4.4.2 对数函数的图象和性质-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对数函数的图象和性质，第1课时从概念出发，结合纳皮尔对数历史背景，通过图象观察底数互为倒数的对称性、定义域等基础性质，第2课时延伸至对数型复合函数的单调性、值域、奇偶性及反函数，构建从基础到应用的学习支架。 资料特色在于融入历史情境激发探究欲，通过类比指数函数研究方法培养逻辑推理素养，结合图象分析与分层练习提升直观想象和数学运算能力。课中助力教师系统授课，课后分层习题帮助学生巩固知识，查漏补缺，深化对对数函数的理解与应用。

4．4.2　对数函数的图象和性质 第1课时　简单对数函数的图象和性质　► 对应学生用书P113 学习目标　1.初步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象素养．(重点)　2.会类比指数函数研究对数函数的性质，提升逻辑推理素养．(重点)　3.掌握对数函数的图象和性质的简单应用，提升直观想象和数学运算素养．(重点、难点) 　　　历史上纳皮尔是当之无愧的“对数缔造者”，他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在著作《奇妙的对数定律说明书》中公布．恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡尔的坐标、纳皮尔的对数、牛顿和莱布尼兹的微积分共同称为十七世纪的三大数学发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯曾说：“对数，可以缩短计算时间，在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”． 问题1　如何研究指数函数？ 提示：从指数函数的概念、图象、性质和应用等方面入手． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P132～133，底数互为倒数的两个对数函数的图象什么关系？为什么？ 提示：关于x轴对称，利用换底公式可知y＝＝－logax，而(x，y)与(x，－y)关于x轴对称，因此函数图象关于x轴对称． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)对数函数的图象都过定点(0，1)．(　　 ) (2)对数函数的图象都在y轴的右侧．(　　 ) (3)若对数函数y＝log2ax是减函数，则0<a<.(　　 ) (4)y＝2x与y＝2log4x互为反函数．(　　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 　对数函数的图象与性质 　　　观察下图： 问题2　从图象上看，函数y＝log2x与y＝的图象有什么关系？函数y＝logax与y＝(a>0，且a≠1)呢？ 提示：函数y＝log2x与y＝的图象关于x轴对称；函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称． 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 续表 单调性 增函数 减函数 共点性 图象过点(1，0)，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 例1　(1)(链接教材：人教A版P135练习1)如图所示的曲线是对数函数y＝logax，y＝logbx，y＝logcx，y＝logdx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为________． 解析：由图可知函数y＝logax，y＝logbx的底数a＞1，b＞1，函数y＝logcx，y＝logdx的底数0＜c＜1，0＜d＜1. 过点(0，1)作平行于x轴的直线l(图略)，则直线l与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞1＞d＞c＞0. 答案：b>a>1>d>c (2)函数f(x)＝ax-2＋loga(x－1)＋1(a＞0，a≠1)的图象必经过点________． 解析：当x＝2时，f(2)＝a0＋loga1＋1＝2，所以图象必经过点(2，2)． 答案：(2，2) 类题通法 对数函数底数对图象的影响, a，b，c，d是图象对应的对数函数的底数，根据图象，其大小关系为0<c<d<1<a<b.,,,) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 (2025·杭州检测)函数f(x)＝logn(x＋m)恒过定点(－2，0)，则m的值为(　　 ) A．5 B．4 C．3 D．2 解析：选C.由函数f(x)＝logn(x＋m)恒过定点(－2，0)，可得logn(－2＋m)＝0，所以－2＋m＝1，解得m＝3. 　对数函数单调性的应用 问题3　对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)图象的“上升”或“下降”与什么有关？ 提示：底数a与1的关系决定了对数函数图象的升降．当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”． 问题4　如果不能直接运用函数的单调性比较两个数的大小，我们可以采用哪种方法来比较两个数的大小呢？ 提示：采用中间值进行比较两个数的大小，例如中间值0，1等． 角度一　比较对数值的大小 例2　(链接教材：人教A版P133例3)比较下列各组数的大小． 与； 与； (3)log23与log0.32. 解：(1)y＝在(0，＋∞)上单调递减，又因为＜，所以. (2)法一：. ∵y＝lg x是增函数，∴lg <lg <0<lg 3.<0，. 法二：因为在x∈(1，＋∞)上，y＝的图象在y＝图象的上方，所以. (3)因为log23>log21＝0，log0.32<log0.31＝0， 所以log23>log0.32. 