精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

仁寿一中南校区高2025级高一上半期考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题进行求解即可. 【详解】因为全称量词命题否定是存在量词命题， 所以否定是. 故选：B 2 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 3. 设：，：关于的方程有1个实数解，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据含参一元方程的根的个数求解的值，即可判断. 【详解】q：关于的方程有1个实数解， 则当时，方程为，解为符合题意； 当时，若方程有1个实数解，则，即； 所以：或 又“”是“或”的充分且不必要条件， 所以是的充分且不必要条件. 故选：A. 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求函数的定义域，排除BD，再判断奇偶性，排除C，最后得出答案. 【详解】因为，所以， 所以函数的定义域，排除B,D, 定义域关于原点对称，因为， 所以函数是偶函数，排除C， 所以函数的图象大致为A. 故选：A. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数以及对数函数的单调性即可求解. 【详解】故 所以， 故， 故选：D 6. 已知是奇函数，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义即可结合选项逐一求解. 【详解】的定义域不关于原点对称，故A不是奇函数， 对于，，故B不是奇函数， 对于，，故C不是奇函数， 对于，定义域为全体实数，关于原点对称，且，故为奇函数， 故选：D 7. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 是的必要不充分条件 D. 函数定义域为R．则实数的取值范围 【答案】B 【解析】 【分析】根据可判断A的真假；根据一元二次不等式的解集可确定，的值，从而确定B的真假；根据集合并集与集合子集 的关系，判断C的真假；由函数的定义域为，确定可求的取值范围，确定D的真假． 【详解】对于A：因为恒成立，故函数恒过定点，故A错误； 对于B：因为不等式的解集为或， 可知：，可得，所以．故B正确； 对于C：是的充要条件，故C错误； 对于D：函数的定义域为， 故，则实数取值范围，故D错误． 故选：B． 8. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用函数单调性得出，再由指数函数单调性求最值. 【详解】令，由指数函数的单调性可知单调递增， 单调递减，所以为上的增函数， 由可得， 即，所以，即， 所以， 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A举反例；B利用不等式的性质；C利用对数函数的单调性；D利用指数函数的单调性. 【详解】当时，不满足，故A错误； 因，则，故B正确； 因在上单调递减，，则，故C正确； 因在上单调递增，，则，故D正确. 故选：BCD 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】分离常数法，利用反比例函数图象的平移变换可得AB项，由单调性性可判断出C项，解分式不等式即可判断D项. 【详解】， 函数的图象可看作函数向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到， 由于函数对称中心为，且值域为， 故函数的值域为，对称中心为， 所以A、B项都正确； 对于选项C，由的图象知在和单调递减，故C错误； 对于选项D，由得，移项得，，即，解得或，所以的解集为或，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. C. 在为减函数 D. 不等式解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，求得函数定义域为即可判断；对于B，分两种情况结合基本不等式即可判断；对于C，根据复合函数的单调性即可判断；对于D，求解不等式即可判断. 【详解】对于A，因为且，所以函数定义域为，A错误； 对于B，因为， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，B正确； 对于C，令，则在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 因为在上单调递增，且， 又在上单调递减，所以在上为减函数； 所以在上为减函数，C正确； 对于D，，令， 当时，解得或，所以或， 当时，，所以无实数解， 所以不等式的解集为，D错误. 故选：BC. 第II卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：___________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据对数运算法则、对数换底公式、指数运算即可得答案. 【详解】. 故答案为：8. 13. 已知，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先求出，然后分和两种情况，得到方程，求解即可. 【详解】由得，所以， 所以或，解得. 故答案为： 14. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性以及真数大于零建立不等式，求解参数即可. 【详解】由题意可知，在上单调递减，且在上恒为正， 则，且，解得， 则实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法和韦达定理求解即可； （2）利用将转化为基本不等式形式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，是方程的两根, 则,解得. 【小问2详解】 由（1）得，正实数，满足， 所以， 当且仅当，且，即时等号成立， 所以的最小值为. 16. 已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 【答案】（1）奇函数，理由见解析； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先判断定义域是否关于原点对称，再根据与的关系判断即可； （2）根据函数单调性定义证明即可. 【小问1详解】 是奇函数，理由如下： 当时，的定义域为，关于原点对称， ， 根据函数奇偶性定义知，奇函数； 当时，的定义域为，关于原点对称，， 根据函数奇偶性定义知，为奇函数； 综上，为奇函数. 【小问2详解】 时，，设，则 因为，所以，， 所以，即，即， 根据函数单调性定义知，在区间上是严格增函数． 17. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 【答案】（1） （2）0.6 【解析】 【分析】（1）利用函数图象经过点，分段讨论即可得出结论； （2）利用指数函数的单调性解不等式． 【小问1详解】 解：依题意，当时，可设，且， 解得 又由，解得， 所以； 【小问2详解】 解：令，即， 得，解得， 即至少需要经过后，学生才能回到教室． 18. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）令函数，当时，求函数的最大值； （3）若，设函数，若存在，任意，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）奇函数； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据奇偶函数定义判断即可； （2）化简函数解析式后，根据二次函数对称轴分类讨论求最大值即可； （3）换元后利用二次函数求出的值域B，利用单调性求出的值域A，由题意转化为，列出不等式求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 所以，解得或， 即函数的定义域，关于原点对称， 则有， 恒成立，则函数是奇函数. 【小问2详解】 ∵，， ∴，且，， 当，即时，函数在上单调递减，所以， 当，即时，函数在上单调递增，所以， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以， 综上所述，. 【小问3详解】 ，， 设，，则， 当时，取最小值为，当时，取最大值为， 即在上的值域， ， 当时， 在上单调递减，的值域为 存在，任意，使得成立，即， 所以，解得，即实数的取值范围是． 19. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质的奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，根据奇函数确定，再解不等式即可. （2）设，根据函数为偶函数，得到，不等式转化为，根据函数的值域和单调性计算最值得到答案. （3）确定函数的解析式，根据函数的单调性计算函数的值域为，再考虑，，三种情况，分别计算综合得到答案. 【小问1详解】 设，则，函数为奇函数，故， ，则，， 函数为奇函数，满足， ，设，，解得或（舍） 即，解得，故 【小问2详解】 设，则，函数为偶函数， 故，故，， ，即， 设，，则，函数在上单调递减，在上单调递增，故， ， 即，函数在上单调递减， 故，故. 【小问3详解】 根据（1）（2）知：， 当时，，设，则，， 函数单调递增，， 时，，设，则，单调递增， 故，函数在上的偶函数， 故， 综上所述： ， 当时，即，即，解得； 当时，即，即，成立； 当时，即，即，解得； 综上所述： 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的新定义，涉及函数的单调性，奇偶性，值域，不等式恒成立和能成立问题，综合性强，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，利用换元法求函数值域是解题关键，换元法可以简化运算，是常考的方法，需要熟练掌握. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 仁寿一中南校区高2025级高一上半期考试 数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．请在答题卡上作答． 第I卷选择题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定形式为（ ） A. B. C D. 2. 已知集合，则（ ） A B. C. D. 3. 设：，：关于的方程有1个实数解，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的大小关系为（ ） A B. C. D. 6. 已知是奇函数，则是（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 函数（且）的图像恒过定点 B. 若不等式的解集为或，则 C. 是的必要不充分条件 D. 函数定义域为R．则实数取值范围 8. 已知实数满足，则（ ） A. 有最大值1 B. 有最小值0 C. 有最小值1 D. 有最大值0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的值域为 B. 的图象的对称中心为 C. 在区间上单调递减 D. 的解集为或 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 函数定义域为 B. C. 在为减函数 D. 不等式的解集为 第II卷非选择题 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求值：___________． 13. 已知，若，则______. 14. 已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知关于的不等式的解集为. （1）求实数，的值； （2）若正实数，满足，求的最小值. 16. 已知，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）若，证明：在区间上是严格增函数． 17. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为（a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室． 18. 已知函数 （1）判断函数的奇偶性； （2）令函数，当时，求函数的最大值； （3）若，设函数，若存在，任意，使得成立，求实数的取值范围． 19. 若函数满足在定义域内的某个集合上，是一个常数，则称在上具有性质.若是函数定义域的一个子集，称函数，是函数在上的限制. （1）设是上具有性质奇函数，求时不等式的解集； （2）设为上具有性质的偶函数.若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围； （3）已知函数在区间上的限制是具有性质的奇函数，在上的限制是具有性质的偶函数.若对于上的任意实数，，，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $