5.1.1 任意角-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦任意角的概念这一核心知识点，从角的静态定义推广到动态旋转形成的正角、负角和零角，进而讲解象限角的定义，最终落实到终边相同的角的集合表示，构建“概念推广-分类定义-集合表达”的学习支架。 通过跳水207C动作、手表校准等生活实例引入，激发学生用数学眼光观察现实世界，结合例题分层解析和类题通法总结，培养数学抽象和数学运算素养。课中辅助教师引导学生理解概念，课后分层练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

5．1　任意角和弧度制 5．1.1　任意角 ► 对应学生用书P136 学习目标　1.理解任意角的概念，能区分正角、负角和零角，提升数学抽象素养．(重点)　2.理解象限角的概念，提升数学抽象素养．(重点)　3.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合，提升数学抽象和数学运算素养．(重点、难点) 2025年5月14日，国际泳联正式宣布，将女子跳台超高难度动作207C(向后翻腾三周半抱膝)命名为“红婵式”．要完成207C，运动员需要在空中完成一系列令人眼花缭乱的动作：先是背对泳池原地起跳，紧接着逆时针在空中高速翻转三周半，最后精准无误地打开入水． 问题1　做这个动作，运动员向后翻腾三周半是多少度？ 提示：1 260°. 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P168～169，角的概念推广之后，利用转角给出60°＋90°与90°－30°的几何意义． 提示：(1)如图①所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为60°，OB逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为60°＋90°＝150°. (2)如图②所示，射线OA逆时针方向旋转到OB所形成的角为90°，OB顺时针方向旋转到OC所形成的角为－30°，则OA逆时针方向旋转到OC所形成的角为90°－30°＝60°. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)终边相同的角一定相等．(　　 ) (2)－30°是第四象限角．(　　 ) (3)第二象限角是钝角．(　　 ) (4)225°是第三象限角．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 　任意角的概念 问题2　手表慢了5分钟，怎样将它校准？ 提示：手表慢5分钟，将分针顺时针方向旋转30°. 问题3　假如手表快了1小时15分钟，如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？ 提示：手表快1小时15分钟，将分针逆时针方向旋转450°，即可校准．分针转了450°. 1．角的分类 2．象限角 在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限． 例1　(链接教材：人教A版P171练习1)在平面直角坐标系中，给出下列命题：①小于90°的角一定是锐角；②钝角一定是第二象限角；③终边不重合的角一定不相等；④第二象限角大于第一象限角．其中假命题的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.因为锐角α∈(0°，90°)，所以小于90°的角不一定是锐角，故①不成立； 因为钝角β∈(90°，180°)，第二象限角θ∈(k·360°＋90°，k·360°＋180°)，k∈Z，所以钝角一定是第二象限角，故②成立； 若两个角的终边不重合，则这两个角一定不相等，故③成立； 例如α＝120°，β＝390°，但α<β，故④不成立． 类题通法 正确理解锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.逆时针旋转形成一个正角，顺时针旋转形成一个负角.正角与负角是表示具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯属习惯，就好像正数和负数的规定一样. 【迁移运用】 花样滑冰是冰上运动项目之一，如图，运动员通过冰刀在冰面上划出图形，并表演跳跃、旋转等高难度动作．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．他们顺时针旋转两圈半所形成的角的度数是________，逆时针旋转两圈半所形成的角的度数是______． 解析：顺时针旋转两圈半所得的角度是－(2×360°＋180°)＝－900°，逆时针旋转两圈半所得的角度是900°. 答案：－900°　900° 　终边相同的角 我们日常使用的“星期”作为时间周期，最早起源于巴比伦．现在世界各国通用的一星期7天的制度最早由君士坦丁大帝制定，他在公元321年3月7日正式宣布7天为一周，这个制度一直沿用至今．假如今天是星期三． 问题4　7k(k∈Z)天后的那一天是星期几？ 提示：星期三． 问题5　7k(k∈Z)天前的那一天是星期几？ 提示：星期三． 问题6　100天后的那一天是星期几？ 提示：星期五． 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 例2　(链接教材：人教A版P170例1)在与530°终边重合的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)－720°到720°的角． 解：(1)因为与530°终边相同角的集合为{α|α＝170°＋k·360°，k∈Z}， 当k＝－1时，得到最大的负角为：170°－360°＝－190°. (2)由(1)知，当k＝0时，得到最小的正角为：170°＋0×360°＝170°. (3)由(1) 知，当k＝－2时，得到－720°到720°的角为：170°－2×360°＝－550°；当k＝－1时，得到－720°到720°的角为：170°－360°＝－190°；当k＝0时，得到－720°到 720°的角为：170°；当k＝1时，得到－720°到720°的角为：170°＋360°＝530°. 综上，满足－720°到720°的角为－550°，－190°，170°，530°. 变式探究　本例条件不变，指出α所在象限及720°～1 080°之间的角． 解：∵530°＝170°＋360°， ∴α是第二象限角． 令720°＜170°＋k·360°＜1 080°(k∈Z)，解得k＝2， ∴在720°～1 080°之间与其终边相同的角为170°＋2×360°＝890°. 类题通法 终边相同的角的表示 (1)终边相同的角都可以表示成α＋k·360°(k∈Z)的形式． (2)终边相同的角相差360°的整数倍 　象限角和区间(域)角 角度一　已知终边求角的集合 例3　(链接教材：人教A版P170例2、P171例3)写出终边在如图所示直线上的角的集合． 解：(1)由题图易知，在0°～360°内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}∪{β|β＝－45°＋2(k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝－45°＋n·180°，n∈Z}． (2)可得终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}， 终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝－45°＋n·180°，n∈Z}＝{β|β＝－45°＋2k·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}， 所以终边在直线y＝x上和在直线y＝－x上的角的集合为S1＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k－1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·90°，n∈Z}． 角度二　终边落在某区域的角的集合 例4　(链接教材：人教A版P176习题5.1T3)若角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，则集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中的角α的终边在图中的位置(阴影部分)是(　　 ) 解析：选C.当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则有n·360°＋45°≤α≤n·360°＋90°(n∈Z)；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则有n·360°＋225°≤α≤n·360°＋270°(n∈Z).这里令n＝0，则45°≤α≤90°或225°≤α≤270°，故C正确． 类题通法 表示区域角的三个步骤 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°； 第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合． 角度三　象限角的判断 例5　(链接教材：人教A版P176习题5.1T7)已知α为第三象限角，讨论角180°－α，2α，的终边的位置． 解：(1)∵α是第三象限角， ∴k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴－k·360°－90°<180°－α<－k·360°(k∈Z)， ∴180°－α是第四象限角． (2)∵k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴k·720°＋360°<2α<k·720°＋540°(k∈Z)， ∴2α是第一象限角或第二象限角或y轴正半轴上的角． (3)∵k·360°＋180°<α<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴k·120°＋60°<<k·120°＋90°(k∈Z). 若k＝3n(n∈Z)，则n·360°＋60°<<n·360°＋90°(n∈Z)，∴是第一象限角； 若k＝3n＋1(n∈Z)，则n·360°＋180°<<n·360°＋210°(n∈Z)，∴是第三象限角； 若k＝3n＋2(n∈Z)，则n·360°＋300°<<n·360°＋330°(n∈Z)，∴是第四象限角， ∴是第一象限角、第三象限角或第四象限角． 类题通法 确定角所在象限的方法 (1)给定角所在象限的判断：利用终边相同角的表示方法，将角转化到0°～360°内进行判断； (2)倍角与分角所在象限的判断：先表示出倍角或分角，再给k取不同的值，分别判断所在的象限，即为倍角或分角所在的象限． 1．(多选)下列选项不正确的是(　　 ) A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于90°的角一定为锐角 解析：选ACD.对于A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如400°的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误； 对于B，锐角是0°～90°之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确； 对于C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如510°的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误； 对于D，小于90°的角不一定是锐角，如－30°的角小于90°，但不是锐角，D错误． 2．(2025·辽宁沈阳期中)与角－2 024°4′终边相同的角是(　　 ) A．－404°4′ B．－224°4′ C．315°56′ D．675°56′ 解析：选B.∵－2 024°4′＝－5×360°－224°4′，∴与角－2 024°4′终边相同的角是－224°4′. 3．(多选)(2025·安徽淮北阶段练习)角α＝45°＋k·180°(k∈Z)的终边落在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选AC.当k＝0时，α＝45°，落在第一象限，当k＝1时，α＝225°，落在第三象限，其余都和这两个角终边相同． 4．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合(包括边界). 解：(1)这是对顶角区域的表示问题，结合图象，终边落在阴影部分的角的集合可表示为：{α|k·360° ＋45°≤α≤k·360°＋90°或k·360°＋225°≤α≤k·360°＋270°，k∈Z}＝{α|n·180°＋45°≤α≤n·180°＋90°，n∈Z}． (2)在－180°～180°的范围内，阴影部分为－150°～120°，终边落在阴影部分的角的集合可表示为：{α|k·360°－150°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}． 确定的终边所在象限的方法 (链接教材：人教A版P176习题5.1T7) 名师点拨 方法一(分类讨论法)：用不等式表示出的范围，然后对k∈Z分情况讨论：被n整除，被n整除余1，被n整除余2，…，被n整除余n－1，从而得结论． 方法二(几何法)：分别将各个象限n等分，从x轴的非负半轴起，按逆时方向依次循环标上数字1，2，3，4，标号为几的区域就是角α为第几象限角时的终边落在的区域． [课后分层练(四十四)]　任意角 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．若α是第一象限角，则下列各角为第四象限角的是(　　 ) A．90°－α B．90°＋α C．360°－α D．360°＋α 解析：选C.因为α是第一象限角，所以－α是第四象限角，则90°－α是第一象限角，故A错误；90°＋α是第二象限角，故B错误；360°－α是第四象限角，故C正确；360°＋α是第一象限角，故D错误． 2．2 025°角是(　　 ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：选C.因为2 025°＝5×360°＋225°，可知2 025°的终边与225°的终边相同，且225°为第三象限角，所以2 025°角是第三象限角． 3．“－90°<α<90°”是“α的终边落在第一象限或落在第四象限”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选D.当α＝0时满足－90°<α<90°，但是α的终边落在x轴的正半轴，则充分性不成立； 当α＝420°时，α的终边落在第一象限，则必要性不成立． 综上，“－90°<α<90°”是“α的终边落在第一象限或落在第四象限”的既不充分又不必要条件． 4．已知集合{α|k·360°＋45°≤α≤k·360°＋90°，k∈Z}，则图中表示角α的终边所在区域正确的是(　　 ) 解析：选B.当α＝k·360°＋45°，k∈Z时，角α的终边落在第一象限的角平分线上， 当α＝k·360°＋90°，k∈Z时，角α的终边落在y轴的非负半轴上， 按照逆时针旋转的方向确定范围可得角α的终边所在区域如选项B所示． 5．终边落在直线y＝x上的角α的集合为(　　 ) A．{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z} B．{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z} C．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z} D．{α|α＝k·360°＋60°，k∈Z} 解析：选B.易得y＝x的倾斜角为60°，当终边在第一象限时，a＝60°＋k·360°，k∈Z； 当终边在第三象限时，α＝240°＋k·360°，k∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}． 6．(2025·福建南平期中)把分针拨快15分钟，则分针转过的角度为__________． 解析：分针拨快15分钟，则分针转过的角度为×(－360°)＝－90°. 答案：－90° 7．