全称量词命题，一般形式可以表示为：________________． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 微点拔： 命题 全称量词命题“∀x∈M，p(x)” 表述 形式 ①对所有的x∈M，都有p(x)成立； ②对一切x∈M，都有p(x)成立； ③对每一个x∈M，都有p(x)成立； ④任选一个x∈M，都有p(x)成立； ⑤凡是x∈M，都有p(x)成立． 二、存在量词与存在量词命题 (1)“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为____________，通常用符号“_________”表示“存在x”． (2)含有____________的命题称为存在量词命题，一般形式可以表示为：___________________________． 其中，M为给定的集合，p(x)是一个关于x的语句． 微点拔： 命题 全称量词命题“∃x∈M，p(x)” 表述 形式 ①存在x∈M，使p(x)成立； ②至少有一个x∈M，使p(x)成立； ③对有些x∈M，使p(x)成立； ④对某个x∈M，使p(x)成立． 【基点小试】 1．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是(　　) A．实数都大于0 B．若2x为偶数，则x∈N C．三角形内角和为180° D．有小于1的自然数 答案：C 解析：A.是全称量词命题，但不是真命题，所以该选项错误； B．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误； C．是真命题，也是全称量词命题，所以该选项正确； D．是真命题，但不是全称量词命题，所以该选项错误． 2．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．直角三角形的一个内角为90° B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．平行四边形的对角线相互垂直 D．存在一个正数x，使 eq \f(1,x) <0 答案：B 解析：A选项是真命题，但不是存在量词命题；B选项是存在量词命题，当x＝0时满足x2≤0，故命题为真命题；C选项是全称量词命题，且是假命题，因为平行四边形的对角线不一定垂直；D选项是存在量词命题，但不存在大于零的数x，使 eq \f(1,x) <0，故命题为假命题． 3．(多选)下列命题中，既是存在量词命题又是真命题的是(　　) A．所有的正方形都是矩形 B．有些梯形是平行四边形 C.∃x∈R，3x＋2>0 D．至少有一个整数m，使得m2<1 解析：A是全称量词命题，B、C、D为存在量词命题．显然B为假命题； C选项，取x＝0，则3×0＋2>0，为真命题；D选项，取m＝0，则02<1，为真命题． 答案：CD 4．将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为______________________． 解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立． 答案：对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立 题型一　全称量词命题与存在量词命题的判断 例1.判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|； (5)方程3x－2y＝10有整数解． 解：(1)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (2)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (3)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题． (4)含存在量词“有些”，故为存在量词命题． (5)可改写为：存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．故为存在量词命题． [总结] 　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 【练一练】 1．(多选)下列命题为存在量词命题的是(　　) A．某些二次函数的图象与y轴有交点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，5)) B．正方体都是长方体 C．不平行的两条直线都是相交直线 D．存在实数大于或等于2 答案：AD 解析：根据全称量词和存在量词的定义，可知A、D为存在量词命题，B、C为全称量词命题． 2．用量词符号“∀”或“∃”表述下列命题． (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时， eq \f(1,3) x2＋ eq \f(1,2) x＋1也是有理数； (3)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解； (4)有些整数既能被2整除，又能被3整除． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0. (2)∀x∈Q， eq \f(1,3) x2＋ eq \f(1,2) x＋1是有理数． (3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解． (4)∃x∈Z，x既能被2整除，又能被3整除． 题型二　全称量词命题、存在量词命题的真假判断 例2.(多选)下列四个命题为真命题的是(　　) A．所有四边形的内角和都是360° B．∃x∈R，x2＋2x＋2≤0 C．∃x∈{ eq \b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\co1(x)) x是无理数}，x2是无理数 D．对所有实数a，都有|a|>0 解析：对A，所有四边形的内角和都是360°，故A是真命题； 对B，x2＋2x＋2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1)) eq \s\up12(2) ＋1>0恒成立，故B是假命题； 对C，存在π是无理数，π2是无理数，故C是真命题； 对D，存在a＝0，此时|a|＝0，故D是假命题． 答案：AC [总结] 　全称(存在)量词命题的真假判断的技巧 【练一练】 3．已知命题p：∃x∈R，x＋2>x2，命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　) A．命题p，q都是真命题 B．命题p是真命题，q是假命题 C．命题p是假命题，q是真命题 D．命题p，q都是假命题 答案： B 解析：当x＝0时，x＋2＝2，x2＝0，故命题p为真命题，当x＝0时，x2＝0，故命题q为假命题． 4．(多选)下列命题中真命题有(　　) A．每一个正方形是平行四边形 B．∀a∈R，二次函数y＝2x2＋a的图象关于y轴对称 C．存在一个四边形ABCD，其内角和不等于360° D．存在一个无理数，它的立方是有理数 解析：每一个正方形是平行四边形，所以A正确； ∀a∈R，由x∈R，函数f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x)) ＝2x2＋a＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) ，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x)) 的图象关于y轴对称，所以B正确； 因为每一个四边形都可以分成两个三角形，所以每一个四边形其内角和都等于360°，所以C错误； 因为 eq \r(3,2) 是无理数， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3,2))) eq \s\up12(3) ＝2，所以存在一个无理数，它的立方是有理数，所以D正确． 答案：ABD 题型三　利用全称(存在)量词命题的真假求参数 例3.(1)已知命题p：“∃x∈R，关于x的一元二次方程x2－2 eq \r(3) x＋m＝0有实数根”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．m<3 B．m>3 C．m≤3 D．m≥3 解析：由题意可知，Δ＝(－2 eq \r(3) )2－4m≥0，得m≤3，故选C. 答案： C (2)已知命题p：“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围是________． 解析：当x∈R时，x2≥0，若“∀x∈R，mx2≥0”是真命题，则有m≥0.故实数m的取值范围是[0，＋∞). 答案：[0，＋∞) 【母题探究】　(变条件)将本例(1)的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围． 解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4(2－m)≥0，解得m≥1，所以m的取值范围是[1，＋∞). 答案：[1，＋∞) [总结] 　利用全称(存在)量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式(如x2≥0)，确定参数的取值范围． (2)含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决． 【练一练】 5．(2022·江苏邗江高一检测)已知命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1>0，命题：q：∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) ，使得a≤－x2＋2. (1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围； (2)若p和q有且只有一个是真命题，求实数a的取值范围． 解：(1)命题p是真命题时，ax2＋ax＋1>0在R范围内恒成立， ∴①当a＝0时，有1≥0恒成立； ②当a≠0时，有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a<0，)) 解得0<a<4. ∴a的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，4)) . (2)命题q是真命题时，∃x∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，1)) ，使得a≤－x2＋2，则a≤(－x2＋2)max，所以a≤2. 因为p和q有且只有一个是真命题， 所以①p真q假则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤a<4，,a>2；)) ②p假q真则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≥4或a<0，,a≤2.)) ∴2<a<4 或a<0， 综上a∈(－∞，0)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，4)) . $