第三章 创新培优（二）函数奇偶性的拓展-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦函数对称性与幂函数两大核心知识点，先系统梳理轴对称、中心对称的定义、性质及区别联系，再通过三类典型题型构建从抽象表达式识别到平移对称分析、解析式求解的学习支架，衔接幂函数的概念、图象性质及应用题型，形成完整知识脉络。 资料以具体例题为载体，通过“定义-性质-题型-通法”设计培养学生抽象能力与推理意识，如利用函数奇偶性推导对称关系体现数学思维，表格归纳对称结论助力数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后通过迁移运用题帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

　一、轴对称 1．定义：如果函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，那么对于任意x，都有f(a＋x)＝f(a－x). 2．性质： (1)轴对称图形关于对称轴对称，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等，且对应点连线与对称轴垂直． (2)在作图时，只需要作出一侧的图象，另外一侧利用对称性即可画出． (3)最值点(如最大值、最小值)关于对称轴对称． (4)在轴对称的函数中，关于对称轴对称的两个单调区间的单调性是相反的． 二、中心对称 1．定义：如果函数f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称，那么对于任意x，都有f(a＋x)＋f(a－x)＝2b.这意味着，函数图象可以绕着这个点旋转180度，旋转后的图象能够与原图象重合． 2．性质： (1)中心对称图形关于对称中心对称，旋转180度后能够重合． (2)连接两个对称点的线段都经过对称中心，且被对称中心平分． (3)在中心对称的函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同． 三、区别与联系 1．区别：轴对称是关于一条直线(对称轴)的对称，而中心对称是关于一个点(对称中心)的对称． 2．联系：在某些情况下，一个函数可能同时具有轴对称和中心对称性，如反比例函数的图象既是中心对称图形，也是轴对称图形． 题型一　对称轴、对称中心的抽象表达式的识别 设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(1＋x)＋f(－x)＝0.若f(－)＝，则f()＝(　　 ) A.－ B．－ C． D． 解析：选C.由题意可得：f()＝f(1＋)＝－f(－)＝－f()， 而f()＝f(1－)＝－f()＝－f(－)＝－， 故f()＝. 类题通法 轴对称与中心对称的常见结论 (1)轴对称 结论的一般形式： f(x+A)=f(B-x)⇔f(x)的图象关于x=对称，特殊的A=B=0时，f(x)为偶函数. (2)中心对称 结论的一般形式： f(x+A)=-f(B-x)⇔f(x)的图象关于(,0)中心对称，特殊的A=B=0时，f(x)为奇函数. 结论的一般形式： f(x+A)=-f(B-x)+C⇔f(x)的图象关于(,)中心对称. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 题型二　由平移前后关系得出原函数对称性 (2025·河北保定高一期中)(多选)已知y＝f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则下列说法正确的是(　　) A.y＝f(x－1)＋1是偶函数 B.y＝f(－x＋1)－1是奇函数 C.y＝f(x＋1)＋1是偶函数 D.y＝f(x＋1)－1是奇函数 解析：选BD.∵f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2， ∴f(x)的图象关于点(1，1)对称， ∴y＝f(x－1)＋1的图象关于点(2，2)对称；y＝f(－x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(－x＋1)－1是奇函数；y＝(x＋1)＋1的图象关于点(0，2)对称；y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)对称，y＝f(x＋1)－1是奇函数． 类题通法 （1） 若f(mx+a)+b是偶函数，则f(x)关于x=a对称； （2） 若f(mx+a)+b是奇函数，则f(x)关于(a,b)对称。 题型三　由对称性求解析式 设函数f(x)＝x＋的图象为C1，C1关于点A(2，－1)对称的图象为C2，C2对应的函数为g(x)，则g(x)的解析式是________． 解析：设P(x，y)为C2上任意一点，则P(x，y)关于点A(2，－1)的对称点为(4－x，－2－y)， 因为点A(4－x，－2－y)在f(x)＝x＋的图象上， 所以－2－y＝4－x＋，解得y＝x－6＋(x≠4)， 所以g(x)＝x－6＋(x≠4). 答案：g(x)＝x－6＋(x≠4) 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1)把f(x)的图象关于x=a对称，对称后的函数为g(x)，则g(x)=f(2a-x)； (2)把f(x)的图象关于(a，b)对称，对称后的函数为g(x)，则g(x)=f(2a-x). 3.3　幂函数　　　　　　　　　　► 对应学生用书P80 学习目标　1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式，提升数学抽象和数学运算素养．(重点)　2.通过具体实例，结合y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象，归纳出幂函数的基本性质提升直观想象素养．(重点、难点)　3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小，提升数学运算素养．(重点) 1．教材挖掘：(1)函数y＝2x，y＝2x2是幂函数吗？ 提示：不是． (2)幂函数的图象能出现在第四象限吗？为什么？ 提示：不能，当x>0时，不论α如何取值，函数值均不小于0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)函数y＝x0是幂函数．(　　 ) (2)幂函数的图象都过原点．(　　 ) (3)幂函数一定具有奇偶性．(　　 ) (4)当α>0时，幂函数y＝xα在第一象限内都是递增的．(　　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 　幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 例1　(1)在函数①y＝，②y＝x2，③y＝1，④y＝2x2，⑤y＝x－中，是幂函数的是(　　) A.①②③④ B．③⑤ C.①②⑤ D．①②③④⑤ 解析：选C.幂函数是形如y＝xα(α为常数)的函数，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑤是α＝－的情形，所以①②⑤都是幂函数；④中x2的系数是2，所以不是幂函数；③是常函数，不是幂函数．所以只有①②⑤是幂函数． (2)函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，求f(x)的解析式． 解：由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1. 当m＝2时，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3， 当m＝－1，m2＋m－3＝－3，f(x)＝x-3. 综上，f(x)＝x3或f(x)＝x-3. 类题通法 幂函数的判断及应用 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xa(a为常数)的形式，需满足：①指数为常数，②底数为自变量，③xa的系数为1 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 (1)下列函数中，是幂函数的为(　　 ) A.y＝ B．y＝4x3 C.y＝x2＋x D．y＝1 解析：选A.因为y＝＝x-2，所以是幂函数；y＝4x3由于出现系数4，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1与y＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0，1)，所以常函数y＝1不是幂函数． (2)已知幂函数f(x)的图象经过点(3，)，则f(－3)＝________． 解析：设幂函数为f(x)＝xα，α∈R， 因为幂函数f(x)的图象经过点(3，)，可得＝3α，解得α＝－2，即f(x)＝x-2， 所以f(－3)＝(－3)-2＝. 答案： 　幂函数的图象与性质 　观察在同一平面直角坐标系中函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x-1，y＝x的图象． 问题1　这些函数图象有什么共同特征？ 提示：均过定点(1，1). 问题2　在第一象限，函数图象具有哪些特点？ 提示：①当α>0时，y＝xα在第一象限内的图象由左向右呈上升趋势． ②当α<0时，y＝xα在第一象限内图象由左向右呈下降趋势． 幂函数的性质 项目 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减 增 增 在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减 角度一　幂函数图象及应用 例2　(2025·上海高一检测)如图为三个幂函数y＝xa1，y＝xa2，y＝xa3在其定义域上的局部图象，则实数a1，a2，a3从小到大的排列顺序为________．(请用“<”连接) 解析：对于y＝xa1，由其图象可知a1<－1，例如a1＝－2， 对于y＝xa2，由其图象可知0<a2<1，例如a2＝， 对于y＝xa3，由其图象可知a3>1，例如a3＝3，所以a1<a2<a3. 答案：a1<a2<a3 类题通法 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x-1或y＝或y＝x3)来判断． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　幂函数的性质及应用 例3　(链接教材：人教A版P91练习2)比较下列各组数的大小． (1)()0.5与()0.5； (2)－3.143与－π3； (3)()与(). 解：(1)因为y＝x0.5在[0，＋∞)上是增函数且>，所以()0.5>()0.5. (2)因为y＝x3是R上的增函数，且3.14<π，所以3.143<π3，所以－3.143>－π3. (3)因为函数y1＝x在(0，＋∞)上单调递增，又>1，所以()>1＝1. 又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上单调递增，且<1，所以()<1＝1，所以()>(). 类题通法 1.比较幂值大小的两种基本办法 2.利用幂函数的性质解不等式的步骤 (1)确定可以利用的幂函数； (2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系； (3)解不等式(组)求参数范围时，注意分类讨论思想的应用． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)下列幂函数中，既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ B．y＝x C．y＝x D．y＝x 解析：选BD.对于A，函数y＝x－，因α＝－<0，故函数y＝x－在(0，＋∞)上单调递减，不合题意； 对于B，函数y＝f(x)＝x的定义域为R，关于原点对称且满足f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，故函数为奇函数， 且α＝>0，故函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B符合题意； 对于C，因函数y＝x＝的定义域是[0，＋∞)，不关于原点对称，即函数没有奇偶性，不合题意； 对于D，函数y＝g(x)＝x的定义域为R，关于原点对称且满足g(－x)＝(－x)＝－x＝－g(x)，故函数为奇函数， 且α＝>0，故函数g(x)＝x在(0，＋∞)上单调递增，故D符合题意． 2．若(3－2m)>(m＋1)，则实数m的范围是______________________． 解析：因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，所以 解得－1≤m<，故实数m的取值范围为[－1，). 答案：[－1，) 3．比较下列各组数的大小． (1)1.5，1.7，1； (2)3.8－，3.9，(－1.8). 解：(1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，且1.7＞1.5＞1， 所以1.7＞1.5＞1. (2)因为0＜3.8－＜1，3.9>1，(－1.8)＜0，所以3.9＞3.8－＞(－1.8). 幂函数的图象规律 (链接教材：人教A版P91习题3.3T1) (1)当α＝1时，y＝x的图象是一条直线． (2)当α＝0时，y＝x0＝1(x≠0)的图象是一条不包括点(0，1)的直线． (3)当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： α＝ α<0 0<α<1 α>1 p、q都 是奇数 p为奇数q为偶数 p为偶数q为奇数 [课后分层练(二十六)]　幂函数 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 　　　【基础巩固】 1．下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当α＝－1时，幂函数y＝xα在其整个定义域上是减函数 解析：选C.当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x-1的图象不经过原点，故A错误；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故B错误；当α>0时，y＝xα是增函数，故C正确；当α＝－1时，y＝x-1在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，但在整个定义域上不是减函数，故D错误． 2．图中C1，C2，C3分别为幂函数y＝xα1，y＝xα2，y＝xα3在第一象限内的图象，则α1，α2，α3依次可以是(　　) A．，3，－1 B．－1，3， C．，－1，3 D．－1，，3 解析：选D.由图知α1<0，0<α2<1，α3>1，所以α1，α2，α3可以是－1，，3. 3．已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 解析：选A.因为a＝2＝4，b＝3，c＝5，且幂函数y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以b<a<c. 4．函数y＝的图象大致为(　　) 解析：选A.因为y＝f(x)＝的定义域为R，又f(－x)＝＝＝f(x)，故f(x)为偶函数，函数图象关于y轴对称，故排除C、D； 当x≥0时f(x)＝，由幂函数的性质可知，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，但是增长趋势越来越慢，故B错误． 5．(2025·重庆期中)已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为奇函数，则实数m＝(　　 ) A．2或－1 B．－1 C．4 D．2 解析：选B.由题意得m2－m－1＝1，所以m2－m－2＝0，所以(m－2)＝0， 解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x22－2×2－2＝x-2，为偶函数，故m＝2不符合题意， 当m＝－1时，f(x)＝x2－2×－2＝x，为奇函数，故m＝－1符合题意． 综上所述，m＝－1. 6．(多选)设α∈{－1，1，，3}，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有(　　) A．－1 B．1 C．3 D． 解析：选BC.α＝－1时，y＝x-1的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，不正确； α＝1时，函数y＝x的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝3时，函数y＝x3的定义域是R，且是奇函数，故正确； α＝时，函数y＝x的定义域是[0，＋∞)，不正确． 7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为________． 解析：由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意． 答案：1 8．幂函数f(x)的图象经过点(，2)，点(－2，)在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x为何值时，f(x)>g(x)？当x为何值时，f(x)<g(x)? 解：(1)设f(x)＝xα，则()α＝2，∴α＝2，∴f(x)＝x2 ，设g(x)＝xβ，则(－2)β＝， 即β＝－2，g(x)＝x-2(x≠0). (2)从图象可知，当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)； 当－1<x<0或0<x<1时，f(x)<g(x). 【综合运用】 9．(多选)已知幂函数y＝xα的图象如图所示，则a值可能为(　　) A． B． C． D．3 解析：选AC.由图可知，y＝xα定义域为R，且为奇函数，故B错误； 可知y＝xα在(0，＋∞)上凸递增，则0<α<1，故D错误． 10．(多选)(2025·吉林长春期末)幂函数f(x)＝x－m-1，m∈N*，则下列结论正确的是(　　 ) A.m＝1 B．f(－2)<f(3) C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的值域为(0，＋∞) 解析：选ACD.对于A，因为f(x)＝x－m-1，m∈N*是幂函数，所以m2＋m－1＝1，可得m＝1或m＝－2(舍去)，则f＝x-2，正确； 对于B，f＝，f＝，所以f(－2)>f(3)，错误； 对于C，f＝的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f＝f，所以函数f(x)是偶函数，正确； 对于D，由f＝x-2＝>0，得函数f(x)的值域为(0，＋∞)，正确． 11．实数α满足(2a－1)－>(a＋1)－，则实数α的取值集合为________． 解析：y＝x－＝，其定义域为(0，＋∞)，且在定义域上单调递减， 因为(2a－1)－>(a＋1)－， 所以解得<a<2. 答案：(，2) 12．(开放性问题)有四个幂函数：①f(x)＝x-1；②f(x)＝x-2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x.某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质： (1)偶函数； (2)值域是{y|y≠0}； (3)在(－∞，0)上单调递增． 如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是______(填序号). 解析：对于函数①，f(x)＝x-1，这是一个奇函数，值域是{y|y≠0}，在(－∞，0)上单调递减，所以三个性质中有两个不正确； 对于函数②，f(x)＝x-2，这是一个偶函数，其值域是{y|y>0}，在(－∞，0)上单调递增，所以三个性质中有两个正确，符合条件； 同理可判断③④中函数不符合条件． 答案：② 13．已知幂函数f(x)＝(a2－3a＋3)xa为偶函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若函数g(x)＝f(x)＋(2m－1)x－3在[－1，3]上的最大值为2，求实数m的值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－3a＋3)xa为幂函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝2或a＝1， 因为f(x)为偶函数，所以a＝2，故f(x)的解析式f(x)＝x2； (2)由(1)知g(x)＝x2＋(2m－1)x－3，对称轴为x＝，开口向上， 当≤1即m≥－时，g(x)max＝g(3)＝3＋6m＝2，即m＝－； 当>1即m<－时，g(x)max＝g(－1)＝－1－2m＝2，即m＝－； 综上所述：m＝－或m＝－. 【创新探索】 14．(多选)(2025·甘肃期末)已知幂函数f(x)＝x－m，函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列正确的是(　　 ) A．m＝－2 B．函数f(x)的图象经过点 C．若a<b<0，则f(b)>f(a) D．若a>b>0，则f(a)＋f(b)>2f 解析：选BCD.对于A，由函数f(x)为幂函数，有m2－m－1＝1，解得m＝－1或2. 当m＝－1时，f(x)＝x，函数f(x)在(0，＋∞)单调递增，不符合题意； 当m＝2时，f(x)＝x-2，函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，符合题意．故有m＝2，故A错误； 对于B，由选项A，f(x)＝x-2，可得f(－1)＝1，故B正确； 对于C，由函数f(x)为偶函数，可知函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，可得f(b)>f(a)，故C正确； 对于D，由f(x)＝x-2，a>b>0，则f(a)＋f(b)－2f＝＋－>＋－＝2>0， 可得f(a)＋f(b)>2f，故D正确． 学科网（北京）股份有限公司 $