已知角α的终边在第四象限，则角的终边在____________象限． 解析：因为α为第四象限角，所以90°＋k·120°<<120°＋k·120°，k∈Z， 当k＝3n时，90°＋n·360°<<120°＋n·360°，n∈Z，终边在第二象限， 当k＝3n＋1时，210°＋n·360°<<240°＋n·360°，n∈Z，终边在第三象限， 当k＝3n＋2时，330°＋n·360°<<360°＋n·360°，n∈Z，终边在第四象限， 所以的终边在第二、第三或第四象限． 答案：第二、第三或第四 8．已知角α的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}， 终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}， 因此终边在题图中的阴影区域内的角α的取值范围是{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}， 所以角的取值范围是{|15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z}． 答案：{|15°＋k·90°≤<52.5°＋k·90°，k∈Z} 9．已知角α＝2 017°. (1)把α改写成为k·360°＋β(k∈Z，0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角； (2)求θ，使θ与α终边重合，且－360°≤θ<720°. 解：(1)由2 017°除以360°，得商为5，余数为217°， ∴取k＝5，β＝217°，α＝5×360°＋217°， 又β＝217°是第三象限角，α、β终边相同，∴α为第三象限角． (2)与2 017°终边重合的角：k·360°＋2 017°(k∈Z)， 令－360°≤k·360°＋2 017°<720°(k∈Z)， 解得－6≤k<－3(k∈Z)，所以k＝－6，－5，－4， 当k＝－6时，θ＝－6×360°＋2 017°＝－143°， 当k＝－5时，θ＝－5×360°＋2 017°＝217°， 当k＝－4时，θ＝－4×360°＋2 017°＝577°， 所以θ的值为－143°，217°，577°. 10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 解：图(1)中角x组成的集合为{x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}； 图(2)中角x组成的集合为{x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|n·180°＋30°≤x≤n·180°＋60°，n∈Z}． 【综合运用】 11．集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的(　　 ) 解析：选B.集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中， 当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限； 当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限． 所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}中角表示的范围为选项B中阴影所示． 12．(多选)下列条件中，能使α和β的终边关于y轴对称的是(　　) A．α＋β＝180° B．α＋β＝k·360°＋90°(k∈Z) C．α＋β＝k·360°(k∈Z) D．α＋β＝(2k＋1)·180°(k∈Z) 解析： 选AD.假设α，β为0°～180°内的角，如图所示，因为α，β的终边关于y轴对称，所以α＋β＝180°，所以A满足条件；结合终边相同的角的概念，可得α＋β＝k·360°＋180°＝(2k＋1)·180°(k∈Z)，所以D满足条件，B，C都不满足条件． 13．已知点P位于x轴正半轴上，射线OP在1秒内转过的角为θ(0°<θ<180°)，经过2秒到达第三象限，若经过14秒后又恰好回到出发点，则θ为 ____________． 解析：∵0°<θ<180°且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°(k∈Z)， ∴必有k＝0，90°<θ<135°. 又14θ＝n·360°(n∈Z)，∴θ＝·180°， ∴90°<·180°<135°，即<n <，∴n＝4或5. 故θ＝()°或()° 答案：()°或()° 【创新探索】 14．如图，点A在半径为1且圆心在原点的圆上，且∠AOx＝45°，点P从点A处出发，以逆时针方向沿圆周匀速旋转．已知点P在1秒内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒钟又回到出发点A，求θ，并判断θ所在的象限． 解：根据题意知，14秒钟后，点P在角14θ＋45°的终边上，∴45°＋k·360°＝14θ＋45°，k∈Z. 又180°<2θ＋45°<270°， 即67.5°<θ<112.5°， ∴67.5°<<112.5°. 又k∈Z，∴k＝3或4， ∴所求的θ的值为或. ∵0°<<90°，90°<<180°， ∴θ在第一象限或第二象限． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [备课札记] 学科网（北京）股份有限公司 $