章末过关检测卷(三) 函数的概念与性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

章末过关检测卷(三)　函数的概念与性质 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知f(x)＝(m－2)xm是幂函数，则f(2)＝(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解析：选D.因为f(x)＝(m－2)xm是幂函数，所以m－2＝1，解得m＝3，则f(x)＝x3，所以f(2)＝23＝8. 2．下列各组函数是同一函数的是(　　) A．y＝与y＝ B．y＝|x＋1|＋|x|与y＝ C．y＝|x|与y＝ D．y＝|x|与y＝()2 解析：选C.对于A中，由函数y＝的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)， 函数y＝的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以A不符合题意； 对于B中，由函数y＝|x＋1|＋|x|＝与函数y＝ 其中两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以B不符合题意； 对于C中，函数y＝|x|与y＝＝|x|，两个函数的定义域与对应关系都相同，所以两个函数是同一函数，所以C符合题意； 对于D中，函数y＝|x|的定义域为R，函数y＝()2的定义域为[0，＋∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以D不符合题意． 3．已知函数f(x)＝x3－，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 解析：选B.定义域为{x|x≠0}，f(－x)＝－(x3－)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数． 当x>0时，y＝x3为增函数，y＝为减函数，故函数f(x)＝x3－在x>0时为增函数． 4．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋2).若f(3＋m)＋f(3m－7)>0，则m的取值范围为(　　) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C．(－∞，1) D．(1，＋∞) 解析：选D.当x≥0时，f(x)的对称轴为x＝－1，故f(x)在[0，＋∞)上单调递增． 函数在x＝0处连续，又f(x)是定义域为R的奇函数，故f(x)在R上单调递增． 因为f(－x) ＝－f(x)，由f(3＋m)＋f(3m－7)>0，可得f(3＋m)>f(7－3m)， 又因为f(x)在R上单调递增，所以3＋m>7－3m，解得m>1. 5．设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(　　) A．[－1，0] B．[－1，2] C．[－2，－1] D．[－2，0] 解析：选A.由于f(x)＝当x＝0，f(0)＝a2，由于f(0)是f(x)的最小值， 则(－∞，0]为减区间，即有a≤0，则a2≤x＋＋a，x>0恒成立． 由x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取等号，所以a2≤2＋a，解得－1≤a≤2. 综上，a的取值范围为[－1，0]. 6．已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋2a＋b是定义在[2a－1，a]上的偶函数，则f(a＋b)＝(　　) A．1 B．0 C．－ D．－ 解析：选D.由题意得，2a－1＋a＝0，解得a＝， 因为f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋2a＋b为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)，即a(－x)2－(b＋1)x＋2a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋2a＋b， 所以b＋1＝0，解得b＝－1， 所以f(x)＝x2－，a＋b＝－， 所以f(a＋b)＝f(－)＝－. 7．已知函数f(x)＝x|x＋m|(m为常数)，则y＝f(x)的大致图象不可能是(　　) 解析：选A.当m＝0时，函数f(x)＝x|x|＝故选项D不符合题意； 当m>0时，函数f(x)＝x|x＋m|＝故选项C不符合题意； 当m<0时，函数f(x)＝x|x＋m|＝故选项B不符合题意． 8．二次函数f(x)＝ax2＋a是[－a，a2]上的偶函数，若函数g(x)＝f(x－2)，则g(0)，g()，g(3)的大小关系为(　　) A．g()<g(0)<g(3) B．g(0)<g()<g(3) C．g()<g(3)<g(0) D．g(3)<g()<g(0) 解析：选C.由题意得解得a＝1. 所以f(x)＝x2＋1， 所以g(x)＝f(x－2)＝(x－2)2＋1. 因为函数g(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以g()＝g()，g(0)＝g(4). 又因为函数g(x)＝(x－2)2＋1在区间[2，＋∞)上单调递增， 所以g()<g(3)<g(4)， 所以g()<g(3)<g(0). 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列有关幂函数y＝xα(α为常数)的说法正确的是(　　) A．当α＝2k，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为偶函数 B．当α＝2k＋1，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为奇函数 C．幂函数y＝xα(α为常数)的图象始终经过点(1，1) D．幂函数y＝xα(α为常数)的定义域始终包含[0，＋∞) 解析：选ABC.对于A，当α＝2k，k∈N时，此时幂函数y＝xα为偶函数，故A正确； 对于B，当α＝2k＋1，k∈N时，此时幂函数y＝xα(α为常数)为奇函数，故B正确； 对于C，当x＝1时，xα＝1，故幂函数y＝xα(α为常数)的图象始终经过点(1，1)，故C正确； 对于D，当α＝－1时，幂函数y＝xα(α为常数)的定义域不包含0，故D错误． 10．已知函数f(x)＝，则(　　) A．f(x)的定义域为{x|x≠±2} B．f(x)在(2，＋∞)上单调递减 C．f(f(－5))＝－6 D．f(x)的值域是(－∞，0)∪(0，＋∞) 解析：选ABC.对于选项A：令|x|－2≠0，解得x≠±2，所以f(x)的定义域为{x|x≠±2}，则A正确； 对于选项B：若x>2，则f(x)＝，因为y＝x－2在(2，＋∞)上单调递增，且y＝x－2>0，可知f(x)＝在(2，＋∞)上单调递减，故B正确； 对于选项C：因为f(－5)＝，所以f(f(－5))＝－6，故C正确； 对于选项D：因为x≠±2，则|x|≥0，且|x|≠2，可得|x|－2∈[－2，0)∪(0，＋∞)， 当|x|－2∈[－2，0)时，f(x)＝≤－2； 当|x|－2∈(0，＋∞)时，f(x)＝>0； 所以f(x)的值域是(－∞，－2]∪(0，＋∞)，故D错误． 11．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费．另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　) A．出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B．出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C．出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D．某人两次乘出租车均行驶5 km的费用之和超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 解析：选CD.在A中，出租车行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误； 在B中，出租车行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15(元)，B错误； 在C中，出租车行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，C正确； 在D中，乘出租车行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.3(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6>25.45，D正确． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12．已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1－x)，则当x<0时，f(x)＝________． 解析：因为x<0，所以－x>0， 所以f(－x)＝(－x)(1＋x)， 又函数f(x)是奇函数， 所以f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(1＋x)＝x(1＋x)，所以当x<0时，f(x)＝x(1＋x). 答案：x(1＋x) 13．若函数f(x)满足f()＝x，则f(x)的解析式为________． 解析：令＝t，则x＝，t≠1， 所以f(t)＝，t≠1， 所以f(x)＝(x≠1). 答案：f(x)＝(x≠1) 14．已知函数f(x)是R上的奇函数，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－5)＝0，则不等式(x－3)f(x)>0的解集是________． 解析：据题意，得函数f(x)是R上的奇函数，且f(－5)＝0， 则f(5)＝－f(－5)＝0， 又函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减， 则在(0，5)上，f(x)>0，在(5，＋∞)上，f(x)<0， 又函数为奇函数，则在(－5，0)上，f(x)<0，在(－∞，－5)上，f(x)>0， 不等式(x－3)f(x)>0⇒或 则3<x<5或－5<x<0，即不等式的解集为(－5，0)∪(3，5). 答案：(－5，0)∪(3，5) 四、解答题(本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示． (1)请补全函数y＝f(x)的图象； (2)根据图象写出函数y＝f(x)的单调递增区间； (3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合． 解：(1)由题意作出函数图象如图所示． (2)由图可知，单调递增区间为(－1，1). (3)由图可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－2<x<0，或x>2}． 16．(15分)已知函数f(x＋1)＝ (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在R上单调，求a的取值范围． 解：(1)令t＝x＋1，得x＝t－1， 则f(t)＝ 得f(t)＝ 即f(x)＝ (2)当a＝0时，f(x)＝在R上不单调． 当f(x)在R上单调递增时，得a≥. 当f(x)在R上单调递减时，得a≤－2. 综上，a的取值范围为(－∞，－2]∪[，＋∞). 17．(15分)某工厂生产某种产品，其生产的总成本y(万元)年产量x(吨)之间的函数关系可近似的表示为y＝x2－20x＋4 000，已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨． (1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本； (2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求出最大利润． 解：(1)由题意可得＝＋－20，x∈[150，250]， 因为＋－20≥2－20＝20， 当且仅当＝时，即x＝200时等号成立，符合题意． 所以当年产量为200吨时，平均成本最低为20万元． (2)设利润为W(x)，则W(x)＝24x－(－20x＋4 000)＝－(x－220)2＋840， 因为150≤x≤250， 所以当x＝220时，W(x)max＝840. 所以当年产量为220吨时，最大利润为840万元． 18．(17分)函数f(x)对任意的a，b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1. (1)求证：f(x)是R上的增函数； (2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3. 解：(1)证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，则x2－x1>0，∴f(x2－x1)>1. 因此f(x2)－f(x1)=f[(x2－x1)+x1]－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－fx1)=f(x2－x1)－1>0． 所以f(x2)>f(x1)，即f(x)是R上的增函数. (2)因为f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)－1=5，所以f(2)=3，所以原不等式可化为f (3m2－m－2)<f(2)，因为f(x)是R上的增函数，所以3m2－m－2<2，解得－1<m<，故解集为（－1，）. 19．(17分)已知y＝f(x)是定义在D上的函数，对于D上任意给定的两个自变量的值x1，x2，当x1≠x2时，如果总有f(x1)≠f(x2)，就称函数y＝f(x)为“可逆函数”． (1)判断函数f1(x)＝x＋是否为“可逆函数”，并说明理由； (2)已知函数y＝f2(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，证明：F(x)＝f2(x)－，x∈(0，＋∞)是“可逆函数”； (3)证明：函数f3(x)＝＋(a∈R)是“可逆函数”的充要条件为“a＝0”． 解：(1)函数f1(x)＝x＋不是“可逆函数”， 理由：因为f1(x)＝x＋在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以f1(x)min＝f1(1)＝2， 则f1(x)与y＝a(a>2)恒有两个不同的交点，记为x1，x2， 则x1≠x2，f1(x1)＝f1(x2)＝a，不符合“可逆函数”定义， 所以f1(x)＝x＋不是“可逆函数”． (2)证明：任取x2>x1>0，则F(x2)－F(x1)＝f2(x2)－－f2(x1)＋＝f2(x2)－f2(x1)＋， 因为f2(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，所以f2(x2)－f2(x1)>0， 又x2－x1>0，x2x1>0，所以F(x2)－F(x1)>0， 所以F(x)在区间(0，＋∞)上是增函数，则当x1≠x2时，F(x1)≠F(x2)恒成立， 所以F(x)＝f2(x)－，x∈(0，＋∞)是“可逆函数”． (3)先证明充分性：当a＝0时，f3(x)＝1＋，则f3(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 任取x1，x2∈(－∞，0)∪(0，＋∞)且x1≠x2，则f3(x2)－f3(x1)＝1＋－1－＝－≠0，即f3(x1)≠f3(x2)，所以f3(x)为“可逆函数”，充分性成立； 再证明必要性：假设当f3(x)＝＋是“可逆函数”时，a≠0， 构造关于x的方程：＋＝2，化简可得：x2－(2a＋1)x＋a＝0， 显然x＝0与x＝a均不是方程的根，又Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0， 解方程可得：x1＝，x2＝，且x1≠x2， 则＋＝＋＝2，即f3(x1)＝f3(x2)＝2，与f3(x)是“可逆函数”矛盾， 所以假设不成立，即a＝0，必要性成立； 综上所述：函数f3(x)＝＋(a∈R)是“可逆函数”的充要条件为“a＝0”． 学科网（北京）股份有限公司 $