类题通法 对数值比较大小的常用方法 (1)如果同底，可直接利用单调性求解．如果底数为字母，则要分类讨论． (2)如果不同底，一种方法是化为同底的，另一种方法是寻找中间变量． (3)如果不同底但同真，可利用图象的高低与底数的大小解决或利用换底公式化为同底的再进行比较． (4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量1，0，－1等进行比较． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　解对数不等式 例3　(1)解不等式log2(x＋1)>log2(1－x)． 解：原不等式等价于解得0<x<1. ∴原不等式的解集为(0，1)． (2)(链接教材：人教A版P141习题4.4T12)若loga<1，求实数a的取值范围． 解：若a>1，则loga<1＝logaa， ∴a>1. 若0<a<1，则loga<1＝logaa， ∴0<a<. 综上所述，实数a的取值范围是∪(1，＋∞) 变式探究　将本例(1)改为loga(x＋1)＞loga(1－x)，求解x的集合． 解：当a＞1时，得解集为(0，1)． 当0＜a＜1时，得解集为(－1，0)． 综上所述，当a>1时，不等式的解集为(0，1)；当0<a<1时，不等式的解集为(－1，0)． 类题通法 　　 对数不等式解题策略 (1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论； (2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解； (3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)>0，g(x)>0，且均不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．) 1．已知a＝π-2，b＝－log25，c＝log2，则(　　 ) A．b>a>c B．c>b>a C．a>c>b D．a>b>c 解析：选C.因为a＝π-2＝，所以0<a<1， 因为b＝－log25＝log2，c＝log2<， 所以log2<log2<0，即b<c<0. 所以a>c>b. 2．(多选)(2025·朔州高一检测)已知a>0，b>0，且ab＝1，a≠1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象可能是(　　 ) 解析：选AB.因为a>0，b>0，且ab＝1，a≠1， 所以当0<a<1时，b>1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象是A； 当a>1时，0<b<1，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx在同一坐标系中的图象是B. 3．(2025·台州检测)若函数f(x)＝loga(x－3)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P的坐标是________． 解析：令x－3＝1，可得x＝4，f(4)＝loga1＋2＝2.因此，定点P的坐标为(4，2)． 答案：(4，2) 4．解不等式log3(x＋2)>3. 解：由log3(x＋2)>3，可得log3(x＋2)>log327，解得x＋2>27，即x>25， 所以不等式的解集为{x|x>25}． [课后分层练(三十七)]　简单对数函数的图象和性质 (单选题、填空题每题5分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝ln (x＋1)，则函数f(x)的图象为(　　 ) 解析：选D.由f(x)是R上的奇函数，即函数图象关于原点对称，排除A、B.又x＞0时f(x)＝ln (x＋1)，排除C. 2．若点(a，b)在函数f(x)＝ln x的图象上，则下列点中，不在函数f(x)图象上的是(　　 ) A． B．(a＋e，1＋b) C． D．(a2，2b) 解析：选B.因为点(a，b)在f(x)＝ln x的图象上，所以b＝ln a，所以－b＝ln ，1－b＝ln ，2b＝2ln a＝ln a2. 3．若函数f(x)＝ax－k－1(a>0，且a≠1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域R上是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是(　　 ) 解析：选A.根据题意可知f(2)＝0，得k＝2，所以f(x)＝ax-2－1，又因为是减函数，所以0<a<1，此时g(x)＝loga(x＋2)也是单调减的，且过点(－1，0)，所以A选项符合题意． 4．若lg (2x－4)≤1，则x的取值范围是(　　 ) A．(－∞，7] B．(2，7] C．[7，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选B.lg (2x－4)≤1，则满足解得2<x≤7. 5．(2025·湖南长沙阶段练习)设a＝log0.60.8，b＝1.10.8，c＝log1.10.8，则(　　 ) A．b<a<c B．c<b<a C．c<a<b D．a<c<b 解析：选C.因为log0.61<log0.60.8<log0.60.6， 所以0<a<1， 因为1.10.8>1.10＝1，所以b>1， 因为log1.10.8<log1.11＝0， 所以c<0，故c<a<b. 6．已知m，n∈R，函数f(x)＝m＋lognx的图象如图，则m，n的取值范围分别是________. ①m＞0，0＜n＜1 ②m＜0，0＜n＜1 ③m＞0，n＞1 ④m＜0，n＞1 解析：由图象知函数为增函数，故n＞1.又当x＝1时，f(1)＝m＞0，故m＞0. 答案：③ 7．已知当x＝3时，不等式loga(x2－x－2)<loga(3x＋3)成立，那么这个不等式的解集是________. 解析：当x＝3时，loga4<loga12，故a>1， 由loga(x2－x－2)<loga(3x＋3)， 得解得2<x<5}． 答案：{x|2<x<5} 8．(2025·山东聊城期末)函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则实数a的取值范围是________． 解析：由已知对任意x1≠x2，都有<0成立，即f(x)在R上是减函数， 故需满足解得≤a<1，即a∈. 答案： 9．已知函数f(x)＝(x>0)． (1)解不等式f(x＋2)>f(1－x)； (2)若|f(a)|＝|f(b)|(a≠b)，求a＋b的取值范围． 解：(1)由f(x＋2)>f(1－x)， 得即－2<x<－， 所以x∈. (2)因为f(x)＝＝|f(b)|知，a>0，b>0，且a·b＝1，a≠b， 故a＋b>2＝2，即a＋b>2， 故a＋b的取值范围是(2，＋∞)． 【综合运用】 10．给出下列四个命题： ①函数f(x)＝2a2x-1－1的图象过定点； ②已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若f(a)＝－2，则实数a＝－1或2； ③若loga>1，则a的取值范围是； ④对于函数f(x)＝ln x，其定义域内任意. 其中所有正确命题的个数是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选B.对于①，令2x－1＝0，得x＝，f＝1，故函数f(x)的图象过定点，故①错误； 对于②，f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(－x)(－x＋1)＝x(1－x)，故f(x)＝若f(a)＝－2，解得a＝－1，故②错误； 对于③，若loga>1，可得0<a<1且a>，则a的取值范围是，故③正确； 对于④，函数f(x)＝ln x为增函数，其定义域内任意x1≠x2，利用函数的图象，都满足，故④正确． 11．若f(x)＝lg x，g(x)＝f(|x|)，且g(lg x)>g(1)，则x的取值范围是________． 解析：因为g(lg x)>g(1)，所以f(|lg x|)>f(1)，由f(x)为增函数得|lg x|>1，从而lg x>1或lg x<－1，解得0<x<或x>10. 答案：∪(10，＋∞) 12．已知函数f(x)＝log2. (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明． 解：(1)由函数的形式可知，>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， 所以函数的定义域为(－1，1)． (2)f(x)为奇函数． 证明：由(1)可知，函数的定义域关于原点对称，且f(－x)＝log2＝＝－f(x)， 所以函数f(x)是奇函数． 【创新探索】 13．若不等式x2－logmx<0在内恒成立，求实数m的取值范围． 解： 由x2－logmx<0，得x2<logmx在内恒成立， 若m>1，且x∈，则x2>0，logmx<0，不符合题意，故0<m<1. 在同一坐标系中作y＝x2和y＝logmx的草图，如图所示． 因为当x＝时，y＝x2＝， 所以只要当x＝时，y＝logm即可， 则，即≤m. 又0<m<1，所以≤m<1， 即实数m的取值范围是. 第2课时　对数型函数的图象和性质　► 对应学生用书P117 学习目标　1.进一步掌握对数函数的图象和性质，提升直观想象和逻辑推理素养．(重点、难点)　2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题，提升逻辑推理素养．(重点、难点)　3.了解反函数的概念和图象特点，提升直观想象素养．(重点) 　对数型函数的性质 角度一　对数型函数的单调性 例1　写出下列函数的单调区间． (1)f(x)＝； (2)f(x)＝log2(x2－2x－3)． 解：(1)定义域为R，u＝x2＋1在x∈(－∞，0)上单调递减，在x∈(0，＋∞)上单调递增， 又f(x)＝为减函数， 根据同增异减原则，得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)x2－2x－3>0⇒x>3或x<－1，定义域x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)，u＝x2－2x－3在x∈(－∞，－1)上单调递减，在x∈(3，＋∞)上单调递增， 又f(x)＝log2u为增函数， 根据同增异减原则，得f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(3，＋∞)． 类题通法 求形如y＝logaf(x)的函数的单调区间的步骤 (1)求出函数的定义域． (2)研究函数t＝f(x)和函数y＝logat在定义域上的单调性． (3)判断函数的增减性，求出单调区间． 注意：要注意对底数进行分类讨论．) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度二　对数型函数的最值与值域 例2　(链接教材：人教A版P140习题4.4T7)求下列函数的值域： (1)y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]； (2)f(x)＝log2·log2. 解：(1)∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3， ∴0＝log31≤log3(2x－1)≤log33＝1. ∴函数y＝log3(2x－1)，x∈[1，2]的值域是[0，1]. (2)∵f(x)＝log2·log2＝(log2x－2)·(log2x－1)＝ －， 又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2， ∴当log2x＝，即x＝时，f(x)取最小值－. 当log2x＝0，即x＝1时，f(x)取得最大值2， ∴函数f(x)的值域是. 