第一章 创新培优（一）新定义型集合问题-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学新定义型集合问题，从概念引入（结合已有集合知识的新型问题）出发，通过定义新集合（如“权集”判断）、新概念（如集合分拆）、新运算（如差集、A☉B）三个题型构建学习支架，系统梳理从理解定义到转化应用的解题脉络。 资料以逻辑推理和数学抽象为核心，通过“权集”性质判断、三元素集合分拆等实例，搭配类题通法总结与迁移运用设计。采用例题解析-方法提炼-巩固练习的教学环节，课中助力教师高效授课，课后帮助学生深化理解，查漏补缺，提升解决创新型集合问题的能力。

1．概念：新定义型集合问题是在已有的运算法则和运算律的基础上，结合已学的集合知识来求解的新型集合问题． 2．形式：“新定义”经常以数学符号的形式出现，题目形式新颖，能很好地考查逻辑推理、数学抽象等核心素养，因此在近年成为各类考试的新切入点． 3．解法：求解此类问题时，应充分利用题目所给的信息，准确地将其转化为已掌握的知识进行求解． 题型一　定义新集合(与集合的性质类比) (2025·山东菏泽期中)若数集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性质P：对任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj与 两数中至少有一个属于A，则称集合A为“权集”．则(　　 ) A．{1，3，4}为“权集” B．{1，2，3，6}为“权集” C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有元素1 解析：选B.对于A，由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，故A不正确； 对于B，选1，2时，有1×2属于{1，2，3，6}，同理取1，3，取1，6，取2，3时也满足，取2，6时，有属于{1，2，3，6}，取3，6时，有属于{1，2，3，6}，所以B正确； 对于C，由“权集”的定义知1≤a1<a2<…<an且需要有意义，故不能有0，故C不正确； 对于D，如集合{2，4}，符合“权集”的定义，但不含1，故D不正确． 类题通法 解决集合性质的新定义问题的两个关键点 (1)准确转化，即解决新定义问题时，首先要读懂题意，对题目进行恰当转化，切忌与已有概念混淆； (2)方法选取，即对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法等方法，并结合集合的相关性质求解． 【迁移运用】 1.定义差集A－B＝{x|x∈A，且x∉B}，现有三个集合A，B，C，分别用圆表示，则下列图中阴影部分可表示成C－(A－B)的为(　　 ) 解析：选A.如图所示，取A＝{1，2，4，5}，B＝{2，3，5，6}，C＝{4，5，6，7}，依题意得A－B＝{1，4}，从而C－(A－B)＝{5，6，7}，结合图形知，选项A正确． 题型二　定义新概念(与集合概念类比) (2025·江苏苏州调研)若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________． 解析：不妨假设集合A＝{a，b，c}，则集合A的所有可能情况如下： 当A1＝∅时，A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为2； 当A1＝{a}时，A2＝{b，c}或A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为4； 当A1＝{b}时，A2＝{a，c}或A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同拆分种数为4； 当A1＝{c}时，A2＝{a，b}或A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为4； 当A1＝{a，b}时，A2＝{a，c}或A2＝{b，c}或A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为6； 当A1＝{a，c}时，A2＝{b，c}或A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为4； 当A1＝{b，c}时，A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同拆分种数为2； 当A1＝{a，b，c}时，A2＝{a，b，c}，此时集合A的不同分拆种数为1. 因此集合A的所有不同的分拆种数为：2＋4＋4＋4＋6＋4＋2＋1＝27. 答案：27 类题通法 集合概念的新定义问题的解题思路 (1)解答集合概念的新定义问题的关键是读懂新定义情境，构建集合新概念模型． (2)本例着手点是理解“分拆”的概念，按照“分拆”的要求解答． 【迁移运用】 2.设集合I＝{1，2，3}，A⊆I，若把满足M∪A＝I的集合M叫做集合A的配集，则A＝{1，2}的配集的个数为(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D.由定义可知，3∈M，故集合M的个数为22＝4. 题型三　定义新运算(与集合间的运算类比) 已知有限集X，Y，定义集合X－Y＝{x|x∈X，且x∉Y}，|X|表示集合X中的元素个数．若X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}，则|(X－Y)∪(Y－X)|＝(　　 ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选A.∵X＝{1，2，3，4}，Y＝{3，4，5}∴X－Y＝{1，2}，Y－X＝{5}，∴(X－Y)∪(Y－X)＝{1，2，5}，∴|(X－Y)∪(Y－X)|＝3. 类题通法 新定义“运算”问题的求解策略 有关新定义“运算”的问题，在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理． 【迁移运用】 3.定义集合运算：A☉B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，1}，B＝{2，3}，则集合A☉B的所有元素之和为(　　 ) A．0 B．6 C．12 D．18 解析：选D.由题意知A☉B＝{0，6，12}，故A☉B中所有元素之和为18. 学科网（北京）股份有限公司 $