4.2.1 指数函数的概念-【正禾一本通】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学指数函数的概念这一核心知识点，通过A4纸折叠、细胞分裂等实际问题引导学生抽象出指数函数模型，系统梳理其定义（y=a^x，a>0且a≠1）及结构特征，并对比幂函数明确联系与区别，搭建从实际情境到数学概念的学习支架。 该资料以生活化问题导入，助力学生用数学眼光观察现实世界，通过对比辨析培养数学思维，结合细菌繁殖等实例渗透数学建模素养。类题通法归纳清晰，分层作业设计合理，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺。

4．2　指数函数 4．2.1　指数函数的概念　　　　 　► 对应学生用书P94 学习目标　1.通过具体的实例，了解指数函数的实际意义，提升数学抽象素养．(重点)　2.理解指数函数的概念，会求指数函数解析式、函数值，提升数学运算素养．(重点、难点)　3.能从实际问题中抽象出指数函数的模型，由此解决实际问题，提升数学建模素养．(重点) 　　　一张标准A4纸，规格为长29.7 cm，宽21 cm，厚度大约0.01 cm，曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？ 问题1　标准A4纸折叠8次，纸的长度和厚度分别多少厘米? 提示：纸的长度变为29.7×＝1.85 625 cm，厚度变为0.01×28＝2.56 cm. 问题2　你认为可能把纸对折超过8次么？ 提示：对折8次纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了． 问题3　假设一张厚度0.01 cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？折叠50次呢？ 提示：折叠30次，厚度为≈1.07×107 cm＝107 km；折叠50次，厚度为0.01×250≈1.13×1013 cm＝1.13×108 km，约为1.13亿 km. 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P112～113，你认为指数函数与幂函数的联系和区别是什么？ 提示：联系：都是指数幂形式；区别：指数函数的底数是常数，指数是自变量，幂函数的底数是自变量，指数是常数． (2)请认真阅读教材P114例2(2)，如果原有量为N，每次的衰减率为p，经过x次衰减，该量衰减到y的解析式如何表示？ 提示：y＝N(1－p)x. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)y＝x5(x>0，且x≠1)是指数函数．(　　 ) (2)y＝(－2)x是指数函数．(　　 ) (3)指数函数的定义域为(0，＋∞)．(　　 ) (4)y＝x是指数衰减型函数模型．(　　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　指数函数 问题4　 某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个，则经过2个小时，这种细胞能由1个分裂成多少个？ 提示：16. 问题5　如果将上述问题改为“经过x次分裂，这种细胞能由1个分裂成y个”，你能用分裂次数x表示个数y吗？ 提示：y＝2x. 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R． 温馨提示 指数函数的结构特征 角度一　指数函数的概念 例1　(链接教材：人教A版P115练习1)下列函数是指数函数的是(　　 ) A．y＝2x+1 B．y＝4x－1 C．y＝x D．y＝3·x 解析：选C.由指数函数定义，y＝x是指数函数． 类题通法 判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)看形式：判断其解析式是否符合y＝ax(a>0，且a≠1)这一结构特征； (2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征，只要有一个特征不具备，该函数就不是指数函数．) 　　　　 角度二　求指数函数的解析式或求值 例2　(链接教材：人教A版P114例1)若函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，则＝_________________________________________. 解析：因为函数f(x)＝(2a2－3a＋2)ax是指数函数，所以2a2－3a＋2＝1，且a>0，a≠1，解得a＝或a＝1(舍去)，所以f(x)＝x，故＝. 答案： 类题通法 　　 求指数(型)函数的解析式或函数值的思路 (1)求解析式的关键是求底数a，并注意a的限制条件； (2)求解析式时一般采用待定系数法求底数a； (3)求函数值的关键是得到函数的解析式． 　指数型函数模型的实际应用 例3　(链接教材：人教A版P114例2)某种细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的2倍，且知该细菌的繁殖规律为y＝10ekt，其中k为常数，t表示时间(单位：小时)，y表示细菌个数，10个细菌经过7小时培养，细菌能达到的个数为(　　 ) A．640 B．1 280 C．2 560 D．5 120 解析：选B.设原来的细菌数为a， 由题意可得，在函数y＝10ekt中， 当t＝1时，y＝2a， 所以2a＝10ek，即ek＝， 当a＝10时，ek＝2，y＝10ekt＝10·2t. 若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×27＝1 280. 变式探究　(变条件)将例3条件变为“细菌经60分钟培养，可繁殖为原来的3倍”，其他条件不变，试求经过7小时培养，细菌能达到的个数． 解：设原来的细菌数为a，由题意可得， 当t＝1时，y＝3a，所以3a＝10ek， 即ek＝. 当a＝10时，ek＝3， 所以y＝10ekt＝10·3t. 若t＝7，则可得此时的细菌数为y＝10×37＝21 870. 类题通法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 关于函数y＝kax在实际问题中的应用 (1)函数y＝kax是用来刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型． (2)解决此类问题可利用待定系数法，根据条件确定出解析式中的字母系数后，利用指数运算解题．) 　　　　　　　　　　　　 1．下列图象中，有可能表示指数函数的是(　　 ) 解析：选C.由指数函数的增长速度及定义，可知C正确． 2．已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　 ) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ 解析：选C.f(－x)＋f(x)＝＝1，故A错误，C正确； f(－x)－f(x)＝，不是常数，故B、D错误． 3．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　 ) A．a＝1或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 解析：选C.由指数函数定义知(a－2)2＝1，同时a>0，且a≠1，所以解得a＝3. 4．已知函数f(x)＝则f[f(4)]＝________． 解析：f(4)＝－＝－2， 所以f[f(4)]＝f(－2)＝-2＝4. 答案：4 5．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出的荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天． 解析：设荷叶覆盖水面的初始面积为a，则x天后荷叶覆盖水面的面积y＝a·2x(x∈N*)．根据题意，令2(a·2x)＝a·220，解得x＝19. 答案：19 [课后分层练(三十)]　指数函数的概念 (单选题、填空题每题5分，多选题每题6分，解答题每题15分) 【基础巩固】 1．已知函数f(x－2)＝2x－x＋3，则f(0)＝(　　 ) A．2 B．4 C．5 D．7 解析：选C.令x－2＝0，得x＝2，所以f(0)＝f(2－2)＝22－2＋3＝5. 2．函数y＝(a2－4a＋4)ax是指数函数，则有(　　 ) A．a＝1，或a＝3 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0，且a≠1 解析：选C.由已知得即得a＝3. 3．(多选)已知函数f(x)＝若f(a)＝3，则实数a的值可为(　　 ) A．－1 B．－3 C．9 D．27 解析：选AD.当a≥0时，f(a)＝＝3，所以a＝27；当a<0时，f(a)＝＝3，所以a＝－1. 4．(多选)若函数f(x)＝(m2＋2m－2)ax是指数函数，则实数m的值为(　　 ) A．－3 B．1 C．－1 D．－2 解析：选AB.因为函数f(x)＝(m2＋2m－2)ax是指数函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3. 5．随着我国经济的不断发展，2018年年底某偏远地区居民的人均年收入为3 000元，预计该地区今后居民的人均年收入将每年以6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的居民人均年收入为(　　 ) A．3 000×1.06×7元 B．3 000×1.067元 C．3 000×1.06×8元 D．3 000×1.068元 解析：选B.设经过x年，该地区的居民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3 000×1.06x，从2018年到2025年共经过了7年，故2025年年底该地区的居民人均年收入为3 000×1.067元． 6．函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，2)，则f(x)＝__________． 解析：因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象经过点(－1，2)，所以f(－1)＝a-1＝2，解得a＝，所以f(x)＝x. 答案：x 7．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则f(－9)＝__________________________________________________. 解析：因为f(x＋4)＝f(x)， 所以函数f(x)是以4为周期的周期函数， 又因f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(－9)＝－f(9)＝－f(1)＝－2. 答案：－2 8．(2025·辽宁本溪期末)已知函数f(x)＝则f(f(0))＝___________________________________________. 解析：f(0)＝＝1，所以f(f(0))＝f(1)＝30－-1＝－2. 答案：－2 9．已知函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数． (1)求实数a的值； (2)判断F(x)＝f(x)＋的奇偶性，并加以证明． 解：(1)由函数f(x)＝(a2－2a－2)ax是指数函数可得解得a＝3. (2)F(x)是偶函数，证明如下： 由(1)可得f(x)＝3x， 所以F(x)＝3x＋，定义域为R， 因为F(－x)＝3－x＋＝F(x)， 所以F(x)是偶函数． 10．(2025·福建厦门期中)已知指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象过点(3，8)． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数g(x)＝f2(x)－2f(x)＋5在x∈[－1，2]上的值域． 解：(1)因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的图象过点(3，8)，则f(3)＝a3＝8，解得a＝2，因此，f(x)＝2x. (2)g(x)＝(2x)2－2×2x＋5， 令t＝2x，因为x∈[－1，2]，则t∈， 令h(t)＝t2－2t＋5＝(t－1)2＋4， 当t∈时，函数h(t)单调递减，此时，x∈[－1，0]， 当t∈(1，4]时，函数h(t)单调递增，此时，x∈(0，2]， 故当x∈[－1，2]时，g(x)min＝g(0)＝4， 又因为g(－1)＝2＋4＝，g(2)＝(4－1)2＋4＝13， 故g(x)max＝13， 所以函数g(x)在[－1，2]上的值域为[4，13]. 【综合运用】 11．(多选)设指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，则下列等式中正确的是(　　 ) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝ C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N＋) 解析：选ABC.对于A，f(x＋y)＝ax＋y，f(x)f(y)＝ax·ay＝ax＋y，所以f(x＋y)＝f(x)f(y)，故A正确； 对于B，f(x－y)＝ax－y，＝ax－y，所以f(x－y)＝，故B正确； 对于C，f(nx)＝anx，[f(x)]n＝(ax)n＝anx，所以f(nx)＝[f(x)]n，故C正确； 对于D，[f(xy)]n＝(axy)n＝＝(ax)n·(ay)n＝anx·any＝anx＋ny，所以[f(xy)]n≠[f(x)]n[f(y)]n，故D错误． 12．(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数且满足f(x＋1)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax＋b(a>0，且a≠1)．若f(－1)＋f(4)＝12，则(　　 ) A．a＝4，b＝－16 B．a＝－3，b＝－9 C．f(2 022)＝0 D．f＝8 解析：选ACD.因为f(x)为奇函数，所以f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，因为f(x＋1)为偶函数， 所以f(x)的图象关于直线x＝1对称． 根据条件可知f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即4为f(x)的一个周期，则f(4)＝－f(2)＝f(0)＝0， 所以f(2 022)＝f(2)＝0，所以C正确； 又因为f(－1)＝－f(1)＝－(a＋b)，f(－1)＋f(4)＝12， 所以解得或(舍去)，所以A正确，B错误； 所以当x∈[1，2]时，f(x)＝4x－16，所以f＝f＝f＝－f＝8，所以D正确． 13．(2025·安徽滁州期中)已知函数f(x)＝(a2－3a＋3)ax为指数函数，函数g(x)＝为奇函数． (1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)设函数h(x)(x≠0)满足g(x)·[h(x)＋2]＝2x－2－x，若不等式h(2x)≥kh(x)－18恒成立，求实数k的最大值． 解：(1)因为f(x)＝(a2－3a＋3)ax为指数函数，所以a2－3a＋3＝1，解得a＝1(舍去)或a＝2，所以f(x)＝2x， 所以g(x)＝， 因为g(x)为奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即， 得到(1－b)(2x＋1)＝0，解得b＝1，可得g(x)＝. (2)因为g(x)[h(x)＋2]＝2x－2－x， 所以h(x)＋2＝＝2x＋2－x＋2， 所以h(x)＝2x＋2－x(x≠0)， 所以h(2x)＝22x＋2-2x＝(2x＋2－x)2－2， 不等式h(2x)≥kh(x)－18恒成立，即(2x＋2－x)2－2≥k(2x＋2－x)－18恒成立， 令t＝2x＋2－x，则t＝2x＋2－x>＝2， 由t2－2≥kt－18，可得k≤t＋在t>2时恒成立， 因为t>2，由基本不等式可得t＋≥8，当且仅当t＝4时，等号成立， 所以k≤8，即实数k的最大值为8. 【创新探索】 14．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间y与储藏温度x的关系式为y＝kerx(k，r为常数)．若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约是80 h，那么在10 ℃的冰箱中的保鲜时间是多少？ 解：由题意得解得 所以y＝100， 所以当x＝10时，y＝100×＝64， 所以牛奶在10 ℃的冰箱中的保鲜时间为64 h． 学科网（北京）股份有限公司 $