类题通法 求对数型函数值域(最值)的方法 对于形如y＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域(最值)的求解步骤如下： (1)分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数； (2)求f(x)的定义域； (3)求u的取值范围； (4)利用y＝logau的单调性求解．) 角度三　对数型函数的奇偶性 例3　(链接教材：人教A版P161复习参考题4T11)若函数f(x)＝为奇函数，则a＝_______________________________________________. 解析：由奇函数得f(x)＝－f(－x)，则log2＝－log2，即，得a2＝1，因为a≠－1，所以a＝1. 答案：1 类题通法 (1)判断函数的奇偶性：①先求函数的定义域，②看定义域是否关于原点对称，③利用f(－x)=－f(x)或f(－x)=f(x)判断是奇函数还是偶函数。 (2)解不等式：利用函数的单调性与奇偶性，将对数不等式转化为整式或分式不等式。 　反函数 　　　给出函数f(x)＝2x与g(x)＝log2x. 问题1　两个函数的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：f(x)的定义域、值域分别是g(x)的值域、定义域． 问题2　在同一坐标系中，两函数的图象有什么关系？ 提示：f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称． 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换． 例4　(链接教材：人教A版P135探究)若函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，函数f(x)＝，则f(2)＋g(4)＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选D.∵函数f(x)与g(x)的图象关于直线y＝x对称，f(x)＝－x＝2x，∴g(x)＝log2x， ∴f(2)＋g(4)＝22＋log24＝6. 类题通法 互为反函数的函数的性质 (1) 同底数的指数函数与对数函数互为反函数． (2) 互为反函数的两个函数的定义域与值域互换． (3)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))＝(　　) A．16 B．0 C．1 D．2 解析：选B.函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f(x)＝log2x， ∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0. 1．已知函数f(x)＝ln (2＋x)－ln (2－x)，则f(x)是(　　 ) A．奇函数，且在(0，2)上是增函数 B．奇函数，且在(0，2)上是减函数 C．偶函数，且在(0，2)上是增函数 D．偶函数，且在(0，2)上是减函数 解：选A.因为f(－x)＝ln (2－x)－ln (2＋x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数；因为y＝ln (2＋x)与y＝－ln (2－x)在(0，2)上是增函数，所以f(x)在(0，2)上是增函数． 2．函数y＝log3x的反函数的定义域为(　　) A.(0，＋∞) B． C．(1，4) D．[－1，4] 解析：选D.由y＝log3x，可知y∈[－1，4]. 所以反函数的定义域为x∈[－1，4]. 3．已知函数y＝loga(2－ax)在区间[0，1]上为减函数，则实数a的取值范围是________． 解析：对数函数a>0，且内层函数u(x)＝2－ax为减函数，故外层函数应为增函数，所以a>1，对数真数u(x)＝2－ax>0，u(1)＝2－a>0⇒a<2，故a∈(1，2)． 答案：(1，2) 4．求函数y＝log2(x－2)在区间[3，4]上的最大值． 解：因为x∈[3，4]，所以x－2∈[1，2]， 所以log2(x－2)∈[0，1]，最大值为1. [课后分层练(三十八)]　对数型函数的图象和性质 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．函数f(x)＝的单调递增区间是(　　 ) A． B．(0，1] C．(0，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选D.f(x)的图象如图所示，由图象可知单调递增区间为[1，＋∞)． 2．(2025·四川南充模拟)“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的(　　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：选B.因为a<b＋e，所以a－b<e， 又因为a－b不一定大于0，即ln (a－b)不一定成立， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的不充分条件， 因为y＝ln x在上单调递增， 所以ln <1⇔0<a－b<e，即a<b＋e，所以“a<b＋e”是“ln (a－b)<1”的必要条件， 所以“a<b＋e”是“ln <1”的必要不充分条件． 3．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　 ) A．f(x)＝－log2x B．f(x)＝log2(－x) C．f(x)＝－log2(－x) D．f(x)＝logx2 解析：选C.当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)． 4．(多选)关于函数f(x)＝lg 有下列结论，其中正确的是(　　 ) A．定义域是(0，＋∞) B．f(x)是奇函数 C．f(x)的最小值为－lg 2 D．f(x)在(0，1)上单调递增 解析：选AD.由>0，得x>0，∴函数的定义域为(0，＋∞)，故A正确； ∵定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数，故B错误； ∵∈，∴f(x)无最小值，有最大值－lg 2，故C错误； 令u＝，可知u在(0，1)上单调递增，故f(x)在(0，1)上单调递增，故D正确． 5．如果函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数图象过点(2，－1)，则a＝________． 解析：函数f(x)的反函数为g(x)＝logax，代入点(2，－1)，可得a＝. 答案： 6．不等式>0的解集为________． 解析：由>0，得4x＋2x+1<1，即(2x)2＋2·2x<1，(2x＋1)2<2，所以2x<－1，两边取以2为底的对数，得x<log2. 答案： 7．函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间是___________值域是________． 解析：由4－x2>0，得－2<x<2，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的定义域为(－2，2)，所以函数f(x)＝log2(4－x2)的单调递增区间为(－2，0)，由0<4－x2≤4，知f(x)∈(－∞，2]. 答案：(－2，0)　(－∞，2] 8．若函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上单调递增，则实数a的范围是________． 解析：由题可知，a>0且a≠1， 令u＝3＋ax，则函数u＝3＋ax在[－2，－1]上是增函数， 又函数y＝loga(3＋ax)在[－2，－1]上是增函数，所以a>1，且umin＝－2a＋3>0，解得a<，所以1<a<. 答案： 9．已知f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)． (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性，并加以证明； (3)求f的值． 解：(1)由得－2<x<2， 所以函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}． (2)f(x)为偶函数，证明如下： 因为函数f(x)的定义域为{x|－2<x<2}，关于原点对称， 又f(－x)＝lg (2－x)＋lg (2＋x)＝f(x)， 所以函数f(x)＝lg (2＋x)＋lg (2－x)为偶函数． (3)f＝lg ＋lg ＝lg []＝lg 1＝0. 10．求函数y＝的值域和单调区间． 解：由－x2＋2x＋1>0，知函数的定义域为. 设t＝－x2＋2x＋1＝－(x－1)2＋2. ∵y＝为减函数，且0<t≤2， ∴y≥－1，故y＝的值域为[－1，＋∞)． ∵t＝－x2＋2x＋1在上单调递增，在上单调递减， 又y＝为减函数， ∴函数y＝的单调递增区间为，单调递减区间为. 【综合运用】 11．已知函数f(x)＝ln ＋2，则f(lg 5)＋f等于(　　 ) A．4 B．0 C．1 D．2 解析：选A.因为f(x)＝ln ＋2，所以f(x)＋f(－x)＝＋2＋ln ＋2＝ln 1＋4＝4，则f(lg 5)＋＝f(lg 5)＋f(－lg 5)＝4. 12．(多选)若函数f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，则(　　 ) A．f(x)在(1，＋∞)上单调递增且无最大值 B．f(x)在(1，＋∞)上单调递减且无最小值 C．f(x)在定义域内是偶函数 D．f(x)的图象关于直线x＝1对称 解析：选AD.由|x－1|>0，得函数y＝loga|x－1|的定义域为{x|x≠1}． 设g(x)＝|x－1|＝则g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，且g(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，D正确； 因为f(x)＝loga|x－1|在(0，1)上是减函数，所以a>1，所以f(x)＝loga|x－1|在(1，＋∞)上单调递增且无最大值，A正确，B错误； f(－x)＝loga|－x－1|＝loga|x＋1|≠f(x)，C错误． 13．函数f(x)＝(log2x)2－log2x3＋4，x∈(1，4]的值域为________． 解析：令t＝log2x，则t∈(0，2]，∴原函数化为y＝t2－3t＋4，t∈(0，2]，其对称轴方程为t＝，∴当t＝时，y有最小值为；当t＝0时，y有最大值为4，但取不到，∴f(x)的值域为. 答案： 14．已知函数f(x)＝log的图象关于原点对称，其中a为常数． (1)求a的值； (2)若当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)∵函数f(x)的图象关于原点对称， ∴函数f(x)的定义域关于原点对称， ∵>0， ∴(x－1)(1－ax)>0， 令(x－1)(1－ax)＝0， 得x1＝1，x2＝，∴＝－1，a＝－1， 经验证，a＝－1满足题意． (2)∵f(x)＋log(x－1)＝log＋log(x－1)＝log(1＋x)， ∴当x>1时，log(1＋x)<－1， 又当x∈(1，＋∞)时，f(x)＋log(x－1)<m恒成立，∴m≥－1， 即实数m的取值范围是[－1，＋∞). 【创新探索】 15．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax(a>1)的图象上，则实数a＝________. 解析：设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知得AB垂直于x轴，A(x，3logax)，正方形ABCD边长|AB|＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $