精品解析：山西省晋中市昔阳县部分学校2025-2026学年上学期11月期中九年级数学试卷

2025—2026学年第一学期期中教学质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例性质求分式值，熟记比例性质是解决问题的关键． 根据已知比例关系，设参数表示和，代入分式计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 则设，，其中， ∴， 故选：A． 2. 2025年是乙巳蛇年，传统文化中蛇象征着智慧、机敏与神秘感，也寓意着通过思考与创新突破困境．如图是一张蛇年吉祥物的图片，其中蕴含的变换关系是（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的全等 D. 图形的相似 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图形的变换，熟练掌握平移、旋转、轴对称及相似是解题的关键，根据平移、旋转、轴对称及相似可进行求解． 【详解】解：由图可知是两个形状一样，大小不一样的吉祥物， ∴其中蕴含的变换关系是图形的相似． 故选：D． 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理，由，得到，然后算出的长度，再代入数值到计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， ． 故选：C． 4. 一元二次方程：的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根． 【详解】解：对于方程， 其判别式的计算为： ， 所以方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 5. 高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用—增长率问题．熟练掌握一元二次方程的应用—增长率问题是解题的关键． 设日平均增长率为，则第二天收入为元，第三天收入为元，三天总收入为元，等于27000元． 【详解】解：∵ 首日收入为8472元，日平均增长率为， ∴ 第二天收入为元，第三天收入为元， 三天总收入为元． 又∵ 三天共收入27000元， ∴ 方程为． 故选D． 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法或树状图法以及概率的计算方法，列举出所有等可能出现的结果是正确解答的关键．用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可． 【详解】解：用树状图表示同时转动两个转盘指针所指颜色所有等可能出现的结果如下： 共有6种等可能出现的结果，其中能配成橙色的有1种， 所以同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是， 故选：D． 7. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法，相似三角形的判定方法：三边成比例、两角对应相等、两边成比例，夹角相等；据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、因为，，所以，故该选项不符合题意； B、因为，，所以，故该选项不符合题意； C、因为，与不一定相等，所以不能判定和相似，故该选项符合题意； D、因为，，所以，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质和判定，勾股定理，三角形中位线定理， 首先得到，证明出是菱形，然后证明出是的中位线，进而求解即可． 【详解】在中，对角线相交于点 ∴， ∴ ∴ ∴是菱形 ∴ ∵点是的中点，点是的中点 是的中位线 ． 故选：B． 9. 小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D. 小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，然后分别计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反的概率为，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4的概率为，不符合题意； D、小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，共有9种等可能的结果，其中小明获胜的情况有3种， 故小明获胜的概率为，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的解是________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法．熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 利用直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解：由方程，两边开平方，得，即． 当时，解得； 当时，解得． 故答案为，． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则菱形的周长为_______． 【答案】20 【解析】 【分析】如图所示，过A作AE⊥x轴于点E，利用勾股定理求出OA的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过A作AE⊥x轴于点E， ∵点A的坐标是（3，4）， ∴OE=3，AE=4． ∴AO= =5， ∵四边形AOBC是菱形， ∴AO=OC=AB=BC=5， ∴菱形的周长=4AB=20， 故答案为20． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质，坐标与图形，勾股定理，解题的关键是利用勾股定理求出OA的长． 13. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念与应用，熟练掌握黄金分割的概念与应用是解题的关键. 把线段分两段，较长段与全段比较短段与较长段比，比值为，称黄金分割. 根据黄金分割的概念，已知全段长为，则较长段（握持区）为，然后用全段长减去握持区即可得到摄像区的长度 【详解】解：， 故答案为 . 14. 2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，准确列出一元二次方程求解是解决问题的关键． 设该校九年级有个班级，每个班级与剩下的个班级各比赛一场，则比赛总场数为，则由已知条件可列方程，解此方程即可得到答案． 【分析】解：设该校九年级有个班级，则由题意可得， ， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：该校九年级一共有个班级， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，延长至点F，使，点E为边上一点，且，连接、，相交于点O．已知，，则线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】证明出，得到，代数求出，勾股定理求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，，，． ． ， ， ． ． ，即． 又， ， ，即， 解得． ． ． ， ，． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ． ，，． ， ． 解得，； 【小问2详解】 ，或 解得，． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 【答案】 证明：∵，是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形、矩形的判定，角平分线的性质及等腰三角形的判定与性质．先根据已知条件得出，再由，利用三角形内角和定理得出，从而根据等腰三角形的判定可知，，证明出四边形是矩形，进而求得四边形是正方形． 【详解】略 18. 下面是小年解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：二次项系数化为1，得：． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以，，． 第五步 任务： ①小年运用“配方法”，将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是________． A．方程思想 B．转化思想 C．整体思想 ②第二步变形的依据是________． ③小年的解题过程从第________步开始出现错误，请直接写出正确的解________． 【答案】①B；②等式的基本性质1；③三，，． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． ①根据方程解答过程回答即可； ①第二步移项的依据是等式的基本性质1，据此回答即可； ①根据方程解答过程回答即可． 【详解】解：①小年运用“配方法”，将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想； 故答案为：B； ②“第二步”变形的依据是等式的基本性质1； 故答案为：等式的基本性质1． ③小年的解题过程从第三步开始出现错误； 正确的解是： 移项，得， 配方，得，即， ，． 19. 2025年暑期档电影涵盖了多种类型，给观众带来了丰富的观影体验．为了丰富孩子们的暑假生活，小豆爸妈准备带小豆和妹妹去看电影，将电影《南京照相馆》《东极岛》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》制作成四张卡片，这些卡片除内容外其余均相同，洗匀后背面朝上放置，小豆抽取一张记下内容后放回，再次洗匀后背面朝上放置，妹妹也抽取一张． （1）小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查概率，熟练掌握概率的求法，会运用列表法或树状图法求概率是解题关键． （1）根据列举法确定抽一张卡片的所有可能和抽到《南京照相馆》的可能数即求； （2）列表找出所有可能的结果和两人抽到两张卡片是同一部电影的结果数，然后根据概率公式即可求出． 【小问1详解】 小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是； 【小问2详解】 记《南京照相馆》为A，《东极岛》为B．《长安的荔枝》为C．《浪浪山小妖怪》为D． 列表如下： 小豆 妹妹 A B C D A B C D 一共有16种等可能的结果，其中小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的结果有4种， 所以，抽取的两张卡片上是同一部电影的概率为． 20. 如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，，求BF的长． 【答案】（1） 证明：， ． 又∵， ； （2）3 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由得到，然后结合即可证明； （2）由得到，得到，勾股定理求出，然后得到，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知， ． ，． ． 在中，由勾股定理，得． ， ． ． 21. 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在平行四边形中画菱形 ×年×月×日 星期日 菱形作为特殊的平行四边形，与平行四边形有着紧密的联系．今天，我尝试在平行四边形中通过尺规画出菱形、并利用平行四边形和菱形的性质解决相关问题． 如图，在中． 第一步，以点A为圆心，以BC长为半径画弧，再以点C为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，得到平行四边形ABCD． 第二步，作线段AC的垂直平分线，与AC交于点O，与BC交于点E，与AD交于点F． 第三步，连接AE，CF，得到四边形AECF． 求证：四边形AECF是菱形． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． …… 任务： （1）依据操作步骤完成尺规作图； （2）补全材料中的证明过程； （3）在（2）的基础上，过点A作于点G．若，，请直接写出AG的长． 【答案】（1） 如同： （2） 证明：四边形是平行四边形， ， ，， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，尺规作图，勾股定理，菱形的面积公式．熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）按步骤进行画图即可； （2）由平行四边形的性质得到，进而利用“”证明，得到，先证明四边形是平行四边形，再结合即可证明四边形是菱形； （3）先由菱形对角线求出面积，再用勾股定理求出菱形的边长，最后利用面积相等建立等式并求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：四边形是菱形，，， 菱形的面积为， 又是的垂直平分线， ，， 在中，由勾股定理可得， ， 菱形的面积， 解得． 22. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 【答案】（1），； （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个； （3）不能． 理由：根据题意，令． 整理，得． ． 所以方程无解． 所以，在不违反商场规定的前提下，不能每日获利2300元． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，理解题意、正确列出代数式和一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列式即可； （2）根据题意列方程求解即可； （3）根据题意列方程，然后利用判别式求解即可． 【详解】解：（1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为元，此时平均每天可卖出盲盒个； （2）根据题意，得． 解得，，． 因为每个盲盒的价格不能超过70元， 所以不符合题意，舍去． 所以（元）． 所以，若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该定价为66元/个． （3）略 23. 综合与探究 探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，且，，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． 迁移： （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O．若，，求的长． 应用： （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，垂直平分于点O．若，，请直接写出的长． 