第五章 章末总结（五）三角函数-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

该高中数学三角函数单元复习讲义以题型分类为框架系统构建知识体系，通过“类题通法”表格梳理弧度制、三角函数定义、图象变换等核心知识点，结合例题解析呈现从基础定义到综合应用的递进脉络，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于“一题多解”与分层练习设计，如例2通过切化弦和直角三角形法求解，培养数学思维与运算能力，迁移运用题兼顾基础巩固与能力提升，助力不同层次学生掌握三角恒等变换等方法，为教师实施精准复习教学提供系统支持。

题型一　任意角、弧度制和三角函数的定义 主要考查表示终边相同的角与区域角；判断角终边所在的象限；角度制与弧度制的互化；会求任意角的三角函数值，确定象限角及三角函数值符号等问题． 例1　用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x轴非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界，如图所示). 解：对题图①，可看作[－，]内的角，结合任意角概念，可表示为{α|2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z}； 对题图②，可看作[－，]内的角，结合任意角概念，可表示为{α|2kπ－≤α≤2kπ＋，k∈Z}； 对题图③，可看作由[，]的范围角，经过旋转半圈整数倍形成的角，故可表示为{α|kπ＋≤α≤kπ＋，k∈Z}． 类题通法 1.弧度与角度互化公式:180°=π rad. 2.弧长公式:l=|α|r(α是圆心角的弧度数)，扇形面积公式:S= lr = |α|r2. 3.任意角的三角函数定义:设α是一个任意角，α∈R,它的终边 OP与单位圆相交于点 P(x,y)，sin α=y;cosα=x;tanα= (x≠0). 【迁移运用】 1.已知α为第二象限的角，其终边上有一点P(x，)，且cos α＝x，求tan α. 解：由于α为第二象限的角，则x<0， 根据三角函数的定义，cos α＝x＝，解得x＝－， 则tan α＝＝－. 题型二　三角函数式的化简与求值 考查两个基本关系式、诱导公式、两角和与差的正(余)弦、正切公式及二倍角公式，常用到切化弦、异角化同角、特殊值与特殊角的三角函数互化、变角等方法，一般有给角求值、给值求值、给值求角、证明恒等式等题型． 例2　(2023·全国乙卷)(一题多解)若θ∈(0，)，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________． 解析：方法一：因为θ∈(0，)，则sin θ>0，cos θ>0， 又tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1， 解得sinθ＝或sin θ＝－(舍去)， 故sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 方法二：因为θ∈(0，)，设直角三角形中角θ的对边为x，邻边为2x，则斜边为x，所以sin θ＝，cos θ＝，故sin θ－cos θ＝－. 答案：－ 类题通法 给角求值的关键是将问题转化为特殊角的三角函数值，给值求值的关键是结合条件和结论中的角合理拆角、配角，给值求角的关键是确定角的范围. 【迁移运用】 2.(1)已知0<α<<β<π，sin α＝，sin (α＋β)＝，则sin β＝________． 解析：由0<α<<β<π，得<α＋β<，由sin α＝，故cos α＝＝，sin (α＋β)＝，故cos (α＋β)＝－＝－，故sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cos α－cos (α＋β)sin α＝×－(－)×＝. 答案： (2)＝________． 解析： ＝ ＝ ＝＝tan 15°＝tan (60°－45°)＝＝＝2－. 答案：2－ 题型三　三角函数的图象及其变换 掌握三角函数图象变换的规则，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例3　已知函数f(x)＝sin (2x＋φ)(其中|φ|<)图象的一个对称中心为(，0)，为了得到g(x)＝sin (2x－)的图象，只需将f(x)的图象(　　 ) A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 解析：选D.因为函数f(x)＝sin (2x＋φ)的一个对称中心为(，0)，且|φ|<，将点(，0)代入f(x)，可得sin (＋φ)＝0，解得φ＝， 所以f(x)＝sin (2x＋)，依次代入4个选项， 可得只有f(x－)＝sin [2(x－)＋]＝sin (2x－)，所以函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得到g(x)＝sin (2x－)的图象． 类题通法 由函数 y=sin x的图象得到y=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象有两种途径:先平移再伸缩;先伸缩再平移，这两种途径的区别是平移的单位长度不同，其余参数不受影响，若相应变换的函数名称不同时，要先用诱导公式转化为同名的三角函数，再进行平移或伸缩. 【迁移运用】 3.(2025·黑龙江大庆检测)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示． (1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称中心； (2)若先将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)，得到函数m(x)的图象；再把图象m(x)上所有点向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象．求函数g(x)在[－π，]上的值域． 解：(1)由f(x)的部分图象可知A＝2，＝－＝，可得T＝π， 所以ω＝＝2，f(x)＝2sin (2x＋φ).因为f()＝2sin (＋φ)＝2， 所以＋φ＝2kπ＋，φ＝2kπ＋，k∈Z. 由于|φ|<，所以φ＝，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin (2x＋). 令2x＋＝kπ，k∈Z，所以x＝－，k∈Z， 故其图象的对称中心为(－，0)，k∈Z. (2)若先将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)， 得到函数m(x)＝2sin (x＋)的图象， 再把后者图象上所有点向左平移个单位长度， 得到函数g(x)＝2sin (x＋×＋)＝2sin (x＋)的图象． 当x∈[－π，]时，x＋∈[－，]，sin (x＋)∈[－，1]， 所以g(x)∈[－1，2]，即函数g(x)在区间[－π，]上的值域为[－1，2]. 题型四　三角函数的性质 三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，通常情况下利用整体代换思想进行解题． 例4　已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在(－，－)上单调递减 B．f(x)在(－，)上单调递增 C．f(x)在(0，)上单调递减 D．f(x)在(，)上单调递增 解析：选C.f(x)＝cos2x－sin2x＝cos2x. 对于A选项，当－<x<－时，－π<2x<－，则f(x)在(－，－)上单调递增，A错； 对于B选项，当－<x<时，－<2x<，则f(x)在(－，)上不单调，B错； 对于C选项，当0<x<时，0<2x<，则f(x)在(0，)上单调递减，C对； 对于D选项，当<x<时，<2x<，则f(x)在(，)上不单调，D错． 类题通法 (1)研究函数y=Asin(ωx+φ)的奇偶性时，应先考虑其定义域，若其定义域关于原点对称，则当φ=kπ(k∈Z)时,函数为奇函数;当φ=kπ+(k∈Z)时,函数为偶函数;当φ ≠ ,(k∈Z)时，函数为非奇非偶函数. (2)求函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中 A≠0,ω>0)的单调区间时(若ω<0，可先利用诱导公式将x前的系数ω变成正值)，把ωx+φ视为一个整体，由A的符号来确定单调性. 【迁移运用】 4.已知偶函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点(，0)中心对称，且在区间[0，]上单调，则ω＝________． 解析：因为偶函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，所以φ＝k1π＋，k1∈Z， 即f(x)＝cos ωx或f(x)＝－cos ωx， 又f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的图象关于点(，0)中心对称，所以cos ＝0，即＝k2π＋，k2∈Z，所以ω＝3k2＋，k2∈Z， 因为当x∈[0，]时，函数f(x)单调，所以0<≤π，即0<ω≤4， 所以当k2＝0时，ω＝符合条件． 答案： 题型五　三角恒等变换与三角函数综合问题 三角恒等变换与三角函数的综合问题，常以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质．当给出的三角函数关系式较为复杂时，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简为y＝A sin (ωx＋φ)＋k或y＝A cos (ωx＋φ)＋k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质． 例5　设函数f(x)＝sin (2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x∈[，]时，求函数f(x)的最大值和最小值并求出对应的x. 解：(1)因为f(x)＝sin(2x－)＋sin (2x＋)－2cos2x＋＝sin2x cos －cos 2x sin ＋sin 2xcos ＋cos 2x sin －2cos2x＋＝2sin2x cos －(2cos2x－1)＝2sin(2x－)， 所以f(x)的最小正周期是T＝＝π， 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z. (2)当x∈[，]时，2x－∈[－，]，此时sin (2x－)∈[－，1]，可得f(x)∈[－1，2]， 所以f(x)的最大值为2，此时2x－＝，得x＝；f(x)的最小值为－1，此时2x－＝－，得x＝. 类题通法 解决三角恒等变换与三角函数综合问题的关键在于熟练地运用基本的三角恒等变换思想方法，对其解析式变形、化简，尽量使其化为只有一个角为自变量的三角函数.解决与图象和性质有关的问题，在进行恒等变换时，既要注意三角恒等思想(切化弦、常值代换、降幂与升幂、收缩代换、和差与积的互化,角的代换)的运用;还要注意一般的数学思想方法(如换元法等)的运用. 【迁移运用】 5.(1)(多选)已知函数f(x)＝sin (2ωx＋)＋sin (2ωx－)＋2cos2ωx－(ω>0)，则下列结论正确的是(　　) A．若f(x)相邻两条对称轴的距离为，则ω＝2 B．当ω＝1，x∈[0，]时，f(x)的值域为[－，2] C．当ω＝1时，f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数y＝2cos (2x＋) D．若f(x)在区间[0，]上有且仅有两个零点，则5≤ω<8 解析：选BCD.f(x)＝sin (2ωx＋)＋sin (2ωx－)＋2cos2ωx－＝sin2ωx cos ＋cos 2ωxsin ＋sin 2ωx cos －cos 2ωxsin ＋cos 2ωx＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin (2ωx＋)， 对于A，若f(x)相邻两条对称轴的距离为，则T＝2×＝π＝，故ω＝1，A错误； 对于B，当ω＝1时，f(x)＝2sin (2x＋)，当x∈[0，]时，2x＋∈[，]，则f(x)的值域为[－，2]，B正确； 对于C，当ω＝1时，f(x)＝2sin (2x＋)，f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数解析式为y＝2sin [2(x＋)＋]＝2sin (2x＋)＝2cos (2x＋)，C正确； 对于D，当x∈[0，]时，2ωx＋∈[，ω＋]，若f(x)在区间[0，]上有且仅有两个零点，则2π≤ω＋<3π，解得5≤ω<8，故D正确． (2)已知函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，则f()＝________． 解析：由题意得函数f(x)＝a sin x＋cos x＝sin (x＋φ)，显然a≠0， sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝，又函数f(x)＝a sin x＋cos x的图象关于直线x＝对称，故＋φ＝＋kπ，k∈Z，则φ＝＋kπ，k∈Z， 故tan φ＝tan (＋kπ)＝1＝，则a＝1，故f()＝sin ＋cos ＝0. 答案：0 1．(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)对于函数f(x)＝sin 2x和g(x)＝sin (2x－)，下列说法中正确的有(　　 ) A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值 C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴 　人教A版必修第一册P214习题5.4T16. 　本题给出两个三角函数，围绕零点、最值、最小正周期、对称轴这几个性质，考查对三角函数基础概念与性质的理解、辨析及简单运算能力． 　 选BC.A选项，令f(x)＝sin 2x＝0，解得x＝，k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)＝sin (2x－)＝0，解得x＝＋，k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误； B选项，显然f(x)max＝g(x)max＝1，B选项正确； C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的周期均为＝π，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，g(x)的对称轴满足2x－＝kπ＋，得x＝＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误． 2．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin (3x－)的交点个数为(　　 ) A．3 B．4 C．6 D．8 　人教A版必修第一册P240习题5.6T2. 　此题为判断两个函数图象交点个数问题，考查五点作图法作图能力或对三角函数图象平移、伸缩变换的理解，以及通过图象解决函数交点问题的数形结合能力． 　 选C.因为函数y＝sin x的的最小正周期为T＝2π， 函数y＝2sin (3x－)的最小正周期为T＝， 所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin (3x－)有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点． 3．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，则cos (α－β)＝(　　 ) A．－3m B．－ C． D．3m 　人教A版必修第一册P255复习参考题5T15. 　本题给出三角函数的和角余弦值及正切值关系，考查对三角函数和差角公式、同角三角函数关系的理解，以及公式灵活运用和代数运算能力． 　 选A.因为cos (α＋β)＝m， 所以cos αcos β－sin αsin β＝m， 而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β， 故cos αcos β－2cos αcos β＝m，即 cos αcos β＝－m， 从而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m. 学科网（北京）股份有限公司 $