【答案】（1），，理由： ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴，即； （2）7； （3） 【解析】 【分析】（1）证明出，得到，，进而推出； （2）根据题意证明出，得到，代数求出，进而求解即可； （3）如图所示，连接，证明出，得到，代数得到，设，则，，求出，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵点F为的中点，， ∴ ∵四边形是矩形 ∴， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴； （3）如图所示，连接 ∵四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 设，则 ∴ ∵垂直平分于点O ∴ ∵ ∴，即 解得或（舍去） ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，正方形的性质，矩形的性质，勾股定理，垂直平分线的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年第一学期期中教学质量监测九年级数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 2025年是乙巳蛇年，传统文化中蛇象征着智慧、机敏与神秘感，也寓意着通过思考与创新突破困境．如图是一张蛇年吉祥物的图片，其中蕴含的变换关系是（ ） A. 图形的平移 B. 图形的旋转 C. 图形的全等 D. 图形的相似 3. 如图，，若，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 4. 一元二次方程：的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 5. 高平大黄梨汁多脆甜，曾为明清时期朝廷贡品．国庆期间高平某地开展为期三天的“围炉煮梨，助农振兴”直播活动，首日收入8472元，活动结束后三天共收入2.7万元，设活动期间直播收入的日平均增长率是x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配橙色”游戏（其中一个转出红色，另一个转出黄色即可配成橙色），其中A转盘被分成相等的两个扇形，B转盘被分成相等的三个扇形．如果同时转动两个转盘，那么转盘停止时指针所指的颜色可配成橙色的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点D，E分别是边，上的点，连接，添加下列条件，不能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2.4 D. 4 9. 小明在一次用频率估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制成如图所示的统计图，则符合这一试验结果的可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 B. 掷两枚质地均匀的硬币，出现一正一反 C. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的数字是4 D. 小明、小红玩“石头、剪刀、布”游戏，小明获胜 10. 如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在答题卡中的横线上） 11. 一元二次方程的解是________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形．若点A的坐标是（3，4），则菱形的周长为_______． 13. 手机作为现代生活的必需品，更新换代越来越快，外观设计吸引人的手机往往会更加畅销．某款手机以的黄金比例将较短的摄像区和较长的握持区进行明确的划分，已知该手机总长为，那么摄像区的长度为________． 14. 2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 15. 如图，在矩形中，延长至点F，使，点E为边上一点，且，连接、，相交于点O．已知，，则线段的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出必要的计算过程、推理步骤或文字说明） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知：如图，在中，，是的平分线，于点E，于点F．求证：四边形是正方形． 18. 下面是小年解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程：． 解：二次项系数化为1，得：． 第一步 移项，得． 第二步 配方，得，即． 第三步 由此，可得． 第四步 所以，，． 第五步 任务： ①小年运用“配方法”，将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是________． A．方程思想 B．转化思想 C．整体思想 ②第二步变形的依据是________． ③小年的解题过程从第________步开始出现错误，请直接写出正确的解________． 19. 2025年暑期档电影涵盖了多种类型，给观众带来了丰富的观影体验．为了丰富孩子们的暑假生活，小豆爸妈准备带小豆和妹妹去看电影，将电影《南京照相馆》《东极岛》《长安的荔枝》《浪浪山小妖怪》制作成四张卡片，这些卡片除内容外其余均相同，洗匀后背面朝上放置，小豆抽取一张记下内容后放回，再次洗匀后背面朝上放置，妹妹也抽取一张． （1）小豆随机抽取一张卡片，所抽卡片上的电影是《南京照相馆》的概率是________； （2）请用列表或画树状图的方法，求小豆和妹妹所抽取的两张卡片上是同一部电影的概率． 20. 如图，在中，，过AC上一点E作交AB于点F，过点A作交的延长线于点D． （1）求证：； （2）若，，，求BF的长． 21. 请阅读下面材料，并完成相应的任务． 在平行四边形中画菱形 ×年×月×日 星期日 菱形作为特殊的平行四边形，与平行四边形有着紧密的联系．今天，我尝试在平行四边形中通过尺规画出菱形、并利用平行四边形和菱形的性质解决相关问题． 如图，在中． 第一步，以点A为圆心，以BC长为半径画弧，再以点C为圆心，以AB长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，得到平行四边形ABCD． 第二步，作线段AC的垂直平分线，与AC交于点O，与BC交于点E，与AD交于点F． 第三步，连接AE，CF，得到四边形AECF． 求证：四边形AECF是菱形． 证明：四边形ABCD是平行四边形， ． …… 任务： （1）依据操作步骤完成尺规作图； （2）补全材料中的证明过程； （3）在（2）的基础上，过点A作于点G．若，，请直接写出AG的长． 22. 项目式学习 项目主题 如何销售获利最大？ 项目背景 2025年一款名为“拉布布”的玩偶，凭借其萌态与搞怪、叛逆的气质融合一体的造型，在一众“萌系”玩偶中脱颖而出，其盲盒与拍卖的双轨机制更是让年轻人狂热不已．某商场店铺老板瞄准商机，准备购买拉布布盲盒进行销售． 市场调研 该老板以40元/个的成本购进一批拉布布盲盒，现按60元/个进行销售，平均每天可以卖出100个，为了提高利润，经市场调研发现，盲盒每涨价2元，每天会少卖出5个，且商场规定拉布布盲盒的价格不得高于70元/个，设老板准备将每个盲盒涨价x元…… 分析问题 （1）当涨价x元时，每个盲盒的利润为________元，此时平均每天可卖出盲盒________个． 解决问题 （2）若老板想每天获利2210元，在不违反商场规定的前提下应该如何定价？ 深入研究 （3）在不违反商场规定的前提下，是否能每日获利2300元？请说明理由． 23. 综合与探究 探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，边上的点，且，，相交于点O，猜想与之间的数量和位置关系，并说明理由． 迁移： （2）如图2，在矩形中，点F为的中点，点E为边上的点，且于点O．若，，求的长． 应用： （3）如图3，在矩形中，点E，F分别是，边上的点，垂直平分于点O．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $